做总结看趋势-谈谈2018年美国数学竞赛AMC 8

2018年美国数学竞赛AMC 8过去三个月了,一直在等考试举办方寄回同学们的考卷以作分析,到今天也没有等到

最近终于通过其他方式找到了本次考试的真题,一睹为快,好好研究了一番,并与历年真题做了一些对比。

尽管这次智能未来数学网课班4名同学中有两名六年级的同学进入全球Top 1%,回首整个过程,我觉得启动过晚,准备仓促,考前7周内要把AMC 8历年真题的大部分考点压缩到14课内讲完,每周两次课的训练,节奏太快,从结果上看有一些内容孩子们其实并没有真正理解和消化。

因此非常有必要好好总结一下,戒骄戒躁,给以后希望参加AMC 8的同学提供一些可以借鉴的经验。

下面简单介绍一下通过数据对比和真题分析看到的五个趋势:

 

趋势一:

题目越来越难

 

之前在整理AMC 8历年真题的时候我们发现,近些年的题目感觉是越来越难,而2000年前后的真题好多都可以心算给出答案,感觉那个时候的考生好幸福啊

AMC 8最近三年的分数分布报告再次印证了我们的感觉。

先来看看2016年的分数分布报告:

这是2017年的:

这是2018年的:

可以看到,在总体参赛人数差不多的情况下(每年10万左右的参赛选手),2016年有268人获得满分,2017年75人获得满分,2018年只有45人获得满分。

2016年需要做对22道题才能进入全球TOP 1%,2017年做对20道题就可以进入全球TOP 1%,2018年只需要做对19道题就可以进入全球TOP 1%。

2016年的平均分是9.36,2017年的平均分是8.96,2018年的平均分是8.51。

各项数据都表明,AMC 8的总体趋势是越来越难。

 

趋势二:

出题点紧靠历年真题报告

 

如下为AMC 8历年真题数据分析报告中的Top 6知识点:

如下为2018年AMC 8真题数据分析报告中的Top 6知识点:

可以看到面积、概率、比率与历年真题数据分析报告吻合,占据了TOP 6的三席地位。尤其是面积题,今年居然出现了6道题,近四分之一的题量,足见AMC 8出题者对于几何面积题是何等偏好了。

2018年AMC 8的一个特点是排列组合、数论及余数的比重加大,这也是北美数学竞赛的热门套餐。

中国学生比较擅长的行程问题在今年的比赛中表现得比较明显,出现了2道,值得关注。

 

趋势三:

面积往立体几何方向发展

 

几何面积题一直是AMC的重头戏,因此今年有6道几何面积题也不会让人觉得奇怪,最难的一道几何题是以立体几何的面孔出现的。

在往年的考题中,立体几何在AMC 8中出现的频率很低,一般在AMC 10中比较多见。

下面我们来看看这道估计难倒了不少考生的立体几何面积题:

原文翻译如下:立方体ABCDEFGH中,J和I分别是FB和HD的中点,求EJCI和立方体一个面面积之比的平方?

很容易证明EJCI是一个菱形(因为EJ=JC=CI=IE),菱形的两条对角线互相垂直,菱形的面积等于两条对角线之乘积除以2,假定立方体的边长为1,通过勾股定理很容易得到JI=√2,CE=√3,因此EJCI的面积√6/2,面积之比的平方就是6/4=3/2,答案为C.

熟悉立体几何的同学估计心算就可以给出答案,没学过立体几何的同学估计会被题目吓一跳。

 

趋势四:

组合往多维方向发展

 

排列组合题因为融入了一些数学智慧,需要构造容易理解的数学模型以套用常见的数学方法,因此常常是北美很多数学竞赛的座上客。

排列组合和概率题看着都不难,只要有足够的时间,大部分同学都可以通过拼拼凑凑找到答案,大不了把所有的分支都写出来。

在赛场上,时间才是制胜的法宝。好些同学不能胜出不是因为做不出来,而是因为在时间和准确性方面不能胜出。

因此如何快速识破题目背后隐藏的“根”(或突破口)至关重要,下面我们来看看第19题:

原文翻译如下:

在上面这个四层符号金字塔中,上面的符号由它下面的两个符号相乘得到(也就是计算机里面的异或操作),如果想要最上面一个为+号,有多少种不同的填充方法?

初看这道题,没有人会想到这与排列组合有什么关系。一般的排列组合题都是在一个维度上面进行排列,套用乘法原理获得排列数进而得到组合数。今年有两道题是在2个维度上进行排列组合,如果不能构造出来兼容的数学模型,往往不好套用排列组合的方法和原理解题。

大部分同学会采用尝试填充的方式,一种方法一种方法去试,最后发现最下面的一行只能有4个+或4个-或2个+两个-,最后得出1+1+2C4=8的答案,耗时较长,很难证明,也就无法确认自己是否真正选对了答案。

其实如果能够看懂下面这张图的同学,应该可以在数秒之内得到此题答案为:2X2X2=8,选择C。

简单说明如下:红色的三个格决定了整个金字塔的格局(在最上面一格为+的前提下,左下方的格都可以由上面的格和右边的这个格决定),套用乘法原理,共有3步确定红色格,每步2个选项(+或-),因此答案是:2X2X2=8。

 

趋势五:

数论往大数方向发展

 

今年的数论和余数相关的题目占比较大,最后以一道近似估计数论题压轴,涉及的数字很大,接近往年AMC 10的水平。

题目描述很简单:

原文翻译如下:在2^8+1和2^18+1中间有多少个立方数?

此题不但需要有很好的计算能力,还需要对指数运算比较熟悉。

计算能力好的同学很容易得出2^8+1=257,而6^3=216,7^3=343,所以题目的下界很容易找到,第一个符合要求的立方数是7^3;

而对于上界2^18+1则不容易通过计算算出结果,需要使用指数运算法则做一些近似处理,2^18=(2^6)^3=(64)^3<2^18+1,因此上界为64;

最后得到:64-7+1=58个数,答案为E。

 

总      结

 

“稳中有变,难度加大”是2018年美国数学竞赛AMC 8真题数据分析后传达给我们的信息。几何面积是热点,组合和数论比重加大,仍然是备考AMC 8的学习重点。

今年AMC 8的考场外,很多考生都反映时间不够用,后面几道题没有时间看,有一些是靠猜的。在40分钟内完成25道有难度的数学题,每道题需要在96秒内完成,对考生来说是一个大挑战。看到题目后是否能够马上激活学过的知识点并生成解题模型,快速准确地找到答案,是能够在AMC 8中胜出的关键。

 

相关数据分析原创文章链接:

 

美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

 

AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告兼谈数学与职业的结合



 

 

 

 

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