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据已公布消息,2020年IMO(国际数学奥林匹克竞赛)中国国家队名单,6名征战选手全部确定。


其中老牌强校:中国人民大学附属中学、华南师范大学附属中学、南京师范大学附属中学、 浙江乐清知临中学,连续两年都有学生进入IMO国家队。

但今年还有另一值得关注亮点:

时隔10年,中国奥数国家队再次有女选手入选。

而且入选者严彬玮,正是现今中国奥数的新晋“一姐”。

上一次中国奥数国家队类似情况,还要追溯到2010年的华中师大一附中的张敏,她在第51届IMO斩获金牌,后来保送进入北大数院。

完整奥数国家队名单,我们详解如下:

南风盖北风:6人国家队,5人出自南方高中

严彬玮

严彬玮,当前中国奥数当之无愧的“一姐”,来自南京师范大学附属中学,今年高三。

最新的战绩是今年3月参加罗马尼亚数学大师赛,拿下全球第三的成绩。在去年11月底举办的第35届中国奥数竞赛(CMO)中,获得第一名。

严彬玮早在初中就展现出奥数天赋,初三时首次参赛就超过了诸多高中选手。

在去年底作为国家集训队选拔的“第35届中国数学奥林匹克竞赛”中,严彬玮更是以满分成绩斩获第一名,并且率队江苏省代表队获得团体第一名。

而且围绕严彬玮,也有成绩之外的讨论展开,因为她正在为诸多女生学习数理化正名且树立榜样。

男生和女生学习数理化究竟大脑机制是否有差别,是全球范围内都喜欢谈论的话题。

但有严彬玮这样的实力,可以说明很多问题。

依嘉

依嘉,来自人大附中,今年高二。是去年IMO金牌选手邓明扬的同班同学。

在2019年的CMO中,依嘉以108分的成绩获得全国第二名,进入国家集训队。

依嘉是本次唯一来自北方(北京)高中的国家队队员。

人大附中作为北京奥数届的扛把子,历史荣誉和金牌成绩也一直名列全国前茅。

2019年CMO比赛中,人大附中就以9块金牌的成绩位列全国第一,而依嘉则是其中表现最好最稳定的选手。

并且提到人大附中,还得提一下他们拥有的另一位数学物理双料国家集训队选手孙睿,他此次选择了代表国家奥林匹克物理国家队出战。

此外,人大附中也是后浪汹涌,2019年进入国家奥数集训队的郑云兮、刘陌溪、陈誉霄,来自高一,郑和陈更是只有14岁,而他们的学弟廖昱博,更是以13岁的年龄斩获全国金牌。

人大附中,真是英才辈出。

李金珉

李金珉,来自重庆市巴蜀中学校。在2019年CMO竞赛中,巴蜀中学校一共拿下了7枚金牌,与成都七中并列第四。

而李金珉作为全国第三名,也是重庆学生在中国奥林匹克数学竞赛中的最高排名。

清北之间,李金珉选择了在数学方面底蕴深厚的北大。

根据中国网报道,他已经获得了北京大学数学英才班认定,这个历来只从高二学生中选拔人才的班级,也是北大全球顶尖的数学力量储备军。

今年与他一同被认定的的,巴蜀中学校还有两位,分别是陈轶钊、张书齐。

这一届,全国一共有43人得到了北京大学数学英才班入围资格,均为CMO获奖选手。

但入围并不一定被录取。据悉,北大数学英才班,最后只选拔不超过30人。

饶睿

饶睿,来自华南师范大学附属中学,高二。

2019年,他就和同学胡苏麟、刘明扬一起入选了第34届CMO国家集训队,并获北大保送资格。

去年11月,他再次参加CMO刷新了自己的成绩——全国第四,这也是奥赛强省广东最好的成绩。

2019年35届CMO,广东省一共拿下了14枚金牌,与湖北并列第一。华南师范大学附属中学和深圳中学是其中主力。

前者是广东老牌强校,一直在为国家数学竞赛输送人才。

而深圳中学,是近年来的后起之秀,凭借着高薪招聘清华北大博士、硕士毕业生的动向,一再出现在人们的视野中。

从CMO的结果(6人获得了金牌,3人入选最后国家集训队)来看,它的投入显然得到了回报。

韩新淼

韩新淼,来自浙江乐清市知临中学,今年高三。他高一就开始参加中国数学奥林匹克竞赛,并拿到了全国第二的成绩。此后连续3年入选国家集训队。

2019年,他在第35届CMO中排名第五。据温州商报报道,韩新淼已被清华大学预录取。

乐清市知临中学虽然是一所民办县级中学,在竞赛方面,却能与杭州二中、学军中学、镇海中学这些老牌名校一较高下。

从左至右:谢柏庭、韩新淼、潘至璇、卓景彬,图片来自《乐清日报》

2018年CMO,知临中学就有4名选手拿下金牌,入选国家集训队。其中,潘至璇斩获2018年CMO全国第一名,谢柏庭最终入选国家队,在IMO赛场上摘下一枚金牌。

梁敬勋

梁敬勋就读于杭州学军中学,高三。2019年,他在第35届CMO竞赛中排名第六,并在今年3月份举办的罗马尼亚数学大师赛上斩获金牌。

在2017年考入学军中学之后,梁敬勋就展现出了数学天赋,高一就拿下了全国高中数学联赛二等奖。

2018年举办的34届CMO上,高二的梁敬勋拿下金牌,并进入国家集训队,并被保送到姚班。

杭州学军中学建于1956年,同样是浙江的竞赛强校,近年来在各科奥数竞赛上频频出现。

在数学方面,虽然每年的CMO,其都有学生斩获金牌,进入国家集训队,但近年来鲜有选手进入国家队。

所以这次梁敬勋的入围,杭州的《都市快报》称为杭州近年来最好的成绩。

梁敬勋,图片来自浙江《都市快报》。

特殊的国家队选拔方式

按照往年的选拔流程,参加IMO的国家队队员,从2020年数学奥赛集训队中选拔,但需要经过一次集中考试,来确定名单。

但今年变了。

根据一份中国数学会数学竞赛委员会及全国中学生数学竞赛工作组发布的通知,因为新冠肺炎疫情的影响,这一选拔考试一直无法举办。

随着上报IMO参赛队员名单的截止日期的临近,中国数学会常务理事会研究决定,这一届的国家队队员通过2019年中国数学奥林匹克(冬令营)的成绩选拔组成。

也就是说,从第一名由高到低依次选取前6名为国家队队员。

小插曲是,今年有两个第六名。

来自杭州学军中学的梁敬勋和深圳中学的温凯越成绩并列。

为此,他们之间还专门进行了一场持续420分钟的加赛。

最后,梁敬勋同学在这场考试中更胜一筹,拿下国家队名额。

“前任”压力大,去年IMO中国队全部金牌

虽然今年阵容强大,但压力也不小。

主要来自他们的“前任”,上一届IMO中国代表队。

在去年举办的第60届IMO中,中国队六名选手全部获得了金牌,他们分别是:

