SSAT数学常考知识点数据分析报告

"基础不牢,地动山摇"。
这句话用在数学学习上一点也不过。
在数学竞赛教学实践中,我们发现部分同学学习数学兴趣浓厚,与其他同学上同样的课程,所学的知识点也貌似理解掌握了,每次考试出来,成绩就是上不来。
通过对这些同学学习数据的分析,我们发现一个重要的原因其实是因为基础不牢。因为基础不牢,做题又不爱写步骤,往往在其中某一个步骤出现计算错误而得出错误答案,导致满盘皆输。
怎么样才能够夯实这些同学的基础更好地参加数学竞赛呢?
经过对比,我们希望借助于北美比较流行的SSAT基础数学测评体系。
我们先来了解一下SSAT吧。


SSAT是什么

SSAT考试介绍


SSAT(Secondary School Admission Test),即美国中学入学考试。它诞生于1957年,由美国私立中学的十校联盟,即素有“小常春藤”之称的十所优质著名学校:Phillips Exeter, Choate Rosemary Hall, Andover Academy, The Hill School, Lawrenceville School, Deerfield Academy, Taft School, St. Paul’s School, Hotchkiss, and Loomis Chaffee School联合创办。当时,由于入学申请的竞争非常激烈,这些学校需要一个统一的考试,以便更公平地对学生进行测评和比较。因此,SSAT 应运而生: 十校联盟中的九所学校共同投资创办了美国中学理事会并与ETS合作,开发了SSAT考试。作为SSAT的奠基人,这些学校一直和理事会联系紧密,他们的入学申请也要求学生提交SSAT成绩作为测评参考。
除了上述十所美国学校之外,如今SSAT也适用于全球众多优质私立中学的入学考试,特别是申请美国、加拿大的优质私立中学所必须具备的一个考试成绩。它主要评测学生的数学、基本的语言交流以及阅读理解能力,考察考生的逻辑思维和发展潜力。SSAT既是校方在评估申请者时使用的最公平有效的工具,也是低龄段留学生在追求美国、加拿大的优质教育过程中所必须迈过的一道门槛。


SSAT考试的必要性


美国的公立中学只允许接收法定时限最长为一年的外国交换学生,不接受外国申请者以独立的学生身份在公立学校长期学习。而美国的私立中学依法可以根据本校规定,接收外国留学生持长期有效签证就读,直至高中毕业考入大学。因此,申请美国私立中学便成为绝大多数赴美求学的留学生的首选。而基本上美国私立中学都要求留学生必须参加SSAT考试。只有顺利通过SSAT考试,才能进入优质的私立中学就读,为日后的美国大学深造迈出坚实的第一步。
美国和加拿大的私立中学在录取外国留学生的过程中,除去学生的在校成绩、老师推荐信、面试表现等,更需要参考一个“公平公正、可以信赖”的测评标准作为了解、衡量学生实际能力并录用学生的重要参考依据。SSAT作为标准化的入学考试,在海外学生的录取过程中尤为重要,使得衡量不同教育背景的学生变为可能,是学校决定是否录取学生的不可或缺的重要工具。


SSAT考试的种类


SSAT考试根据报考人群分成两大类,即标准考试和特约考试。
特约考试只适用于中、高级考试,其考生主要是SSAT的联盟学校或由SSAT官方授权的机构,除此之外的考生均需参加SSAT标准考试。同一考生一年只能参加一次特约考试,此考生若在本年还需再参加SSAT考试,那下一次就只能参加标准化考试了。


SSAT数学数据分析报告

为了确保SSAT基础数学与竞赛数学体系衔接,我们对SSAT官方公开的考试大纲和一些模考试卷进行了分析,采用与竞赛数学体系同一套系统进行了标注,在同一数据库中可以很方便地通过SSAT数学的知识点找到稍加提高的题目。
SSAT基础数学题库与数学提升系统的延续性让采用比SSAT标准更高的题目进行训练成为可能。
通过近300套试卷的数据分析(我们还在继续整理,数据在持续扩大中),我们整理出来这份报告,分享给大家,希望对于参加SSAT数学考试的同学有帮助。

这是SSAT数学Upper Level(8-11年级)的数据分析报告TOP 6知识点:


