博客文章 '2018' '八月'

     

      2017年10月26日上午,第十四届中国计算机大会(CNCC 2017)正式在福州海峡国际会展中心开幕,在大会第一天,菲尔兹奖获得者、哈佛大学终身教授丘成桐在会上作为特邀嘉宾做了首个演讲报告,报告主题为《现代几何学在计算机科学中的应用》。

  报告中丘成桐先生首先介绍了现代几何的发展历史,随后介绍了他与他的学生及朋友在计算机与几何交叉方面的一些研究。对于人工智能,丘成桐先生认为现代以神经网络为代表的统计方法及机器学习在工程实践中取得了很大的成功,但其理论基础非常薄弱,是一个黑箱算法;人工智能需要一个可以被证明的理论作为基础。

      演讲内容整理如下:

胡事民(大会程序主席,清华大学教授):

  大家都知道,计算机科学离不开数学,早期的计算机都是数学家帮我们奠定了基础。今天的第一个报告,我们非常荣幸地邀请到了著名的数学家、数学界最高奖菲尔兹奖获得者、哈佛大学教授丘成桐。丘老师不仅是伟大的数学家,他也在计算机方面做了很多工作。他开创了计算共形几何,广泛地应用在图形学、视觉传感器等方面。最近丘先生还在Nature上发表了一篇文章,研究社交网络。下面我们有请丘先生。

丘成桐演讲全文:

  今天很荣幸地收到你们的邀请来做一个演讲。我本人在数学上的贡献不在计算机数学,最近这十多年来,由于我的学生顾险峰以及其他朋友的缘故,他们叫我帮忙做些跟计算机有关的学问。我发觉,纯数学,尤其是几何学在计算机方面有很大的应用。所以我今天就滥竽充数,讲讲几何跟计算机数学的关系。 

  一、现代几何的历史

 

  首先,前面几分钟讲讲几何学历史。几何学一开始,就类似今天的人工智能,有很多工程上的应用以及产生的很多定理。不过随后欧几里得将当时主要的平面定理组合以后发现这些定理都可以由5个公理推出来。这是人类历史上很重要的一个里程碑,在很繁复的现象里,他找到了很简单但却很基本的五个公理,从而能将原来的这些公理全部推出来。我是很鼓励我们做人工智能的也能重复这个做法——从现在复杂多样的网络中找到它最简单的公理。

  由于希腊人的工具不够,所以除了二次方程定义的图形(圆形、直线、椭圆等)以外,他们没有能力处理更一般的图形。一直到阿基米德,才开始做微积分的无限算法(积分体积),同时他们也开始做射影几何的算法。

  微积分的出现使几何学进入了新纪元,微分几何也因此诞生。几何学在欧拉和高斯手上突飞猛进,变分方法和组合方法被大量地引入到几何学当中。

  现代几何(近两百年的几何)主要发源于黎曼在1854年的博士论文,这篇论文奠定了整个现代几何的基础,他把几何图像看成一个抽象但是能够自足的空间。这个空间后来成为了现代物理的基础,现在物理中研究引力波等都是从黎曼这里开始的,没有黎曼这个空间,爱因斯坦不可能研究出来广义相对论。同时假如我们细看黎曼的这篇论文的话,就会发现,黎曼还认为离散空间也是一个很重要的空间。这个离散的空间包括了我们现在研究的图论,也用来研究宇宙万物可能产生的一切。所以即使是150年以后的今天,我们依然能看到黎曼的这个观点很重要。

  二、对称的概念

  几何学能够提供很多重要的想法,可以讲其影响是无所不在的。几何学的很多概念在高能物理和一般的物理学领域都产生重要的影响。其中一个重要的概念叫做“对称”。“对称”的概念是在1820年到1890年间由几个重要的数学家发展出来的。我们中国喜欢讲的阴阳,其实就是一个属于对称。在数学上有一个叫庞加莱对偶的概念,其实就是阴阳,但这个概念要比阴阳具体得多,同时也真正用在了数学的发展上。