  • 邓明扬(参加时高一,中国人民大学附属中学);

  • 胡苏麟(参加时高二,华南师范大学附属中学);

  • 袁祉祯(参加时高二,武钢三中,被保送清华姚班);

  • 俞然枫(参加时高二,南京师范大学附属中学);

  • 黄嘉俊(参加时高一,上海中学);

  • 谢柏庭(参加时高三,浙江乐清知临中学,已经被清华录取)。

其中袁祉祯和谢柏庭获得满分,中国队总分227分,与美国队并列团体第一——过去5年中首次获得冠军。

所以在去年成绩面前,中国今年IMO代表队压力也不小。但纪录和荣誉,向来就是被刷新的。

今年的第61届IMO竞赛将于9月21日-9月22日进行,会采用网络参赛的方式。

注:本文摘自网络

数学资讯

数学中没有捷径

原题 | 数学に王道なし.
作者 | 小平邦彦
译者 | 陈治中
校对 | 胡作玄
译自 | 数学の学ざ方, 岩波书店, 1987 年, pp.77-93。本文来自《数学译林》 

题目是要谈数学的学习方法, 我只想先谈谈笔者自己是怎样学习数学的, 通过回顾来讨论数学的学习方法.

首先, 我在小学生的时候所学习的并不是现在的“算数”, 而是“算术”. 算术大概就是计算术的意思. 学习的内容以计算技术为主, 图形的东西很少. 究竟怎样学习计算技术的, 几乎都忘记了. 但非常记得二年级时每节课就象念经那样背诵乘法九九表. 还记得一件事是计算距离. 当时的度量制以尺、贯、升为基本单位, 6 尺是 1 间, 60 间是 1 町, 36 町是 1 里, 所以它的计算比前些年在现代化之际流行的 2 进制法及 5 进制法要难得多. 我们要反复练习象

这样的计算.

现在的算数中都要教计算的含义. 例如对于分数的除法

为什么我要用 4/5 去除时可以将分子与分母交换而去乘 5/4 呢? 就需要说明它的理由. 我学习算术时就没有这种说明, 只学习这种规则, 即用分数去除时可以将分子与分母交换后去乘, 然后就在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思, 也就记住了. 而所谓明白了它的意思, 也并不是说已经能够说明为什么用分数去除时可以将分子与分母交换后做乘法, 而是指能够非常自如地进行分数的计算及其应用.

中学一年级时学习算术, 从 2 年级到 4 年级学习代数与几何. 对一年级的算术已经亳无记忆. 代数则有 2 次方程的解法、联立 1 次方程式、因式分解, 等等, 因式分解充其量也不过是 4 次式, 代数中还学习了对数的计算与开平方的方法. 所谓开平方法, 说的是如下那样求  的计算法.

当时中学里的有理数为有限小数或循环小数, 但是, 例如,  若按开平方法用小数表示, 就是

永远也开不尽, 是一个非循环而极不规则的无限小数. 故  是无理数, 就是这样子学习的(秋山武太郎:《わかる代数学》11 版, 昭和 57 年, 97 页. 看了这本书, 就明白当时中学的代数大致是什么样的了. ——原注). 笔者按开平方法计算了  等, 看到的不是循环小数, 也就理解了  等的确是无理数.

但是按开平方去求时, 充其量也不过算到小数点后 10 位左右为止. 实际计算一下  看看, 其计算如下所示的那样, 如果没有相当的毅力, 要计算到 15 位或者 20 位是很难的.

当然, 虽然

到小数点后 10 位都不循环, 但也不能说明  就不是循环小数. 尽管如此, 我们仍然确信  作为非循环的无限小数是个无理数. 那么为什么就没有产生这样的疑问, 即如果再往下计算或许就是循环的了呢? 怎么也想不起来了, 但恐怕是因为看到  的开平方法计算, 随着位数的增加而很快变得很复杂的样子, 就领悟到它不会是循环的. 或者是因为相信了教科书上写的  是非循环的无限小数也未可知. 总之, 反复进行对数计算及开平方法那样的计算练习, 对于培养对实数的感觉, 我认为是极其有效的.

谁都知道  是无理数, 但并非人人都知道  是无理数的证明. 数学家中不知道  是无理数的证明的人似乎也不少. 笔者直到不久前也是其中的一个, 在高木先生的《解析概论》中也只有自然对数的底  是无理数的证明, 而没有  是无理数的证明, 尽管如此, 对是无理数仍然坚信不疑, 恐怕是因为从中学时代起就反复听到说  是无理数的缘故.


本讲座中也没有  是无理数的证明. 即使让  是超越数的证明留给专业书籍, 但  是无理数的证明还是希望记录下来, 所以这里给出 I. Niven 的初等证明. (I. Niven: A simple proof that T is irrational, Bull. Amer. Math. Soc, 53(1947), p. 507. 这一证明在高中的微积分范围内可以理解, 在此意义上是初等的——原注)

证明是反证法. 假定  是有理数就产生矛盾, 为表明这一点, 设    是任意的自然数, 令

考虑积分

  时, . 因此, 由于

所以

正如熟知的那样, 对于任意的实数 , 有

(如果固定一个自然数 , 考虑 , 则

——原注)

故对于 , 若取充分大的 , 则

接着, 由分部积分

因此

重复此分部积分, 因为 , 所以得

又因为 , 所以

利用二项式定理展开(1)的右端 , 得

从而

到此为止, 无论  是无理数还是有理数都是成立的. 现设  是有理数:

因为(1)的  是任意的, 所以可设它与  中的分母  相同. 这样一来, 因为

为整数, 由(4),  全是整数, 因此, 由(3)可知 为整数, 与(2)矛盾(证明终).


从中学 2 年级到 4 年级的 3 年内学习的几何是古典的欧几里得平面几何. 近年来, 数学教育的现代化, 欧几里得平面几何已经从数学的中等教育中消失了. 听说其理由之一是因为欧几里得平面几何在逻辑上不严密. 但当时笔者却觉得欧几里得平面几何是极为严密的学问体系. 而且还通过欧几里得平面几何来学习逻辑. 平面几何也许并不严密, 但这里学到的逻辑却是严密的逻辑. 谢天谢地, 后来无论是在高中还是在大学, 在逻辑方面并没有学到任何更新的东西.

在当时中学的欧几里得平面几何中, 由纸上描绘的图形表示所看到的现象这种自然科学味道很强. 如果把在纸上描绘图形作为一个实验, 把证明看作说明该实验结果的理论, 那么平面几何可以认为就是自然科学. 为了说明这一点, 作为例子, 考察下面这个 Simson 逆定理.

