这是初级组的得分排名总表：

高级组的得分排名总表：

其实计算机最早是为了解决数学问题的数值计算而研制的，最早的编程语言如FORTRAN也是为了解决一些数学问题。

计算机和数学相互影响。计算机的运算模型离不开数学思想，数学的发展强有力地推动着计算机技术向前发展;同时计算机的高速运算能力也大大地推动了数学的发展。

编程实际上是求解某个问题的过程，这个过程实质上是设计算法到实现算法的过程，没有良好的数学思维很难写出高质量的算法和程序。

一维数组和二维数组是数据结构中最基本的数据存储方式，对于刚入门的程序员来说确实很重要，因此排在第二名和第四名的位置很好理解。

字符串是计算机软件界面最重要的展现形式，尤其是在一些商业应用软件中，随处都可以找到字符串的影子。而对字符串的理解深度和编程处理能力，是检验程序员编程经验最有效的方式，因此字符串也成为各大公司最爱出的面试题，排在CCC第三名当之无愧啊。

第五名是决策判断。

对于数据输入流来说，计算机能够做的最有效的工作就是对于输入数据根据预先设定的条件进行逻辑判断产生分流，从而形成不同的结果和分类，用计算机语言来表达，就是会有大量的IF...ELSE...和SWITCH....CASE...,这种能力和经验对于程序员来说至关重要，决策判断自然就登上了第五名。

第六名是递归编程。

在编程算法领域，递归编程相对前几名而言属于高级课题，一个函数自恋地调用自己无数次，对于初学编程的同学来说有一些难度，递归编程的题目大多在后面的难题部分。

将数据分析的范围限定在后面难题部分，我们发现19道递归编程题都落在第3题以后，10道题落在了最后一道第5题上面。换句话说，CCC把递归编程作为一个高难度出题方向，想要在CCC中获得高分的同学一定需要加强递归编程的练习啊。

下面我们以解数学题、字符串、递归编程为例来说明CCC是怎么玩的吧。

# include <stdio.h>

# include <ctype.h>

FILE * infp;

FILE * outfp;

int  t,             /* number of test cases */

     i,j,           /* indexes in array A  */

     A[50];         /* arrays to store the digits of a number */

char line[61];      /* a character array to store an input line */    

void subtract( int i )

/* subtract A[i] from the number represented by A[0..(i-1)]  */

{

  int j;

  if ( A[i]<=A[i-1] ) A[i-1] = A[i-1] - A[i]; 

  else {

    A[i-1] = A[i-1] - A[i] + 10;

    for ( j=i-2; A[j]==0; j-- )  A[j]=9;

    A[j]--;

  }                      

}

main()

{   

  infp = fopen( "div.in", "r");

  outfp = fopen( "div.out", "w");

  fscanf(infp, "%d\n", &t);

  while (t>0) {

    fgets(line, 60, infp);       /* get number */

    fprintf(outfp,"%s",line);    /* print number once     */

    /* convert from characters to digits */

    for (i=0; isdigit(line[i]); i++ ) A[i]=line[i]-'0';

    while ((A[0]!=0 && i>2) || (A[0]==0 && i>3)) {

      i--;

      subtract(i);

      if (A[0]!=0) fprintf(outfp,"%d",A[0]);   /* don't print leading zero */

      for (j=1; j<i; j++) fprintf(outfp,"%d",A[j]);

      fprintf(outfp,"\n");

    }

    line[strlen(line)-1]='\0';  /*  remove end-of-line */

    fprintf(outfp, "The number %s ", line);

    if ((A[0]!=0 && ((A[0]*10 + A[1])%11==0)) ||

        (A[0]==0 && ((A[1]*10 + A[2])%11==0)))

      fprintf(outfp,"is divisible by 11.\n");

    else fprintf( outfp, "is not divisible by 11.\n");

    t--; fprintf(outfp, "\n");