  19世纪,Sophis Lee发展的李群,也是物理学界最重要的工具之一,在现代物理中几乎没有一个学科可以离开李群的。

  在几何学上,1870年的时候,伟大的数学家克莱因发表了《埃尔朗根纲领》,在这个纲领里克莱因提出用对称来统治几何的重要原理,随后产生了很多重要的几何学,包括仿射几何、保角几何和投影几何等。

  这些几何对于图像处理都有密切的关系。我以及我的学生和朋友这十多年来就是用保角几何及种种几何来处理不同的图像。即使是当年看上去不重要的几何,现在实际上都有它重要的用处。这种种的计算都是从对称这个概念发展出来的。从大范围对称到小范围对称,这些在20世纪的基础研究中都有很成功的影响。

  三、平行移动

  另外一个很重要的概念,我想是很多做工程的人都没有注意到的,就是平行移动的概念。这个概念影响了整个数学界两千年。平行移动的概念其实就是一点和另外一点要有一个很好的比较的方法;计算机也好,图形学也好,在某一点上看到的事情要和其他点进行比较,比较的方法就叫平行移动。这也是一个很广泛、很重要的概念。现在在计算数学里面还没有大量的引进,但是在物理学界已经被大量地使用上了。所以我期望这些基本的概念以后能在计算机里面大量地使用。

  四、几何学与计算机相互之间的影响

  现在我们具体来讲一些的事情。现代几何为计算数学奠定了很多理论的基础,并且指导了计算机科学未来发展的方向。现代几何广泛应用到计算机的所有分支。举例来讲,计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计、计算机网络等等都有广泛的应用。再例如,黎曼几何可以用来理解社交网络;现代几何理论也可以用来理解人工智能的特性。要记住,我们讲的几何并不是高中时代的几何,所有与图像或者网络有关的都是几何的一部分。

  从另一方面来看,计算机学科的发展为现代几何提供了需求和挑战,也推动了跨学科的发展方向。例如:

  • 人工智能中的机械定理证明推动了计算代数的发展;

  • 数据安全、比特币、区块链的发展推动了代数数论、椭圆曲线和模形式的发展;

  • 社交网络、大数据的发展催生了持续同调理论(persistent homology)的发展;

  • 动漫、游戏的发展推动了计算共性几何学科的诞生和发展;

  • 机器学习的发展推动了最优传输理论的发展等等。

  五、计算机&几何学研究案例

  我们下面举几个具体的例子,分别是图论、计算机图形学、计算机视觉、人工智能、深度学习等。这几个和几何都有密切的联系。

  1、图论

  我们先讲讲图论。图,就是一大堆顶点、一大堆边把它们连起来,这是最简单不过的事情。对于一个图,譬如交通图,我们要找出它们有着怎么样一个结构,什么地方比较拥挤。有时候我们也要研究怎么将这个图切成小部分,然后分解成简单的子图;如何衡量各个连通分支间的连接度;如何将图染色等。这些问题实际上都跟图上的特征函数有密切的关系。

  图上的特征函数跟光滑图形上的特征函数有很类似的地方。我在40年前跟几个朋友,郑绍远、李伟光,做了一个工作,将光滑黎曼流形的特征函数推广到图上,得到了很好的结果。这些结果可以用来决定图上的连结的生成,研究图上的边创造过程,尤其是有个量的估值来控制在图上发散的过程。约束发散的过程可以应用到许多实际的过程中。我们还研究了图上的薛定谔方程,定义了图上的量子隧道概念。这些概念都是从物理上来的,被借用到图上。

  假如我们在考虑有向图,就是每个点、每个边,给它一个方向,我们就可以将拓扑学整个引用到图上去,定义了图上的同调群。同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容。