定理 由一点    的三边延长线上所作的垂线的垂足  若在一条直线上, 则  位于  的外接圆上.

证明 首先作一图. 引直线 ,  外取又一点 ,  上取三点 , 通过 分别引直线 , 使与直线  垂直. 然后假设    的交点为 ,   的交点为 ,    的交点为 , 则可得到由一点    的三边或其延长线上作的垂线的垂足  位于一条直线上的图 1, 对于图 1 画出  的外接圆一看,  的确位于其外接圆上.

图 1

下面证明  位于  的外接圆上. 由假设, 因为 , 四边形  内接以线段  为直径的圆. 故由圆周角不变的定理

同样因为四边形  内接以线段  为直径的圆, 所以由圆周角不变的定理

看图, 由(1)与(2)可知

故由圆周角不变定理的逆定理, 四点  位于同一圆周上, 亦即  位于  的外接圆上(证明终).

描绘图 1 以确认  位于  的外接圆上, 到此为止是实验, 而说明该实验结果的理论就是证明. 对于图 1, 作为说明  位于  上的理论, 上述的证明是十分严密的.

而当我们把 Simson 的逆定理看作是由公理所构成的平面几何的形式体系中的定理时, 上述证明并不严密. 为什么呢? 因为图 1 表示了 Simson 的逆定理的一种情形, 还有如下图 2 的情形. 因此, 即使对于图 1 证明了 Simson 的逆定理, 也不表示 Simson 的逆定理对一切场合都成立. 要证明 Simson 的逆定理对一切场合都成立, 就要研究所有的情形, 明确会出现什么样的图形, 必须证明 Simson 的逆定理无论对哪种图形都成立. 而对此, 欧几里得平面几何的公理还不充分, 还必须补充序的公理. (小平邦彦: 《几何のおもしろさ》(数学入门丛书7), 岩波书店, 158-164页. ——原注)

图2

这样, 旧制中学的欧几里得平面几何作为由公理构成的数学体系还缺乏严密性. 但尽管如此, 还是把欧几里得平面几何看作极其严密的体系, 这恐怕是因为它作为图形的自然科学是十分严密的. 在学习平面几何时告诉我们重要的是正确描绘图形, 而这与物理实验必须精密是一回事.

欧几里得平面几何中由于没有序的公理, 如果描绘不同的图形进行讨论, 例如就可以证明任意三角形是等腰三角形. 若把它作为欧几里得平面几何的重大缺陷, 笔者认为是非常可笑的. 物理中做错了实验也会得出奇怪的结果, 由于图形的错误而得出来奇怪的结果可以说是很自然的. 假定不管画出什么样的图形都能得出正确的结果, 反倒难以理解.

我还清楚地记得巧妙添加辅助线解决平面几何问题后的快乐, 而具体是什么样的问题, 以及怎么解决的, 已经全然不记得了.


当时中学的代数与几何教科书是从 2 年级到 4 年级各一册. 3 年级时, 曾与同班的西谷真一两人从头开始做教科书上的问题, 不多时间就把 4 年级为止的问题都做完了. 于是就开始了阅读藤原松三郎著的《代数学》. 《代数学》是专业书, 第一卷大约 600 页, 第二卷也有 700 页, 中学的图书室里还有个竹内端三著的《高等微分学》, 但看到高等的就觉得是很难的数学, 也就敬而远之了. 要是知道《高等微分学》是高中用的微分学, 而《代数学》倒是专业书, 那当然就先读《高等微分学》了.

几乎已经记不起来到底是怎么念的, 以及念的是《代数学》的哪一部分, 但还隐约记得费了不少功夫学习开始的整数系的公理结构, 以及接下来的二次剩余互反律, 连分数还比较容易, Galois 理论却怎么也不明白, 等等. 幸好现在又出版了用片假名写的保留原来旧汉字的老版本《代数学》(藤原松三郎: 《代数学》1-2卷, 内田老鹤圃新社. ——原注), 我才得以在浏览该书的同时尽可能地回忆当时是怎样来学习的.

《代数学》的第一章第一节, 首先根据 Peano 公理定义了自然数系:

  • :  包含 1.
  • :  中之数  恒存在唯一后继数, 设为  .
  • : 1 无前驱数.  中除 1 外之数  恒存在唯一之前驱数, 设为.
  • :  由 1 的后继数 , , 组成.

如此定义了自然数系  后, 1 的后继数  称 2, 2 的后继数  称 3, 3 的后继数  称 4, 依次定义 5, 6, .

又由  的公理可以导出数学归纳法原理.

第二节中将  推广到全体整数的系统 , 按数学归纳法证明了, 关于整数的加法与乘法的交换律、结合律、分配律成立. 笔者费了很大的劲才理解这一证明. 与现在的 算数 不同, 算术中交换律与结合律从一开始就明确了, 所以并不是作为运算法则而特别学习的. 其证据就是乘法口诀表只背诵    的情形, 而当  时则是用  替换 后计算, 就是这样学习的. 笔者至今当做

那样的乘法时, 仍不由自主地计算为

本来是作为理所当然的事情而接受的交换律等等, 现在又要按数学归纳法重新加以证明, 所以理解其证明就很不容易. 还要煞费苦心故意装着不知道交换律, 在笔记本上抄下证明.

第二章是有理数域的数论. 记得这里第六节高木先生关于二次剩余互反律的证明很难. 正如熟知的那样, 对于自然数  与整数 , 当满足

的整数  存在时, 称    的二次剩余. 当  为奇数时, 定义 Legendre 记号为: 若  是二次剩余则为 . 若  非二次剩余则为. 这样, 互反律

就成立. 高木先生关于互反律的证明很简明, 现在读起来很明白, 但对于当时是中学生的笔者却很难理解. 为了理解则将其抄在笔记本上, 费了不少功夫, 最终也就记住了证明. 还记得自己也觉得是搞懂了.

第三章是无理数, 第二节是 Cantor 的无理数论, 他是把无理数作为有理数列的极限而引进来的. 第四节是 Dedekind 基于分割的无理数论. 关于 Cantor 的无理数论还隐约有些记忆, 而对于 Dedekind 的分割已毫无记忆了, 大概是因为不懂就跳了过去.

第四章连分数很明白, 记得还很有意思. 特别留下印象的是如下定理, 即实数是二次无理数的充分必要条件是其连分数展开为循环连分数.

其次留有记忆的是第七章行列式的定义

中置换

的符号的意思怎么也不明白. 最终是明白了, 但怎么搞懂的已经全然记不得了.

接下来还记得第十一章的 Galois 理论怎么也弄不明白. 章末的诸定理中还有 Loewy 的 Galois 理论. 因在高中(旧制)一年级时详细学习了 Loewy 的 Galois 理论, 笔记本还留着, 所以大概是进高中以后才念的 Galois 理论.