 }

}

substract()函数完成的是A-B的过程，其他都是控制台上读取输入指令和返回输出结果的操作。

通过此题我们看到，良好的数学功底对于CCC还是比较重要的。

鉴于商业软件系统使用字符串处理非常频繁，CCC也在其中大作文章，因为可以用来出题的商业应用场景比比皆是。

例如2009年初级组第4题，写好代码的同学基本上可以直接拿到真实环境中去用：

题目原文翻译如下：学生会需要在显示屏上用多行显示诸如"WELCOME TO CCC GOOD LUCK TODAY"字样，每一行最多可以容纳w个字符。你需要按照如下规则来显示这些文字：

1、每一行尽可能多的显示单词，且不能超过w个字符；

2、第一个词出现在行开头，如有多个词在该行，最后一个词显示在最后；

3、每行多余的空格需要显示在词与词中间并尽可能相同；

4、如果词与词中间的空格没有办法保持相同，最多的空格应该放在前面；

简单的翻译就是：如何对一段长文字美观地拆分到多行进行显示。

程序逻辑大概是这样：

接收一段文字；

通过检测字符串中的空格将其分割成一个一个的词，并用字符串数组存起来；

启动一个循环，到字符串数组中按照顺序找到前面的一些词，总长度刚刚小于w(每个词后面都追加一个空格);

在循环块中按照算法要求的4条规则将这些词排列好；

输出最终排列的结果；

限于篇幅，具体的代码略过，感兴趣的同学可以自己完成。

计算机相对人来说最大的优势是计算能力，用程序员的观点来看，就是计算机能够快速地通过循环来执行代码。

在计算机编程中，会写循环是最基本的技能。

在CCC竞赛中，为了检测参赛选手对于计算机语言的理解能力和逻辑思维能力，往往会采用比基础循环语句更高一级的自恋循环，之所以把它叫自恋循环，是因为它会无限次地调用自己，专业术语叫做递归编程。

递归编程容易理解，缺点是如果程序员一旦搞不清楚一个函数自恋自己到什么程度，边界条件稍微处理不当，就有可能造成无限循环，无休止自恋的结果就是堆栈溢出。

我们还是拿一道例题来说明吧，这是2015年初级组的最后一题：

题目原文翻译如下：一般3月14日叫做 π日，因为3.14正好是π的近似值。数学家用吃饼的方式来进行庆祝。假设你有n个饼，有k个数学家排着队来分饼吃，你需要写一个算法来把这n个饼分给这k个数学家，需要满足如下两个条件：

1.每个数学家至少有1个饼；

2.每个数学家分得的饼不能少于队列中前面的人分得的饼数。换句话说，饼数是一个递增序列；

此题看起来像是一道数学题，估计读友会觉得我有点特意往数学题方向上靠，其实不然，我们没有把这道题归为解数学题这一出题方向，尽管里面有数学家，也用到了数学逻辑的分类思维方法。

这是一道典型的递归算法编程题。

整个编程逻辑其实比较简单,借鉴了数学归纳法的一些递推思想：

1.定义一个递归函数getPiNo(int pieNo,int peopleNo,int firstPersonMinPieNo),有三个输入参数：

int pieNo:表示饼的总数；

int peopleNo：表示分饼的总人数；

int firstPersonMinPieNo：表示第一个人分得的饼数最小值；

2.如果要计算getPiNo(n,k,1),可以按照第一个人得到饼的数量进行分类；

第一类:第一个人分得1个饼，也就是后面k-1个人正好分得n-1个饼，并且k-1个人的第一个人最小可以分得1个饼。按照函数定义，正好有getPiNo(n-1,k-1,1)。程序走到这一分支直接返回getPiNo(n-1,k-1,1)即可；

第二类:第一个人分得2个饼，也就是后面k-1个人正好分得n-2个饼，并且k-1个人的第一个人最小需要分得2个饼。按照函数定义，正好有getPiNo(n-2,k-1,2)。程序走到这一分支直接返回getPiNo(n-2,k-1,2)即可；

......以此类推......