  现在我们来讲讲我们做的关于博弈理论的一个事情。进化图论为表达种群结构提供了数学工具:顶点代表个体,边代表个体的交互作用。图可以用来代表各种具有空间结构的群,例如细菌、动植物、组织结构、多细胞器官和社交网络。在进化过程中,每个个体依据自身的适应程度,进行繁殖病侵占到邻近顶点。图的拓扑反映了基因的演化——变异和选择的平衡。类似的,互联网是一个大网,一个非常复杂的网络,我可以在上面研究它的变化。社交行为的进化可以用进化博弈论来研究。个体和邻居博弈,根据收益而繁殖。个体繁殖速率受到自身与其他个体的交互作用影响,从而产生博弈的动态演化。其中心的问题就在于对于给定的图如何决定哪种策略会取得成功。

  我们在今年年初的时候在nature上发了篇文章,我们得到一个结果,就是在任何给定的图上进行弱选择,自然选择从两种彼此竞争的策略中如何进行挑选,这个理论框架适用于人类决策,也适用于任何集群组织的生态演化。

  我们从弱选择极限得到的结果,解释了何种组织结构导致何种行为。我们发现,如果存在成对的强纽带结构,合作就会大规模出现。我们用数学证明了社会学方面的一个结论:稳定的伙伴或者伴侣,对于形成合作型的社会起到了骨干作用。

  2、计算机图形学:全局参数化 – 共形几何

  下面我要讲的是“计算机图形学:全局参数化 – 共形几何”。这是我们发展了二十多年的一个学问。我和顾险峰从他还在哈佛念博士的时候(1999年)我们就开始做这个事情。

  当我们将图形整体光滑映射到参数区域,使几何变得很小,会破坏掉整个图形;一般来讲这个要用手工来做,否则的话它变化非常大。针对这个问题,我们使用了纹理贴图、法向量贴图等等的方法。共性几何是一个很重要的从很古典的黎曼几何中产生的几何。

  举例来讲,这个大卫的雕像,我们将它保角地映射到平面上去。它表面上看好像变化很大,但实际上变化不大,因为它是保角不变的。这在图像处理中是一个很重要的事情。举个例子来讲,从图上要画格点,因为我们画到平面上去以后,我们就可以将平面上画的很好的格点映射到脸上,就可以变成很漂亮的四方形的格点。这对工程处理有很多好处,其好处就是它将图上很小的圆映射到对方图上还是一个很小的圆,不会有扭曲,不会有太大的变化。

  前面这些应用到一个数学上很重的定理,叫做庞加莱单值化定理,这是一个从黎曼时候开始的定理。就是讲映射的图形只跟它的拓扑性有关,这上面有三种几何,分别为:球面几何、欧氏几何、双曲几何。所有二维的几何,不管是什么样子的,我们都可以用这三种几何来分类。因此我们就可以将很复杂的事情很简单地描述出来。

  上面这些我们得出了很好的结果。但是保角也有它的缺点,所以我们也发展了第二类映射,我们使得面元被保持,而角度不一定被保持。保角映射有时候可能将一个面拉的很远,左手边是保角映射,右手边是保面元映射。右面的图在不同的情形下会得出很好的结果。

  3、计算机视觉,表情追踪 – 拟共映射

  共性映射也可以应用到表情识别和追踪当中。我们可以自动地找到球面上曲面间的光滑映射,使得特征点匹配,使映射带来的变化很小。这是我们得到的一个很重要的结果。 

  因此,我们可以用来追踪表情,表情捕捉。一个人他在笑、在哭、在种种不同的表现的时候,我们能够得到他的重要的面部特征,主要的方法就是我们将它映射到平面上,然后用共形映射或拟共形映射来研究它。这些都是很重要的数学工具,在计算上也有很重要的应用。

  拟共形映射到目前来讲,纯数学家把它看得还是非常重要的,它不是一个正则方程,而是一个伪正则方程,也即Beltrami方程。这个方程在我们研究图像变形时在数学上是非常重要的,所以我们应用到图形处理里面去也得到很重要的结果。我们可在微分同胚的空间进行变化到最优的映射。它对医疗和动漫都有很重要的应用。