得益于在《代数学》中的苦心钻研, 后来无论是在高中还是大学, 数学方面没有费多大的劲就过去了. 无论是在课堂上还是自己读书, 只要仔细抄写在笔记本上也就明白了.

大学一年级时听了高木先生的解析概论课. 在练习中有这样的问题, 在区域  中, 若  是无理数, 则 ; 若  是有理数( 为既约分数且 )则定义为  的函数 其连续性如何呢? 如所周知, 若  是有理数, 则   处不连续; 若  是无理数, 则在  处连续. 关于这一点, 还记得稍稍改变了 的定义, 即假设当  是无理数时 , 当  是有理数时 . 那么若 有理数, 则    处不连续; 若  是无理数, 则在  处连续, 进而还注意到, 若  是二次无理数, 则在  处可微分. 从这时候起就开始考虑定理的其他证明, 或者将问题改变一下看看.

以上叙述了笔者是怎么学习数学的, 但回过头来看看, 首先注意到数学的理解方法有多种多样. 一般来说仅仅靠背是不行的, 必须理解其意思. 连文部省的 算数 指导要领中也有如“对于分数要理解乘法及除法的意义, 扩展使用它们的能力”这一项. “理解”常被认为是“背记”的对立面, 实际上似乎并不是那么简单的.

笔者从中学时候起就很好地“理解”了  是无理数, 但直到不久前还不知道它的证明. 也许大家觉得, 既然不知道证明, 那就不是理解而是“背记”. 但不可思议的是, 一开始读到上述 I. Niven 的证明时, 也并没有感到由此而对  是无理数这一事实的理解深刻了多少, 感觉到的是他的证明只不过确认了是无理数这一明显不过的事实, 仅此而已那么为什么不知道证明却又坚信自己很清楚  是无理数这件事呢? 究其理由大概有三个, 即从中学生时候起反复教我们  是无理数; 同时看到小数展开

(当时,  的展开只知道 1874 年 W. Shanks 计算到了 707 位, 后来到了 1946 年知道 Shanks 的结果从 528 位开始错了. 现在  利用计算机可以计算到 1 亿位以上. ——原注)

就觉得它不象是循环的; 再有就是到大学后听说了 Lindermann 在 1882 年关于  是超越数的证明.

为了理解数学的定理, 一般是一步一步循着证明的论证走. 但是循着证明的论证走是为了看看定理所叙述的数学现象的机理, 而不是为了确认证明是正确的, 为什么呢? 因为显然没有必要各自都去确认著名定理的证明是正确的. 根据学习《代数学》时的经验, 开始只要把不明白的证明抄写在笔记本上背出来, 不知不觉中也就明白了, 至少感觉到是懂了. 将不明白的证明在笔记本上反复抄写, 直到背出来为止, 我认为这是学数学的一种方法. 初等几何的大家秋山武太郎先生的名著《通俗几何学》的绪言中也有这样的句子: 特别地, 因为几何学是数学中要背的东西, 所以连问题都必须记住(秋山武太郎:《わかゐ几何学》5 页——原注). 顺便说一下, 古屋茂与笔者的弟弟在武藏高校(旧制)都随秋山先生学习过平面几何, 据说不管带着什么样的难题去问, 先生马上当场就解给他们看.

要是那样的话, 不就是说证明只要背下来也就明白了吗? 似乎还未必如此. 在反复记笔记中间, 在大脑中就产生了些什么, 从而就明白了! 好象就是这样的. 如果什么也没有产生, 那么尽管背了下来, 也还是不会明白的. I. Niven 关于  是无理数的原先的证明非常简单明了, 但开始读的时候, 感觉就象看到了巧妙的戏法, 却没有感觉到是明白了. 而为了写作本稿, 多次抄写在笔记上改写证明, 这才觉得是弄明白了.

笔者也有这样的经验, 即反复在笔记上抄写却还是弄不明白, 这就是十几年前, 当我想要了解从未接触过的数学基础理论到底是什么样的学问, 而去阅读 Kleene 的 Introduction to Metamathematics, 以及 Schoenfield 的 Mathematical logic 等书的时候. 因为觉得数学基础理论是最严密的数学, 所以只要仔细循着其论证走就能清楚明白了, 从这样的假定开始阅读, 不要说清楚明白, 简直是迷迷糊糊一无所获. 虽然非常仔细地抄写在笔记本上苦心钻研, 还是如坠五里雾中, Gödel 的不完全性定理好容易明白了一些, Cohen 的力迫法却始终也搞不懂. Kleene 的书与 Schoenfield 的书都是研究生院一年级的教科书, 所以青年学生应该很容易就能读懂的. 但是稍微上了点年纪就怎么也弄不明白了, 真是不可思议的现象.

对于应用广泛的基本定理则经常有这样的事, 即, 开始时循着证明的论证一步一步走都搞明白了, 又由于定理的频繁使用也完全记住了, 但这期间证明的方法却被慢慢地忘得一干二净. 然而, 决不是说忘记了证明就说定理也不明白了, 倒还不如说是在反复应用定理的过程中反而越发加深了对定理本身的理解.  是无理数这一定理就属于虽然不知道证明但却完完全全是非常清楚的. 人们也许会说不知道证明却完全理解的定理恐怕是个例外, 但实际上我觉得未必是例外. 1953 年 F. Hirzebruch 在代数簇的场合证明了 Riemann-Roch 定理, 猜想该定理在复流形时也照样成立, 1963 年传来了 Atiyah 与 Singer 证明了复流形的 Riemann-Roch 定理的消息. 因为知道使用 Riemann-Roch 定理就可以进行复解析曲面分类的研究, 所以笔者立即就开始了复解析曲面分类的研究. 那时, 对笔者来说, 复流形的 Riemann-Roch 定理就是一个完全理解但却不知道其证明的定理. 再有, 当 1952 年周炜良和笔者在合作的论文中证明具有两个代数无关的有理函数的 Kähler 曲面是非奇异代数曲面时, 证明中用到的代数曲面的奇点消灭定理, 对笔者来说, 也是一个不知道证明但非常清楚的定理. 象奇点消灭定理那样最最基本而证明非常长的定理, 实际上, 虽然不知道证明, 但作为完全理解了的定理, 能够应用的场合并不少. 近期出现了在证明中使用计算机的新型定理. 那么什么叫做理解了这种定理呢, “理解”的含义已经越来越扩展了.


再说数学的学习方法, 打开数学书一看, 就是若干个定义与公理, 以及定理的证明: 为了理解定理, 首先要阅读证明, 循着其论证一步一步看. 最好是弄懂证明, 如果不明白时, 就在笔记上反复抄写看看, 大多数情形就会明白的. 我觉得, 在笔记上反复抄写不懂的证明是数学的一个学习方法. 如果反复在笔记上抄写仍不明白, 那该怎么办才好呢? 我也不太知道. 但笔者在学习 Schoenfield 的书时, 尽管反复在笔记上抄写, 但仍然不明白力迫法, 所以干脆也就不了了之. 那时因为作者已接近退休, 又不是非学数学基础的理论不可, 倒也无可非议. 而对大学数学专业的学生, 笔者本人希望, 既然已经是数学专业的学生, 那么本着读书百遍, 其义自见, 对  论法也同样, 在笔记上抄写上百遍, 就一定能明白的.