第n/k类:这是最后一个分类，因为如果第一个人超过n/k+1个饼，后面每个人都会超过n/k+1个饼，加起来就超过n个饼啦！第一个人分得n/k个饼，也就是后面k-1个人正好分得n-n/k个饼，并且k-1个人的第一个人最小需要分得n/k个饼。按照函数定义，正好有getPiNo(n-n/k,k-1,n/k)。程序走到这一分支直接返回getPiNo(n-n/k,k-1,n/k)即可；

在getPiNo(n,k,1)函数体内启动一个循环对前面所有类的得数求和后返回即可。因为在每个类里面都递归地调用了自己，只要控制好何时停止递归，算出答案不难。

只要把递归逻辑理解清楚，翻译成代码不难，需要注意哪些分类是叶子节点，在这些节点应该立即返回，终止递归。

同时为了提高程序运行的效率和性能，对于一些中间运行结果需要保留，以避免重复计算消耗CPU。

代码略过，感兴趣的同学可以根据上述逻辑完成编码。

"计算机要从娃娃抓起",三十多年前,邓小平高瞻远瞩地说出了这句名言。

三十多年后，看看我们的身边，3、4岁的娃娃们手机、电脑玩得溜溜的。

计算机上有太多好玩的东东，吸引着不少小朋友很早就进入这一领域，从小就开始学编程了，部分同学甚至觉得只要把编程学好了就可以独步武林天下，其他的学科例如数学可以不用花太多时间。

于是很多家长问我是不是可以只要把编程学好就行了。

我想上面的这份CCC数据分析报告其实已经给出了答案。

CCC让我们看到，没有扎实的数学功底，要想解决稍稍复杂一点的现实问题会比较困难，更不用说牵涉到复杂数学逻辑的算法了。

软件及互联网行业已经进入了开源软件盛行的时代，只要你能够想到的应用，一般都能够找到有人在做了，并且还是开源免费的，拿过来就能用。Rootofmath.com就很感恩这些开源软件的贡献者，他们大大地缩短了我们的研发周期。

开源软件让初级程序员进入的门槛大大减低，但如果没有扎实的数学功底，程序员向上发展的空间十分有限，其核心价值和竞争力会大打折扣。未来的程序员需要能够真正吃透开源软件才会比较吃香，否则碰到问题解决不了，也很难实现技术创新，在未来的时代可能会成为代码的搬运工。

滑铁卢计算机竞赛CCC让我们再次看到了数学教育的重要性。在参加数学竞赛学习的过程中，有些家长担心如果孩子在数学学习上花了时间却出不了成绩怎么办，CCC其实给我们指出了道路之一。数学好的孩子，可以东方不亮西方亮，即便没有在数学竞赛中拔尖，仍然可以在计算机、物理、经济、统计等领域拔得头筹。

至于选择什么编程语言参加CCC的问题，如果你已经学了某种语言很多年，有相当多的经验，尽管放心选择你熟悉的语言，因为每一种语言都有它适用的应用场景，自它诞生那天起，它就在为其所擅长的领域服务，今天很多人依然在用它，说明它具备了顽强的生命力。

如果你刚刚开始学习编程，如下经验供你参考：

如果你希望以后在一些科研院校做研究，建议你用Python。Python是一种脚本语言，门槛低，上手快，特别适合做科学研究和数值计算，缺点也恰恰来自于它的优点，因为过于简单，规范性不好，很少用来做大型商业应用系统；

如果你对自己的定位是以后进入大公司从事商业应用系统的研发，建议你用Java。虽然前期投入大一点，但是值得。尤其是Java 8引入的Stream API可以帮助你快速重用已有数据结构和组件完成排序和查找，瞬间实现大量代码，这一点在CCC中如果利用得当比较容易在编码时间上胜出；

如果你比较挑剔，控制欲望比较强烈，希望控制代码的方方面面，建议你用C/C++。C/C++的指针可以让你随心所欲地控制你的代码，出现诸如内存泄漏等性能问题也比较容易解决。缺点也同样来自于它的优点，因为控制得太细，你需要比别人花更多的时间来实现相同功能的代码。

计算机语言是相通的，熟悉一门语言再切换到另一门语言都不难,一通百通。

2020年滑铁卢CCC的初赛时间是2月12日。你，准备好了吗?