  4、计算力学 – 六面体网格生成,叶状结构理论

  我们也可以用同样的变化(保角映射)来产生六面体网格的生成和叶状结构理论。

  这是在一只兔子上找到的好的网格。但是这个网格会产生一些奇异点(拓扑学的缘故)。针对这些奇异点,我们就做了一些研究,得出了很好的结论。

  再比如,我们看这个曲面,在这个曲面上我们画出一些叶状的结构,可是它也有一定的奇异点。我们将这些奇异点分类,得出了一些在计算机科学上有意义的结论。

此外,全纯二次微分的网络中间有个六边形的变化。

  5、数字几何处理-几何压缩:蒙日-安培理论,几何逼近理论

  下面我们来看计算机的几何压缩中的蒙日-安培理论以及几何逼近理论。如何压缩复杂几何数据,同时保证几误差最小,保证黎曼度量、曲率测度、微分算子的收敛性,这些都是很重要的问题。我们用了很多共形映射的方法将曲面映射到平面去;再用蒙日-安培方程,将高曲率区域放大;随后重采样,在共性参数域上计算Delaunay三角剖分。这样得到的简化多面体网格就能够保证黎曼度量、曲率测度、微分算子收敛。

  6、区块链:数字安全,椭圆曲线理论

  这方面很多人都知道,这部分我就跳过去不再讲了。

  7、人工智能

  目前机器学习算法需要大量的样本。虽然现在比从前进步得多了,但规模还是很庞大。所以我们的想法是,让理论来帮忙处理这种复杂的数据学习。

  在机器学习中有很多统计的内容,但是很多内容我们都不是很了解它是如何产生的。所以我们需要用一些比较严格的数学的理论来从这些复杂的现象中抽取出它们的本质。我们今天介绍一下用几何的方法来研究对抗生成网络(GAN)的事情。

  生成对抗网络GAN(Generative Adversarial Networks)其实就是以己之矛克己之盾,在矛盾中发展,使得矛更加锋利,盾更加强韧。这里的盾就被称为判别器(Descriminator),矛被称为生成器(Generator)。生成器G一般是将一个随机变量(例如高斯分布或者均匀分布),通过参数化的概率生成模型(通常是用一个深度神经网进行参数化),进行概率分布的逆变换采样,从而得到一个生成的概率分布。判别器D也通常采用深度卷积神经网络。

  举个例子来讲,有个概率分布u,u是基本的白噪音,影射到右手边的图片,一个概率分布v。我们从映射里看到GAN的问题其实就是:在两个概率分布u和v之间,找到一个最优的传输映射,从一个空间到另外一个空间,使它的概率分布是保持的。

  u通过phi映射到v上去,同时我们要将它传输的代价变得最小。这样的变化是我们所需要的,因为这就不再需要像刚才所说的矛盾变化来达到最好的结果。我们知道,映射可以用一个方程来解决,所以我们其实就是要找一个凸函数U,它的梯度是我们的映射函数phi,它满足一个方程:蒙日-安培方程。

 

  我们可以通过对这个方程进行求解的方式来找到最优传输映射,所以就节省很多生成对抗的时间。蒙日-安培方程本身其实是等价于微分几何中的亚历山大定理的。60年代就有人处理过这个方程,我自己也做过这个方程,前几年顾险峰跟他的学生也和我一起对它做了一个计算。

  对抗生成网络实质上就是用深度神经网络来计算概率测度之间的变换。虽然规模宏大,但是数学本质并不复杂。应用相对成熟的最优传输理论和蒙日-安培理论,我们可以为机器学习的黑箱给出透明的几何解释,这有助于设计出更为高效和可靠的计算方法。

  六、总结

  我们看到现代数学和计算机科学的发展紧密相关,共形几何的单值化定理、蒙日-安培理论、最优传输理论等现代几何中的定理应用到计算机科学中的很多领域。我希望我们能够将更多那些表面上看来很高深的数学应用到我们日常的计算机上去,不但是能够有效地提出计算机的算法,同时也能够给它一个理论的基础。人工智能需要一个坚实的理论基础,否则它的发展会有很大困难。

做完并标注完滑铁卢高斯数学竞赛历年40套试卷1000道真题,写下这篇文章的标题时,我在权衡“高斯数学竞赛”和“高斯数学托福”这两个用词上犹豫了几分钟。


    为什么呢?