如上那样一旦明白了的定理, 为了加深对其理解, 尝试想想别的证明是很有效的. 这是因为另外的证明是表示从另一角度去看定理所叙述的数学现象的机理.

例如全体实数的集合是不可数的, 一般是按 Cantor 的对角线法证明的. 只要按反证法证明 0 与 1 之间全体实数的集合  是不可数的即可. 所以假定  是可数的, 亦即

由此导出矛盾. 为此设  的 10 进小数表示为

这里  表示数字  中的某一个, 选择数字 , 使满足条件

因为  是 0 与 1 之间的实数, 所以应与  中的某一个一样, 设 , 则 与 (1) 矛盾. 故  不是可数的(证明终).

这一证明虽然简单明了, 但总有一种似乎被花言巧语所蒙骗的感觉. 因此考虑别的证明看看. 假定全体实数的集合  是可数的, 亦即

由此导出矛盾. 对于各个 , 固定一个包含  的开区间

由 (2), 因为

在实直线  上任意选取闭区间  时, 若考虑区间

的宽度, 则由(3)可以想象,  的宽    中的宽度总和小:

实际上可以很容易确认(4)成立. 因为闭区间  可以被开区间  覆盖, 所以由 Heine-Borel 覆盖定理,  就被  中的有限个覆盖:

这时显然为

(本讲座《解析入门》51-52 页——原注) 故(4)成立.

取定一个实数 , , 若取  是以  为中心, 宽度为  的开区间

这与(4)矛盾. 故  不是可数的(证明终).

这就得到了实数集合是不可数的另一证明, 这另一证明虽然比用对角线法的证明要麻烦, 但并没有被花言巧语所蒙骗之感. 由这个另外的证明,  不仅是不可数的, 而且知道  的可数子集只不过占了  的极小一部分. 为什么呢? 因为假设    的可数子集, 则对于任意的 , ,  被宽度总和为  以下的开区间  所覆盖.

再有, 为了加深对定理的理解, 尝试将定理应用于各种各样的问题中也是很有效的. 如果已经可以自如地应用定理, 那么该定理应该算是完全理解了, 在定理的各种各样的应用中往往就忘掉了定理的证明, 但即使忘掉了证明, 对定理的理解并没有改变.

象这样虽然已经忘掉了证明但却完全理解的定理不胜枚举, 而对于这种定理, 现在所知道的只是, 我自己都曾经循着证明的论证一步一步做过. 与此相对, 则是知道曾经有其他人循着证明的论证一步一步做过、而又屡屡应用的定理, 即是那种不知道证明却很明白的定理. 知道证明但却忘掉了, 与完全不知道证明, 虽然看起来好象非常不一样, 但自己循着证明的论证一步一步做过所知道的, 与有人循着证明的论证一步一步做过所知道的, 也可以认为没有太大的差别. 如果这样的话, 那么不知道证明却完全明白的定理, 与证明虽已忘掉但完全理解的定理, 也并没有多大的差别因为有了这种信心, 所以才能应用这种定理.

最后, 所列举的数学的学习方法就是, 将不懂的证明在笔记上反复抄写下来看看、考虑另外的证明、试着将定理应用于各种问题, 这些都是非常平凡的事情. 所谓几何上没有捷径(欧几里得), 恐怕就是说数学上没有捷径.

本文转自:《数学译林》

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人类的情感可以用数学语言来表达吗? 今天刚好是5月20日——信息时代的爱情节日,小编带大家来领略一下数学的浪漫!




英国伟大的的数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家牛顿是位百科全书式的“全才”。他的《自然哲学的数学原理》是自然规律和法则的数学表达。他的微积分创造性解决了物理学中众多很难解决的问题。在当时看来,很多问题只能是定性而不能是定量,但是牛顿创造了一种新的数学方法,使看似不可能用数学表达的事物可以用数学的形式表达。


那么,现在提出这样一个问题:人类的情感可以用数学语言来表达吗?

今天刚好是5月20日,信息时代的爱情节日,小编带大家来领略一下数学的浪漫!


爱情数


大家会做因子分解吗?
现在我们来做一道因子分解题:

先把220的因子都写出来:
1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、ll0、220
把这些因子加起来
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

然后把284的因子分解出来:
1、2、4、71、142、284
把所有因子相加
1+2+4+71+142=220

看出来了吗?除了他们本身,220的因子总和是284,284的因子总和是220。
你可能会惊叹,这真是一组奇妙的数字,你中有我,我中有你,宛如一对恋人。


这对数字是数学界发现最早的“爱情数”,又称“亲和数”,发现它们的人的名字是著名的古希腊数学家“毕达哥拉斯”。“爱情数”指的就是这样两个自然数,其中每个数的真因数之和等于另一个数。



220和284是人类最早发现的所有爱情数中最小的一对,也是第一对爱情数。因此,备受古代欧洲人的推崇,甚至赋予其神秘色彩。



据《数学魔术》一书记录,他们相信刻者220和284的两块符咒可以确保佩戴人亲密无间;他们相信吃下刻有220和284的两个水果能产生爱情。就连《圣经》中也有记载,雅各布把220头羊当礼物送给孪生兄弟以扫,神学家们认为山羊的数目220(一对亲和数中的一个)表达了雅各布对以扫的友爱之情。


心形线


相传,著名的数学家笛卡尔在晚年认识了瑞典小公主克里斯汀,并成为她的数学老师,朝夕相处使他们彼此产生了爱慕之心。


笛卡尔(左)与克里斯汀(右)


然而,爱情的道路艰难坎坷,公主的父亲是他们最大的阻力,后来两人便只能通过书信往来。

据说,笛卡尔寄给克里斯汀的最后一封信,内容只有短短的一个公式:


公主看到后,立马在纸上建立了极坐标系,用笔在上面描下方程的点,终于解开了公式的秘密——这就是美丽的心形线。



看,数学家也有自己的浪漫方式!



心形线是有一个尖点的外摆线。也就是说,一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时,圆上一点的轨迹就是心形线。



心形线是外摆线的一种,其n为2。它亦可以极坐标的形式表示:r= 1 + cosθ



这样的心脏线的周界为8,围得的面积为3π/2。

心脏线亦为蚶线的一种。



在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。

心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的,意为“像心脏的”。



在笛卡尔坐标系中,心形线的参数方程为:

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于(r,0)
在极坐标系中的方程为:
ρ(θ)=2r(1-cosθ)
面积:


四个朝向不同的心形线


520


上学的时候大家应该经常想:微积分有什么用?概率统计有什么用?520当天可以用来写数学情书吗?