往期数据分析报告原创文章链接：

滑铁卢10年级Cayley数学竞赛数据分析报告

滑铁卢9年级Pascal数学竞赛数据分析报告

美国数学竞赛12年级(AMC12)数据分析报告

COMC加拿大国手选拔赛真题数据分析报告

滑铁卢欧几里得数学竞赛(12年级)历年真题数据分析报告

美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告

滑铁卢高斯数学竞赛(7&8年级)历年真题数据分析报告

UBC Elmacon数学竞赛历年真题数据分析报告

滑铁卢凯利Cayley(本文简称Cayley)数学竞赛，对16岁或十年级以下的学生开放。为纪念英国数学家凯利（Cayley ，1821－1895）而命名。

Cayley通常在每年二月中旬举行，北美比其他地区会提前一天考试。满分150分，分为A、B、C三部分，答题时间一个小时。全部为选择题，若空着不填，此题可加两分，打错则不拿分数。不提供中文版试题。

A部分10道题，每道题5分，简单基础题，有一部分是送分题；

B部分10道题，每道题6分，基础题，基础好的同学基本都可以答出；

B部分5道题，每道题8分，真正的竞赛题，尤其是最后两道题，难度比较大，顺利解出的话需要的步骤有时候会超过AMC10的题目。

先来看看2019年Cayley的参赛人数：

这是Cayley 23年来所有真题经过知识点为根的结构入库并通过数据分析得到的报告：

与9年级Pascal数学竞赛历年真题数据分析报告的数据进行对比后，我们可以看到：

Pascal对于基础数学知识点考察得比较多，例如基础运算、分数、百分数等；

Cayley则新增了对10年级新学内容例如直线方程(Linear Function)的重点考察，指数运算这一知识点也登上了排行榜第六名的位置。

方程应用(Equations)从Pascal第五名的位置攀升到Cayley的第二名，可以看出利用方程应用解题的能力随着年级的增加，重要性也逐步增加。

分数（Fractions）在Pascal和Cayley中保持了相同的名次：第三名，足见分数运算法则依然是9-10年级数学的重要考察点；

三角形角度(Triangle Angles)从Pascal的第六名上升到Cayley的第五名，排名稍有上升。

下面我们重点说明一下面积、直线方程、指数这三个知识点。

排在第一位的仍然是几何面积题，一共出现了61道，平均每套题2.5道。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Cayley很喜欢在难题部分出几何面积题，一共有17道难题落在了21-25题的区间，详细清单如下：

2005年第24题；

2013年第22题；

2012年第23题；

2009年第25题；

2010年第21题；

2008年第21题；

2007年第23题；

2004年第22题；

2004年第24题；

2003年第22题；

2003年第23题；

2002年第21题；

2002年第23题；

1998年第25题；

1998年第24题；

1997年第22题；

1997年第25题；

面积题的重要性前面一些文章当中已经有过详细说明，通过对Cayley历年真题进行分析后我们发现一个新的内涵：北美数学竞赛偏爱面积题的另外一个原因是面积题可以综合考察代数和几何的多方面知识，不光要求考生对于常用的一些几何公理、定理、推论以及应用比较熟悉，还要求考生可以活学活用代数相关知识(例如通过设未知数建立方程等)才能解出，因此面积题是综合考察代数和几何知识点完美的共同体，我想这也许是北美数学竞赛青睐几何面积题的另一个重要原因。

下面我们以Cayley1997年最后一道压轴题为例说明面积题是如何综合考察几何和代数知识点的：

题目原文翻译如下：在上图的三角形ABC中，BR = CR, CS = 3SA , AT/TB = p/q.如果三角形RST的面积是三角形TBR的两倍，则p/q为多少?