    说实话,在我看来,这个高斯数学竞赛前面10道5分题基本上是送分题,中间10道6分题是在考察数学基础,只有后面5道8分题才是真正的竞赛题。

    所以也有人管这个数学竞赛叫“加拿大的数学托福”,我觉得这个称呼可能会更加恰当一些。

    口说无凭,咱们还是用数据说话。

    下面我给大家看一道题:

    这是2007年高斯数学竞赛7年级的第三题,大家体验一下这个竞赛在前面10道题是如何送分的。

    原文翻译:哪个整数放在括号里面使得()-5=2?

    你觉得这是7年级的数学竞赛题吗?国内一年级小朋友大部分应该都可以回答上来吧

    题目出错了吗?

    不会,我分析出题者这么出题是有特别用意的。我后面会谈到这一点,各位请继续往下看。

    滑铁卢数学学院不愧为北美乃至全世界最大的数学学院之一,在数学领域拥有优良的声誉及传统。这一点从其为每道数学竞赛题给出的详细解题过程可见一斑——无论题目难度如何,都给出了非常详细的官方解答,充分体现了滑铁卢对数学的严谨态度和认真精神。

    然而有的题目给出的官方解法有失竞赛题本身具有的思维之美,让人看得


    例如2017年高斯8年级的最后一道压轴题——第25题:

    题目有点长,原文翻译如下:Brady需要把600个盘子放在一个碗架上,每个盘子可以标记为黑色、金色或红色,并且所有黑色盘子放下面,金色盘子放在中间,红色盘子放在上面。要求黑色盘子数量为2的倍数,金色盘子数量为3的倍数,红色盘子数量为6的倍数。请问一共有多少种不同的放法?

    滑铁卢官方给出了此题的两种解法,每种解法都用了一页半左右的篇幅,这种严谨和认真实在是让人佩服啊!



    估计大多数人看到这里会说

    其实此题并没有那么难的,只是解答过程把大家吓住了。

    不信看看下面这个解法:

    Solution:依照题意,设黑色盘子,金色盘子,红色盘子分别为2X,3Y,6z个,可得:2X+3Y+6z=600。注意观察等式,分别拿2和3去除等式的两侧,根据整除法则,显然2能整除Y,3能整除X,因此Y=2y,X=3x。代入到原等式,得到6x+6y+6z=600,即x+y+z=100。所以此题转化为求不定方程x+y+z=100一共有多少组非负整数解。想象成100个球被两块隔板去隔开,每一种分割方法对应x,y,z的一个不同解。分两种情况:

    y不为零:等于在101个缝隙中(100个球夹着99个缝隙,两边各有1个缝隙)选2个的组合数,即101X100/2=5050;

    y为零:等于把两块隔板捆起来往这101个缝隙中插入,共有101种;

    因此答案为5050+101=5151,选E.

    其实没有那么复杂,对吗?

    熟悉排列组合的同学估计心算就能给出答案。

    (对于上述解法不太理解的同学,可以长按如下的北美数学竞赛群二维码,然后选择"识别图中二维码"加入,在群里可以免费试听我主讲的概率基础之排列组合由浅入深网课获得详细的图示解说。该二维码7天内有效,如您看到本文时已经过期,请关注我们的公众号“智能未来数学”,选择右下方的“北美竞赛群”,再点击"入群二维码",在接收到系统发送的二维码图片后,打开图片长按上面的二维码,然后选择"识别图中二维码"入群)


数据分析报告


    又到了榜单发布的时刻,我们先来看看7年级的历年真题知识点排行榜吧——



    这是8年级的历年真题知识点排行榜——



    两个榜单有一个很有意思的现象:两个年级Top8的知识点差不多。这也许是滑铁卢把7年级和8年级的数学竞赛统称为高斯数学竞赛的原因吧!


