从鸡兔同笼的学习看逻辑思维训练的重要性

我猜点进来的朋友是因为标题的后半段,因为前半段估计大家都听腻了

“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题,意思是:有若干只鸡和兔在同个笼子里。从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?


咱大中国不缺数学人才,很多人对于这个问题的研究都达到了骨灰级的境界了......

求解这道题的方法有数十种,简单罗列如下:列表法、画图法、金鸡独立法、吹哨法、假设法、特异功能法、砍足法、耍兔法、方程法......

简单和大家一起重温一下比较常见的解题方法:


1.列表法

       没错,就是列举,暴力破解,也是计算机中解决问题常有的思路。当第一组没有鸡有35只兔子的时候,一共有140只脚,跟94差的有点多,可以5只甚至10只的增加鸡的数量,根据脚的数量再进行微调……做一个表就出来了


2.金鸡独立法

       让每只鸡和兔子都做一个动作:用一半的脚站立。那么,地上还剩94/2=47只脚,每只鸡有一个脑袋一只脚,每个兔子有一个脑袋两只脚,47比35多出来的就是兔子的数,共12只兔子,也就知道23只鸡了。


3.吹哨法

听口令:所有小动物抬起一只脚。地上还剩94-35=59只脚;

听口令:所有小动物再抬起一只脚。地上还剩59-35=24只脚。

鸡已经腾空,兔子双脚站立。于是24/2=12只兔子,鸡23只。


4.特异功能法

鸡有2只脚,兔子有4只脚,鸡比兔子少两只,但鸡有2个翅膀啊,假设鸡有特异功能,可以把2个翅膀变成2只脚,那么鸡和兔子都是4只脚了,应该有35*4=140只脚,可实际只有94只,多出的140-94=46就是翅膀数,46/2=23只鸡,也就知道12只兔子了。


5.假设法(假设都是鸡

假设全部都是鸡,则有35X2=70条腿,比实际少94-70=24条腿,一只鸡变成一只兔子腿增加2条,因此需要增加24/2=12次才能得到所有94条腿,即兔子12只。


6.假设法(假设都是兔子

假设全部都是兔子,则有35X4=140条腿,比实际多140-94=46条腿,一只兔子变成一只鸡腿减少2,因此需要减少46/2=23次才能达到实际的94条腿,因此鸡为23只。

......

学过方程的同学都会用最万能的方程法来解,列一个一元一次方程或者是二元一次方程,三下五除二就可以把X解出来了......

......


所有的解题方法,本质上都是巧妙地利用头、脚数量之间的关系,加上各种假设和想象,组合出多种不同的思路。

说来说去都是挖掘数与数之间的逻辑关系解题。数学上有集合有函数,计算机上有数据结构有算法,计算机编程本身就是用数据结构和算法去描述现实世界里的逻辑关系。大千世界都是基于这最本质的数和逻辑关系,我们对于世界的认识也是从这里开始的。

我们学会了这么多解法,照理说我们都是高手了;如果我们把所有这些方法都给孩子们讲明白以后,  孩子们是否也都成了“鸡兔同笼”问题的高手,碰见此类问题都会解了呢? 

我在三个不同的班里面讲述“鸡兔同笼”的逻辑思维方法,孩子们对于诸如“特异功能法”这样的解题方法听起来都觉得很滑稽,一度在课堂上还止不住笑。

对于假设法的解题思路也表示理解,信心满满表示已经学会。

然后我拿出了一道这样的题:

题目原文翻译如下:学校组织孩子们去滑雪,小轿车可坐3人,面包车可坐5人。一共去了140人,用了40个车,请问多少个孩子坐小轿车去的?

初看起来这道题与鸡兔同笼没有什么关系。按照Rootofmath.com名称的由来,同类的数学问题都来源于同一个根,这个问题来源的根恰恰就是我们熟悉的“鸡兔同笼”问题。

三个班同学面对这道题的结果让我觉得有些意外,13名同学只有一名七年级的同学,因为以前接触过“鸡兔同笼”问题,能够通过逻辑类比的方法给出答案。

事实上,为了帮助孩子们理解这一逻辑思维过程,我们发现有两个问题需要解决:

1、完整的数字表达式

我们遇到的第一个问题是孩子们无法写出完整的数字表达式。

以前面提到“鸡兔同笼”问题的第五种方法“假设法(假设都是鸡)”为例,一般的教法会列出三个式子:

绿色框里面有三个运算表达式,没有形成整体,显得支离破碎,显然无法帮助孩子们形成整体的感性认识,无法完成解题逻辑思维方法的理解记忆

我们建议用如下这个完整的数字表达式来描述:

如果孩子们能够理解这一完整表达式,实际上已经理解记忆了“鸡兔同笼”的逻辑思维方法。

为了帮助孩子们更好的理解记忆,在解决实际问题的时候能够快速写出完整的数字表达式,我们采用了更加形象的树形逻辑表达法:

这颗树对于数字之间逻辑关系的形象表达,让孩子们有了一个感性认识,后面再解其他题的时候也基本能够灵活运用,给出完整的数字表达式了。


2、逻辑思维的类比

解决第一个问题后,一般的孩子再碰到兔子和鸡在一起,找出鸡和兔子的数量不再是难事了。

接下来的问题是,鸡和兔子是一千五百多年前古人们的数学题,孩子们在考试中遇到同样的鸡同样的兔子的可能性几乎为零。

就拿上面这一道题来说,小轿车和面包车可没有长腿啊!