还真可以!



大家不妨猜一猜,这表达的是什么意思呢?

这个公式是排列组合公式,上面的式子对应的就是
I Choose U.


I choose you. 


再来一个!


Mylove' = 0


大家是不是以为说的是“我的爱等于0”?

注意e'上面有一个“'”,这表达的是导数。

如果Mylove的导数是0,那么说明Mylove的值是个常数,常数的英文是Constant,所以合在一起就是:


My love is constant.


我的爱是永恒的。

最后,小编想用电影《美丽心灵》里的一段台词作为结束语。



It is only in the mysterious equations of love that any logic or reasons can be found. I'm only here tonight because of you. You are the reason I am. You are all my reasons.

只有在这种神秘的爱情方程中,才能找到逻辑或原由来。今晚我能站在这儿全是你的功劳,你是我成功的因素,也是唯一的因素。


数学是浪漫的
  祝大家520快乐!

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一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分,因为科学只能给我们知识,而历史却能给我们智慧。——傅鹰
数学的历史是重要的,它是文明史的有价值的组成部分,人类的进步和科学思想是一致的。—— F. Cajori


0、引言
数学发展到现在,已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来,数学中研究数的部分属于代数学的范畴;研究形的部分,属于几何学的范筹;沟通形与数且涉及极限运算的部分,属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围,由于数学通过数与形这两个概念,与其它科学互相渗透,而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米(al-Khowārizmī,约780-850)一本著作的名称,书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah,直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr 意为“还原”,这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项;muqabalah 意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项.在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用,英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料,很少流传下来.一般认为他生于花拉子模[Khwarizm,位于阿姆河下游,今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近],故以花拉子米为姓.另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī).祖先是花拉子模人.花拉子米是拜火教徒的后裔,早年在家乡接受初等教育,后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造,并到过阿富汗、印度等地游学,不久成为远近闻名的科学家.东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn,公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米.公元813年,马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后,聘请花拉子米到首都巴格达工作.公元830年,马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah,是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关),花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一.马蒙去世后,花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作,直至去世.花拉子米生活和工作的时期,是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期.
花拉子米科学研究的范围十分广泛,包括数学、天文学、历史学和地理学等领域.他撰写了许多重要的科学著作.在数学方面,花拉子米编著了两部传世之作:《代数学》和《印度的计算术》.
1859年,我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”,亦即:代数,就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。
古希腊数学家丢番图(Diophantus)用文字缩写来表示未知量,在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》(Arithmetica)。其中他引入了未知数的概念,创设了未知数的符号,并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”(Father of algebra)的称号。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今,它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。
1、算术
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。
--高斯(Gauss,1777-1855)
数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。
--麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
算术有两种含义,一种是从中国传下来的,相当于一般所说的“数学”,如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的,源自希腊语,有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”,往往指自然数的四则运算;如果是在高等数学中,则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术,主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算,并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支,它的一些结论是在长达数千年的时间里,缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来,并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中,产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象,还要计算各种量,例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要,就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展,起源于印度,时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用,之后传到西欧。15世纪,它被改造成现在的形式。在印度算术的后面,明显地存在着我国古代的影响。
19世纪中叶,格拉斯曼(Grassmann)第一次成功地挑选出一个基本公理体系,来定义加法与乘法运算;而算术的其它命题,可以作为逻辑的结果,从这一体系中被推导出来。后来,皮亚诺(Peano)进一步完善了格拉斯曼的体系。
算术的基本概念和逻辑推论法则,以人类的实践活动为基础,深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的,但由于它概括的原始材料是如此广泛,因此我们几乎离不开它。同时,它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。
2、初等代数
作为中学数学课程主要内容的初等代数,其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的:其一是增加未知数的个数,考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组);其二是增高未知量的次数,考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
1古巴比伦(公元前19世纪~前17世纪)解决了一次和二次方程问题,欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法,并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。
代数学符号发展的历史,可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前,对问题的解不用缩写和符号,而是写成一篇论文,称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪,对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法,称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一,就是把希腊代数学简化,开创了简化代数。然而此后文字叙述代数,在除了印度以外的世界其它地方,还十分普通地存在了好几百年,尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后,对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记,这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系,称为符号代数。韦达(Viète)在他的《分析方法入门》(Inartem analyticem isagoge,1591)著作中,首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算,提出符号运算与数的区别,规定了代数与算术的分界。韦达是第一个试图创立一般符号代数的的数学家,他开创的符号代数,经笛卡尔(Descarte)改进后成为现代的形式。笛卡尔用小写字母a, b, c等表示已知量,而用x, y, z代表未知量。这种用法已经成为当今的标准用法。
“+”、“-”号第一次在数学书中出现,是1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》(Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489)。不过正式为大家所公认,作为加、减法运算的符号,那是从1514年由荷伊克开始的。1540年,雷科德(R. Rcorde)开始使用现在使用的“=”。到1591年,韦达在著作中大量使用后,才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特(T. Harriot)创用大于号“>”和小于号“<”。1631年,奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年,笛卡尔第一次使用了根号,并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现,那是近代的事了。
数的概念的拓广,在历史上并不全是由解代数方程所引起的,但习惯上仍把它放在初等代数里,以求与这门课程的安排相一致。公元前4世纪,古希腊人发现无理数。公元前2世纪(西汉时期),我国开始应用负数。1545年,意大利的卡尔达诺(N. Cardano)在《大术》中开始使用虚数。1614年,英国的耐普尔发明对数。17世纪末,一般的实数指数概念才逐步形成。
3、高等代数
在高等代数中,一次方程组(即线性方程组)发展成为线性代数理论;而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科,而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数,只研究它们的基础。高次方程组(即非线性方程组)发展成为一门比较现代的数学理论-代数几何。
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意,而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念,从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合,然而它以力或速度作为直接的物理意义,并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度,散度,旋度就更有说服力。同样,行列式和矩阵如导数一样(虽然在数学上不过是一个符号,表示包括的极限的长式子,但导数本身是一个强有力的概念,能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情)。因此,虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。
十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式(determinant)的概念,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲,第一个提出行列式概念的是德国的数学家,微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz,1693年)。
1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》(Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques)中发表了求解线性系统方程的重要基本公式(既人们熟悉的Cramer克莱姆法则)。
1764年,Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程,Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线性方程组求解相分离)的人。并且给出了一条法则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人。
参照克莱姆和Bezout的工作,1772年,Laplace在《对积分和世界体系的探讨》中,证明了Vandermonde的一些规则,并推广了他的展开行列式的方法,用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名。1841年,德国数学家雅可比(Jacobi)总结并提出了行列式的最系统的理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy),他大大发展了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言,最早利用矩阵概念的是拉格朗日(Lagrange)在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些,他首先需要一阶偏导数为0,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。
大约在1800年,高斯(Gauss)提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。(这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。)虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名,但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分,而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。
矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。
1848年,英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵(matrix)这个词,它来源于拉丁语,代表一排数。在1855年矩阵代数得到了Arthur Cayley的进一步发展。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵的逆在内的代数问题。1858年,Cayley在他的矩阵理论文集中提出著名的Cayley-Hamilton理论,即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式
det(AB)=det(A)det(B)为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语,并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值;给出了相似矩阵的概念,并证明了相似矩阵有相同的特征值;研究了代换理论。
数学家试图研究向量代数,但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积(既V×W不等于W×V)的向量代数是由Hermann Grassmann在他的《线性扩张论》(Die lineale Ausdehnungslehre)一书中提出的(1844)。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中,结果就是现在称之为秩数为1的矩阵,或简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs发表了关于《向量分析基础》(Elements of Vector Analysis)的著名论述。其后物理学家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。
矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展,矩阵又有了新的含义,特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
4、数论
以正整数作为研究对象的数论,可以看作是算术的一部分,但它不是以运算的观点,而是以数的结构的观点,即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说,数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
“2早在公元前3世纪,欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的,他还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”:在写出从1到N的全部整数的纸草上,依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的倍,3倍,……)以及1,在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。
当两个整数之差能被正整数m除尽时,便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次同余式组的“求一术”,有“中国剩余定理”之称。13世纪,秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”,这是数论研究的内容之一。
丢番图的《算术》中给出了求所有整数解的方法。费尔马指出在n>3时无整数解,对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。
数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法,称为初等数论。17世纪中叶以后,曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支,又反过来促进了数论的发展,出现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论,用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。
5、抽象代数
抽象代数(Abstract algebra)又称近世代数(modern algebra),它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集,例如向量、矩阵超数、变换(transformation)等,这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数。抽象代数,包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
被誉为天才数学家的伽罗瓦(Galois, Evariste,1811-1832)是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件,他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
(1843年,哈密顿(Hamilton, W. R. )发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年,Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年,Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上,减弱或删去普通代数的某些假定,或将某些假定代之以别的假定与其余假定是兼容的),就能研究出许多种代数体系。
1870年,克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义;狄德金开始使用“体”的说法,并研究了代数体;1893年,韦伯定义了抽象的体;1910狄德金和克隆尼克创立了环论;1910年,施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究,开创了抽象代数学。年,施坦尼茨展开了体的一般抽象理论;
有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一,被誉为代数女皇,她就是诺特(Emmy Noether), 1882年3月23日生于德国埃尔朗根,1900年入埃朗根大学,1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。
诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年,她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式,在格丁根大学的就职论文中,讨论连续群(李群)下不变式问题,给出诺特定理,把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。
1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后,她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年,她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论,证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>,给戴德金环一个公理刻画,指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽象代数形式的时间就是1926年,从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。
1927-1935年,诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明,代数数域上的中心可除代数是循环代数。
诺特的思想通过她的学生范.德.瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。
1930年,毕尔霍夫建立格论,它源于1847年的布尔代数;第二次世界大战后,出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派;1955年,嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。
到现在为止,数学家们已经研究过200多种这样的代数结构,其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪,它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。
6、后记
现在,可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说,但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中,字母表示数;而在高等代数和抽象代数中,字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说,代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统,因此,代数是研究一般代数系统的一门科学。