    排在第一名的大家也许没有想到,是基础运算(Basic calculation),就是我们常说的整数、小数、分数的加、减、乘、除,题目是基础得不能再基础了,是国内小学生的水平。


    排在第二名的还是面积(Area),与我在前面两篇Elmacon和AMC 10数据分析报告中提到的一样,面积题好像是北美数学竞赛出题者的最爱,也可能他们看到了中小学数学几何教育的不足,因此希望反复强化。

    与Elmacon和AMC 10不同的是,滑铁卢数学竞赛7年级和8年级的考题中,几何面积题相对简单,例如2012年高斯8年级的最后一道压轴题


    字体有点小,原文翻译如下:右图长方形WXYZ中有一个平行四边形PQRS,PT垂直于SR,求ST的长度?

    用面积法结合勾股定理来解这道题比较简单,长方形面积减去四角四个三角形的面积得到中间平行四边形的面积,用勾股定理很容易算出平行四边形的底和SP,再用面积公式得到平行四边形的高PT,再用一次勾股定理则马上得到ST。整个解答过程如下:

    Solution:

由面积公式:

S(PQRS)(S表示PQRS的面积)

=(12+3)X(4+5)-2X(3X4/2)-2X(5X12/2)

=63

根据勾股定理:

SR=(5^2+12^2)^(1/2)=13

根据面积公式:

PT=S(PQRS)/SR=63/13

根据勾股定理:

SP=(3^2+4^2)^(1/2)=5

再用一次勾股定理:

ST=(5^2-(63/13)^2)^(1/2)

=((13X5)^2-63^2)^(1/2)/13

=(65^2-63^2)^(1/2)/13

=((65+63)X(65-63))^(1/2)/13

(利用平方差公式)

=256^(1/2)/13

=16/13

答案选D.


    排在中间的分数、百分数、比率、日常应用等都是中规中矩的基础题,部分题目在基础之上稍微做了一些变换和深入,与AMC 10数据分析报告里面提到的一样,滑铁卢数学竞赛也是非常重视数学与日常应用的结合,强调用数学解决生活和工作当中遇到的实际问题。

    2007年高斯7年级的压轴题就是一道活生生地把计算机软件编程里面堆栈“后进先出”的概念应用到数学题中的绝好例子(估计出题人正在从事计算机软件行业):

    

    原文翻译如下:加拿大数学竞赛接待中心用一个托盘存放接收到的36封信,这些信从中午12点开始,每5分钟来3封。接待中心对于每次收到的3封信处理规则如下:先按照顺序把3封信放在托盘上,然后马上拿走上面的2封(后进先出)。直到把所有36封信按照这个过程接收并处理完,以后每5分钟仍然拿走上面的2封信。请问第13封信是在什么时候拿走的?

    估计学计算机软件编程的人会有一种想写一个程序把这个过程算一下的冲动,这不是典型的软件商业系统堆栈应用吗?

    没学过软件编程的同学如果在考场上把这道题做出来了,等于是提前上了一堂计算机软件编程课。

    只要理解了堆栈“后进先出”的概念,这道题其实是比较简单的,整个解答过程如下

    Solution:可以根据题意把整个处理过程按照时间、接收到的信、拿走的信、留在栈上的信分成四列做成一张表:

很容易看到第13封信是在1:15分被处理的,答案为A。


    需要强调一下的是排在高斯7年级第8位的数谜(Number Puzzle),数谜(Number Puzzle)尽管在高斯8年级的Top8知识点中没有上榜(排在第16的位置),但大家千万别小看了这个类型的题目,因为该类题目在后面5道8分难题中出现的频率非常高,由此可以看出滑铁卢数学竞赛的出题者在8分难题中,对数谜(Number Puzzle)题目是有偏好的。

    对于这种类型的题目,智能未来数学的总结是解法四部曲——先观察、找突破、顺藤摸瓜、照顾全局。时间关系,这里就不再举例了。

    感兴趣的同学可以扫码入群,试听我主讲的数谜(Number Puzzle)相关网课。


思考与总结


    看完数据分析报告,您是否还把滑铁卢数学竞赛等同于国内的奥数,认为它只是少数孩子应该参加的数学竞赛呢?