如果孩子们没有理解记忆鸡兔同笼问题里面数与数之间的逻辑关系,碰到同样的问题还是会感觉无从下手。

一部分孩子对于100以下的数字可以通过列表法拼凑找出答案,但一旦题目的数字变得很大就无能为力了。

这是我们遇到的第二个问题。

为了解决这一问题,我们画出了如下逻辑类比图:

看完上面这张类比图,你是否发现这个问题与“鸡兔同笼”其实是同一个问题,只不过数字变了一下而已呢?

我们仍然用树形逻辑图帮助孩子们强化理解记忆:

最后我们得到30个小轿车,因此此题的答案是:30X3=90孩子坐小轿车去的。

就像我们前面提到的,因为这里我们需要小轿车的数量,所以我们假设所有的车都是面包车。

如果需要面包车的数量,就得假设所有的车都是小轿车


解决完这两个问题,我们的“鸡兔同笼”课程是否就算结束,孩子们是否已经能够灵活运用这一逻辑方法解决此类问题了呢?

实践结果告诉我们,答案还是否定的。因为平时接受的逻辑思维训练少,鸡兔同笼问题稍微变一下,孩子们仍然觉得无从下手,例如下面这道题,13名同学无一人能够快速给出答案:


题目原文翻译如下:农场里面只有鸡和奶牛,一共有720条腿。已知奶牛的数量是鸡的数量的4倍,请问有多少只奶牛?

鸡还是那一只鸡,兔子变成了奶牛,最讨厌的是这回没头了......

也就是说,数与数之间的逻辑关系变了。

事实上,这个题比鸡兔同笼问题还简单,只要采用假设法,假设一只鸡与四只奶牛配对构成一组,每组有2+4X4=18条腿,一共有720/18=40组,因为每组4只奶牛,所以40组共有40X4=160只奶牛。

完整的树形逻辑图如下:



此题告诉我们,尽管都是“鸡兔同笼”同根衍生出来的问题,也可以有很多的变种。

再扩展一下,如果我们往古人的鸡兔笼里面再放入几只八爪鱼,鸡兔八爪鱼同笼的问题又该如何解呢?

......


总    结


通过前面的分析,我们看到,几个鸡和兔同笼就可以把孩子们的世界变得丰富多彩,有做不完的数学题。

如果我们仅仅让孩子刷题,学会了如何解几道“鸡兔同笼”的问题,而没有深入思考题目背后的数字逻辑关系和解题策略,当孩子们遇到新的变种的时候仍然会无从下手,难免会陷入“一学就会,一做就废”的困境。

因此智能未来数学认为,数学学习最重要的价值应该是让孩子们学会逻辑思维方法,就“鸡兔同笼”问题的学习而言,让孩子们受益终身的是假设和替换的逻辑思维方法和策略,这远远超越加减乘除四则运算的意义。

可惜的是,我在和孩子们接触的过程中发现,大部分孩子都缺乏基本的逻辑思维方法。

昨天在高贵林的一个书店有幸看到几本那闷数学的教材,一到五年级全部都是加减乘除四则运算,从一位数,到两位数,到三位数......我在想着孩子们在做这些练习题的时候该有多么的枯燥和无聊,错过了多少数学学习时应该看到的美丽风景......

感叹之余,好想劝劝哪些为孩子购买这些教材的家长打开如下这个链接:


https://www.helpingwithmath.com/resources/worksheet-generators.htm


这是一个免费的加减乘除四则运算题目生成和打印工具,内容涵盖整数、分数、小数、方程和表达式等等多项内容,需要几位数、每页几个、数的范围如何......您孩子的数学练习册您做主,想打印多少打印多少,把钱省下来买几本逻辑思维的书,教教孩子的逻辑思维方法吧。

一旦孩子的逻辑思维能力得到提升,只要掌握了数的世界里面10进制这一本质的根,搞定加减乘除四则运算是分分钟的事。

如果您认可本文的观点,有劳你轻抬贵手,把这篇文章分享给那些需要的朋友,您的轻轻一点,就会帮助更多的孩子走出枯燥的数学学习困境,喜欢数学,学好数学。

本文所采用的题目均来自 Rootofmath.com, 文中的手写图片来源于智能未来数学真实的教学环境,是我们自主研发的实时手写同步授课系统产生的,在智能未来数学Pad实时互动网课中已经获得大量应用。如果您是一位老师,也想借助这一平台帮助更多的孩子提高数学,请与我们联系。

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