本文摘自网络

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中国在那段举步维艰的历史里、晦暗不明的光景中,中国人在低头前行。按说这样的环境是最不适合优秀人才的生长和发展,但是中国人却不然,那时候的中国有大量的优秀人才涌现出来,群英荟萃、灿烂光辉。


艰苦中的知识分子们,铸就了一个无法超越的璀璨时代,一首令人敬佩的时代之诗。而陈省身则是灿烂星河里无法避免的一颗明星。


年少便是卓尔不凡

关于小学,陈省身只上了一天,因为放学目睹了老师打同学的手心,而不肯再踏入校门一步。陈省身的小学生涯就这样结束了。

陈省身9岁的时候就已经以优秀的成绩,考入嘉兴建校最早的学校——秀州中学的预科一年级。而九岁的陈省身这时已经可以做复杂的数学题。


1922年,陈省身因为父亲升职,而迁往天津,第二年便进入了扶轮中学学习。未满15岁,陈省身就考入南开大学预科,别说是过去,就是教育条件如此之好的今天,也难出这样的天才少年。


遇到恩师

数学系主任姜立夫对陈省身的影响很大。姜立夫开创了南开大学数学系,对于中国的数学事业称得上是先行者。数学系1926级学生只有5名,陈省身和吴大任是全班最优秀的。


陈省身原本想要学物理系,但由于自己不喜欢实验改选了数学系。作为老师的姜立夫自然是十分高兴能有这样优秀的学生,二年级时,姜立夫让陈省身给自己当助手,任务是帮老师改卷子。

如果陈省身是千里马的话,姜立夫就是伯乐,完全正确的欣赏和培养了这匹千里马,使得陈省身这匹“千里马”一跃千里。


进入更高的殿堂

1931年陈省身进入了清华研究院,是我国最早一批的数学系研究生。1934年夏,他毕业了,获硕士学位,成为中国自己培养的第一名数学研究生。同年,获得奖学金,赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学。


在汉堡大学,他接触了不少数学界的学术大家,接触了顶尖的数学学术知识,对数学无比热爱的陈省身,在数学天堂里遨游,在自己的擅长的领域自然是如鱼得水。1936年,他决定,但他决定去巴黎跟嘉当先生工作一年。

战火没有阻挡他的脚步

1937年,陈省身回国,这一年,战争全面爆发,战争对每个领域都是全方位了的毁灭。民生凋敝、百业不振,但是这并没有打陈省身继续研究数学的热情。陈省身接受聘约之后,随着西南联大一同迁到昆明。当时战局紧张,在昆明的日子也是十分紧张,没有图书馆,教室也很少。


就在这样艰苦的条件之下,陈省身在昆明的轰炸声中写出震惊外国数学研究人员的两篇文章,发表在普林斯顿大学与高级研究所合办的刊物《数学纪事》上,数学家H.外尔和A.韦伊认为陈省身的研究工作达到了很优秀的水准,想要陈省身去往普林斯顿。


1943年陈省身发表了具有划时代意义的论文《关于高斯-博内公式的简单内蕴证明》,这篇论文使得陈省身扬名国际,奠定了他“微分几何之父”的坚定位置。

桃李满天下

1984年陈省身出任了南开大学数学所所长。为祖国培养了大量的优秀人才。陈省身曾是杨振宁本科期间的老师,吴文俊院士也是陈省身的学生。M.I.T有个有名的教授曾听过陈省身的课,他说:“对于我们这代人来说,微积分就是陈省身。”