    就像我前面提到的,您把它看成是加拿大数学托福考试可能会更准确一些。

    有些家长朋友来到加拿大以后,对于加拿大中小学数学教育之薄弱很不适应,我听说有着急的家长去找了校长申诉,但也无济于事。

    我的看法,加拿大目前这种数学教育模式存在则有其合理性,至少反应了一部分人的数学需求。

    社会本来就有不同的分工,需要不同的人才,对于将来从事服务型、技工类等工种的同学来说,确实没有必要像国内一样使用高考统一标准,在中小学学很多复杂的数学。因此对这部分同学来说,只需要普及最低标准的日常生活用数学就可以了——这就是大家看到的目前大部分中小学公校的数学教育现状。

    等到孩子们到了高中,哪些数学功底好的可以从事更高一级学习和研究的同学,可以申请到大学去继续深造;哪些数学成绩不好,不想学习的孩子,很自然就进入了服务型和技工类等这些不需要复杂数学的行业了。

    这种自然分流很科学啊,所谓人各有志,不同工种在加拿大相对来说也比较平等,脑力劳动和体力劳动也不像国内有那么大的差别。从这个角度来说,加拿大中小学目前这种数学教育模式真的是无可厚非。

    但是对于那些希望孩子能够到好大学去继续深造学习的家长朋友来说,一定不能让孩子们满足于学校传授的数学知识和训练,应该鼓励孩子多看数学课外书,要求孩子在业余时间要比满足于最低数学标准的同龄人多做一些题,让孩子接受更好的数学教育,至少应该每年去参加一下滑铁卢这个数学竞赛。

    事实上,加拿大的大部分中学都会组织和鼓励同学们去参加滑铁卢数学竞赛。假如孩子7年级去参加高斯7年级的竞赛,8年级去参加高斯8年级的竞赛,如果得分在100分以下的话,我的建议是对于类似孩子的数学学习,家长朋友一定要引起高度重视了,长期这样下去可能会看到我们不希望的自然分流结果。

    因为我在教学过程中发现,有的孩子的数学基础实在是不牢啊,很多东西都没有学透,都是在一种似是而非、懵懵懂懂的状态。

    举个例子,我问7年级孩子:“如何解方程学过吗?” 

    “好像学过。”(注意是好像

    “那你解一下这个方程吧:x+5=2x。”

    “这个没学过,老师讲方程时只让我们填空,例如:()+5=12这样的题,我们知道括号里面应该填7。”

    ......

    按照加拿大的教学大纲,5年级接触未知数,6年级会解方程,而我们的孩子在学校接受的数学教育大部分是这样的:

    一没有从根上把数学原理学透,解方程最关键的一句话“等式两边可以同时加、减、乘任意数,或除非零的数,等式不变”没有学到;

    二没有课后作业进行强化;

    三没有复习,东西学完后过两天基本上就交给老师了;

    ......

    在加拿大免费公校数学教育标准过低的今天,滑铁卢数学竞赛在弥补加拿大中小学数学教育的不足方面起到了举足轻重的作用,举办者和出题者试图通过这一竞赛来让更多的孩子喜欢数学,学好数学,前面10道题基本上是在送分,中间10道题在检测孩子的数学基础,最后5道题才是真正的竞赛题。建议家长朋友们把它看成是年度期末考试而不是数学竞赛,鼓励每一个孩子都去参加这个年度考试以打好数学基础,保持华人的理工优势。

    从这个角度上说,我们应该感谢滑铁卢大学在加拿大中小学数学教育方面做出的杰出贡献!

    对于那些想在加拿大学计算机的同学们来说,强烈建议你们报考滑铁卢大学,听说他们培养的学生美国的很多大公司都抢着要。

    我分析后的结论:这是滑铁卢大学在数学方面对学生严格训练后产生的最明显的效果。

    本文为智能未来数学原创,文中所有数据均来自Rootofmath.com,由智能未来数学独家分析和整理,欢迎转发,转载请注明出处。


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