这是SSAT数学Middle Level(5-7年级)的数据分析报告TOP 6知识点



这是SSAT数学Lower Level(3-4年级)的数据分析报告TOP 6知识点



简单对比这三个不同级别SSAT数学题目,你会发现有点如出一辙的感觉。三个级别的考试知识点大部分相同,不同的是题目难度。翻翻SSAT Lower Level、Middle Level、Upper Level的教材,相似度比较高。
在北美数学竞赛系列数据分析文章中我们提到过,百分数(Percentage)的排名是比较靠前的,SSAT数据分析的结果再次表明了北美命题者对百分数的偏爱。也许这和生活中处处都是百分数有关,看表格时数据增加了多少、减少了多少,逛商场时打折了多少,工作时薪资增加了多少,房价和房租减少了多少...生活当中数量的变化处处可见百分数。百分数的题目在SSAT三个级别中都处在第一名或第二名的位置,结果与我们的直觉是一致的。
解题时把所求用未知数x来表示,将文字翻译成数学语言,按照题目逻辑整理出一个表达式,然后找到一个相同的目标用两种不同的路径来进行计算,让两个计算结果相等就是列方程解应用题(Word Problems)。这种方法比较强大,可以解决日常生活中的很多数学问题。所以你可以看到在SSAT数学考试中,代数式运算(AlgebraExps)和一元方程(1 Variable Equations)类型的题目比比皆是,他们处在排行榜前6名的位置就不能理解了。
分数和比率问题也是SSAT数学的考察重点,往往需要考生理清题目各个目标的数量逻辑关系,翻译成数学语言加以运算一般都很容易解决,在SSAT数学Upper Level和Middle Level中处于前六名的位置。
观察数据分析的结果,我们发现一个有趣的现象,在SSAT Lower Level和SSAT Middle Level中小数计算(Decimals)排在前六名的位置,到SSAT Upper Level时换成了平均数(Average Number),这符合数学教学大纲的教学顺序,对于高年级同学来说,基本认为小数运算已经过关了,因此在这个阶段更加注重数据统计中的一些概念的应用,平均数(Average Number)在统计学中也叫Mean,自然上升到前六名的位置。
下面我们通过SSAT数学和北美数学竞赛百分数和平均数的例题,来看看命题者是如何一步一步地将题目从易变难的。


知识点举例

生活数学的常客-百分数

在SSAT Lower Level对百分数的考察是非常简易的,题目常常这样:

原文翻译:200的10%是多少?
同学们只要知道在英文里面的of可以换成数学符合里面的乘法,基本可以马上得出答案:200 x 10%=20,答案选B.

SSAT Middle Level的题目明显变难啦:

原文翻译:某小镇的人口在连续的2年中分别增长15%和20%,请问两年后比原来增长了百分之多少?
此题的解答可以假定起始年份的人口为1,理解Increased by 15%可以转换成数学语言里面的乘法因子(1+15%),Increased by 20%可以转换成数学语言乘法因子(1+20%),做完乘法后再减去1就是答案啦:
1x(1+15%)x(1+20%)-1=38%
答案选C.

SSAT Upper Level大多把百分数的乘法变成了除法

原文翻译:自行车减价$63后的价格是原价的40%,自行车原价多少钱?
同学们只要顺着百分数乘法的思路将题目转换成数学语言:
原价X(1-40%)=$63
然后将上面的乘法变成除法即可得解:
原价=$63/(1-40%)=$105.00
答案选A.

SSAT的题目不过瘾?我们来看看竞赛题是如何提升的吧。
先来看看滑铁卢高斯是怎么考察百分数的。
这是滑铁卢1999年高斯7年级的第18题:

原文翻译:右边圆形图中共有600人参加了头发颜色的调查,请问Blonde头发共有多少人?
此题只要理解了一个圆饼图中所有的百分数加起来应该等于100%,先做减法得到Blonde头发的百分数:
1-32%-22%-16%=30%
然后用600人去乘这个百分数就搞定了:
600X30%=180.
答案选C.

竞赛题是不是只比SSAT难了一点点?

再来看看美国数学竞赛AMC 8如何考察百分数的。
这是刚刚结束的2019年AMC 8的第22题:

原文翻译:一个商店将衬衫涨价一定的百分数后又降价同样的百分数,最终价格是原价的84%,请问这个百分数是多少
此题只要理解了SSAT Middle Level中那道题涨价(Increased by)降价(Decreased by)的乘法因子是如何计算的,设立一个简单的方程就立马搞定了:
假设原价是1,这个百分数是x,于是有:
1X(1+x%)X(1-x%)=84%
应用一下平方差公式:
1-(x%)^2=84%
于是:
(x%)^2=16%
于是:
x%=40%
x=40
答案为E。

AMC8 的竞赛题也只不过套了一个平方差公式而已,对不对?