陈省身是公认的数学家,被美国科学院推选为院士,他开创了一个崭新发领域“整体微分几何”。


一段佳话

陈省身经杨振宁的父亲杨武之介绍认识了当时清华大学数学系教授郑桐荪的女儿——郑士宁。而后二人结婚生了一个儿一女,也是成就了一段佳话。


陈省身在数学领域做出了正大贡献,也为国家挣了光,让国际数学领域也有了中国的出现。2004年12月3日陈省身逝世,享年93岁。就此,他告别了他辉煌的一生。

他的脑子毫不停歇的运转了七十年。这七十年,是他孜孜不倦的七十年。他说:“我读数学没有什么雄心,我只是想懂得数学,如果一个人的目的是名利,数学不是一条捷径。”


培养出优秀子女

陈省身教育孩子,有着与“控制式”的父母不一样的教育方式,他选择“放纵式”的教育。尊重孩子的选择。


陈省身的儿子陈伯龙是数学系研究生,雄心勃勃的想要像父亲一样当一个数学家,但是当他想要进一步深造。陈伯龙去数学研究班听了一节课后,发现自己并不是当数学家的料,他回家向“微积分之父”的父亲请教,却发现自己怎么都弄不明白,陈伯龙终于明白他的能力与天赋不足以让他在这个领域做到优秀。

他把想法说给了父亲之后,陈省身并没有苛责儿子非要让儿子当一个数学家。他建议儿子发挥特长进入商界。陈伯龙最终转学精算,进入了保险业,做了一名精算师。供职四十余年,在自己的领域里也做的风生水起。


陈伯龙回望过去的时候,也认为当初的选择是正确的,自己更适合做精算。陈省身的女儿陈璞原本对物理有兴趣,并且是加州大学伯克利分校物理系毕业。后来读博她又改学了经济,在银行供职几年后,自己就出去独立单干。


毕业后在德州商业银行(现合并到大通银行)工作,任副总裁助理,后自己设立了一个有关经济法规的咨询公司,现为首都银行董事之一。


陈璞在金融领域里也有着自己的一席之地。陈璞在读硕士期间,认识了朱经武。这位朱经武后来成为了我国著名的超导物理学家。陈省身知道后,就拜托杨振宁打听这位朱经武,知道朱经武人很好之后,便放下了心。


陈璞是大数学家之女,著名的物理学家之妻,世界上恐怕也没有别人如此了。这一双儿女虽然没有从事数学,但都是智商超群之辈,但在自己的领域里都活的精彩。


*文章摘自史海观复

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1.均值不等式

调和平均值,几何平均值,算术平均值,均方平均值这几种平均值在不等式推导中经常用到,但是容易搞混他们的大小关系,通过下面的几何图形就可以清楚理解他们之间的大小关系。

2.对数函数延伸

对数的大小比较也让人头疼,但是我们同样可以通过简单的几何图形得到他们之间的大小关系。如下图,LnA = mA*A, LnB = mB*B, 由于mA> mB就可以得到A,B之间的大小关系了。 

3.黄金代换公式

黄金代换公式在三角恒等式推导,三角函数计算,微积分的变量替换等场合会比较常用,通过下图可以清楚了解他们之间的数量关系。

4.反三角函数最实用结论

反三角函数我们使用的机会不多,但是下面的两个结论也是颇有趣的。

5.点到直线的距离公式

通过相似三角形的方式给出了点到直线的距离公式,这种方法颇为形象直观,一下子就指出了距离公式的几何意义。

6.等差数列求和

常见的数列求和公式,下图的几何意义清晰,所有三角形的面积加起来等于大的三角形的面积。

7.平方数求和

平方数求和,这个是三维的几何图形,把左上角的3个图形拼在一起就可以得到右下角的图形,求和公式也呼之欲出了。

8.球的体积公式

祖暅原理,把球的体积公式转换为四棱锥的体积。

9.二倍角公式

二倍角公式也可以通过下面的相似三角形的方式给出。

10.数列的极限

下面的定义的数列的极限相当于两条曲线的交点的横坐标。

*文章图片来源于网络

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国际奥林匹克数学竞赛,从1959年起举办,至2019年,共举办了61届。中国在1985年首次派出中学生参赛,共参加了34届。中国共获得19个团体冠军,拿回157牌金牌,其中36块金牌是满分。

国际奥数竞赛,能看出一个国家数学水平,这点看,中国数学无疑是最强的。是哪些中国人在国际奥数竞赛拿奖牌?他们来自哪里,又去了哪里,现在他们在做什么?


一、1985年,第26届。团体冠军:罗马尼亚。中国队派出2名选手,第一次参加国际中学生数学奥林匹克竞赛。

1、吴思皓,上海向明中学,获铜牌,保送上海交通大学。毕业赴耶鲁大学读博士。

2、王锋,北京大学附中,没获奖牌,保送北京大学。现做企业软件。


二、1986年,第27届。团体冠军:美国、前苏联。

1、方为民,河南实验中学,41分获金牌,保送北京大学。

2、张浩,上海大同中学,39分获金牌,保送复旦大学。

3、李平立,天津南开中学,37分获金牌,保送北京大学。现任北大方正技术研究院技术总监。

4、荆秦,女,陕西西安八十五中,26分获银牌,保送北京大学。现美国哈佛大学教师。

5、林强,湖北黄冈中学,19分获铜牌,保送中国科技大学。

6、沈建,江苏泰县姜堰中学,15分未获奖牌。


三、1987年,第28届。团体冠军:罗马尼亚。

1、刘雄,湖南湘阴中学,满分42获金牌,保送南开大学。

2、滕峻,女,北大附中,满分42获金牌,保送北京大学。现在美国费城大公司任职。

3、林强,湖北黄冈中学,34分获银牌,保送中国科技大学。

4、潘于刚,上海向明中学,34分获银牌,保送北京大学。

5、高峡,北大附中,29分获铜牌,保送北京大学,赴美国科罗拉多大学博士,现北京大学数学系任教。

6、何建勋,广东华南师大附中,19分获铜牌,保送中国科技大学。


四、1988年,第29届。团体冠军:前苏联。

1、何宏宇,四川彭县中学,满分42获金牌。1993年破格列入美国数学家协会会员,1994获麻省理工数学博士学位,现任亚特兰大乔治大学教授,博导,在《李群》研究上有重大突破。

2、陈晞,上海复旦附中,41分获金牌,保送复旦大学。赴哈佛大学读博士,现加拿大阿尔伯塔大学教授。

3、韦国恒,湖北武钢三中,30分获银牌,保送北京大学。

4、邹钢,江苏镇江中学,30分获银牌,保送北京大学。

5、查宇涵,江苏南京十中,29分获银牌,保送复旦大学。现为中科院数学所研究员。