再提高一层,看看美国数学竞赛AMC 10如何考察百分数吧。
这是2017年美国数学竞赛AMC 10的第11题:

原文翻译:Typico高中60%的学生喜欢跳舞,其他同学不喜欢跳舞;喜欢跳舞的同学中,80%声称喜欢,其他声称不喜欢;不喜欢跳舞的同学中,90%声称不喜欢,其他声称喜欢;请问声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学占比多少?
是不是有点像文字游戏,故意把逻辑搞得比较复杂呢?
事实上,同学们只要静下心来,画一个树形图Tree Diagram,把要求的两部分群体找出来,做一个简单的百分数计算即可:
声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学=60%X(1-80%)=12%;
声称不喜欢跳舞事实上也不喜欢跳舞的同学=40%X90%=36%;

声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学占比=
声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学/(声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学+声称不喜欢跳舞事实上也不喜欢跳舞的同学)
=12%/(12%+36%)
=25%
答案选D.
是不是很简单!
只要理清逻辑,AMC 10也不过如此?

通过这一知识点的分析,大家是不是可以看到SSAT数学和竞赛数学并没有跨越不了的鸿沟,在应用知识点解题方面其实是相通的。
对于准备SSAT数学考试的同学来说,如果能用一些数学竞赛题进行训练和提升的话,SSAT数学高分或满分是势在必得的。

统计的基础概念-平均

平均数(Average Number)作为数据统计分析中最基本的概念,在SSAT数学题中很常见。
SSAT Lower Level对平均数的考察停留在概念理解层面:

原文翻译:后面这些数的平均数是多少?
(5+11+13+23+45)/5=19.4
答案选B.

SSAT Middle Level平均数的考察侧重于应用层面:

原文翻译:6个数的平均数是12,其中4个数的平均数是10.请问其他2个数的平均数是多少?
只要理解了平均数的概率此题基本都可以顺利解出:6个数的总数减去4个数的总数就是其他2个数的总数,除以2就得到平均数:
(6X12-4X10)/2=16.
答案选D.

SSAT Upper Level平均数的考察一般与数列和动态数据结合:

原文翻译:4个连续奇数的平均数是24,请问其中最大数是多少?
此类平均数题目的解法需要掌握一些数列的解题技巧,因为是4个连续奇数,中间2个之和正好等于首尾2个之和,而且中间2个的平均数就是4个数的平均数。
因为中间2个的平均数是24,于是立即得到这两个数为23和25。
所以最大数为25+2=27,答案选C.

类似题目在滑铁卢数学竞赛中很多。
例如2010年高斯7年级的第13题:

原文翻译:5个连续整数的平均数是21,请问其中最小数是多少?
是不是与前面SSAT Upper Level的题目基本一样,只是把4个数换成了5个数,24换成了21.
运用一样的处理技巧,5个数最中间的那个数就是21。
所以最小数是21-2=19.答案选E.

美国数学竞赛AMC 8对于平均数的考察在技术上做了一些提升,一般与数论、临界值问题结合得比较多。
例如刚刚结束的2019年AMC 8的第7题:

原文翻译:Shauna同学考了五科,每科的最高分是100分。她的前三科分数是76,94,87。为了得到五科平均分为81分,其他两科的最低分是多少?
只要对平均数和临界值理解到位,基本可以马上得解:
五科总分为81X5=405;
三科已经获得:76+94+87=257分;
其余两科总分=405-257=148;
要得到其中一科最低分,需要让其中另一科为最高分=100分;
于是最低分=148-100=48分,答案为A。

美国数学竞赛AMC 10对于平均数的考察在数的复杂度上面做了提升,一般与数论、数列、几何等其他领域的知识点结合起来出题。
例如2015年AMC 10A的第5题:

原文翻译:Mr.Patrick给15个学生考试打分,他发现如果不算Payton,所有同学的平均分是80分,如果加上Payton的分数,有同学的平均分是81分。请问Payton的平均分是多少?
此题如果能够深刻理解平均数差值的概念,利用平均数的差值可以马上给出答案。
因为平均数的差值=81-80=1分,15个人就产生15X1=15分的差值,这15分的差值都来自于Payton高于原来平均分的贡献。
所以Payton的分数=80+15=95分,答案选E。


总结

通过百分数和平均数两大知识点的例题解析,我们看到了SSAT Lower Level、SSAT Middle Level、SSAT Upper Level在命题方面是如何从易到难、逐级深入的。
SSAT数学考察的知识点确实是基础数学中的基础。
将相同知识点的题目与北美数学竞赛题进行对比以后,我们发现SSAT数学北美数学竞赛在知识点考察方面是一脉相承的,只是竞赛题在难度和复杂度方面做了提升。从这个角度说,同学们多做一些相关知识点的数学竞赛题,肯定会加强知识点的理解深度和提高解题速度。
如果有同学正准备参加SSAT数学考试,希望在考试中得高分或满分,可是使用SSAT的训练题后发现成绩突破有瓶颈,建议你试试相关知识点的数学竞赛题做一些提升训练。做完竞赛题后再回过头去做SSAT的考试题,肯定会有小菜一碟的好感觉。


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