本题输入条件是三角形的边长关系和面积关系，输出条件是p/q的关系。

由于牵涉到未知数p和q,很容易想到此题的解题思路是通过面积建立等式，通过代数式变换，用面积的关系换取p和q的关系。

在几何里面，我们知道三角形的面积公式是:底*高/2；

而同高的两个三角形面积之比=底之比；

根据题目给的条件，两个边长之比很容易转换为面积之比；

而三角形RST面积为三角形TBR面积的两倍这一条件，初看不好构建等量关系，尤其是三角形RST的面积，底和高都没有，很难求出啊，很自然地想到将其中所有三角形的面积都用三角形ABC的面积来表示，从而就可以构建等量关系了。

因此我们可以假定三角形ABC的面积为k:

三角形ACR面积=三角形ABC面积/2（等高，面积之比等于底之比）；

三角形SCR面积=三角形ACR面积*3/4（等高，面积之比等于底之比）；

综合以上两个条件，立即得到：

三角形SCR面积=三角形ABC面积*3/8=3k/8;

同理可以得到：

三角形TBR面积=qk/[2*(p+q)];

三角形TAS面积=pk/[4*(p+q)];

三角形RST面积=三角形ABC面积-三角形TAS面积-三角形TBR面积-三角形SCR面积;

利用三角形RST的面积是三角形TBR的两倍这一条件立即有：

等量关系有了，面积都用p、q代数式表示出来了。

虽然有一个多余的变量k，但两边都可以同时除以k(因为k不等于0)约掉它：

这时候，代数恒等变换等技巧就有用武之地了，做一些化简，就可以得到答案了：

答案选E.

直线方程是9-10年级新学的内容，是解析几何（Analytic geometry）的基础，在Cayley中登上第四名的位置应该说是理所当然。

利用直线方程解题，是解析几何赋予我们最基本的工具和技能。

在Cayley中，直线方程的难题并不多。大部分都属于中等难度，29道直线方程的题目中，有17道落在了第10题至第20题的区间，有8道落在了第1题至第10题的区间。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Cayley仅有4道题落在了21-25题的区间，详细清单如下：

2009年第21题；

2001年第21题；

2001年第25题；

1998年第21题；

下面我们以2001年Cayley第21题来说明如何利用解析几何里面的一些基础知识点来快速解答直线方程的题目：

题目原文翻译如下：P在直线y=5x+3上面，Q的坐标是(3,-2),如果M是PQ的中点，则M所在的直线方程是下面哪一个？

此题需要利用中点坐标公式，即任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点M的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),注意是对应坐标相加后除以2。

（题外话：在教学中我们发现，很多同学记成了对应坐标相减后除以2，其实只要在纸上把A,B,M找出来，利用几何梯形中线的证明过程，对应坐标相加是很容易理解的）

一种解法是先假定有一点P(a,5a+3)在直线y=5x+3上面，利用中点坐标公式求出M的坐标为：

(1) x=(a+3)/2;

(2) y=[(5a+3)+(-2)]/2=(5a+1)/2

联合上面的(1)和(2)，把a消掉就可以得到x和y的关系:

y=5x-7

因此答案选E;

另一种更加快速的解法是利用所求的中线必然与原来直线y=5x+3平行,因此其斜率一定为5，只需要在中线上找到一个点，加上这个斜率就可以写出这条直线方程了。

例如可以取P(0,3)，利用中点公式得到PQ的中点M坐标为(3/2,1/2),通过M斜率为5的直线方程可以写作：

y-1/2=5*(x-3/2).

稍作化简就可以得到：y=5x-7.

因此答案选E;

指数符号是一步到位写出大数最简单有效的表述形式，也是滑铁卢数学竞赛系列中的一个考察重点。

高斯7年级排在第49名的位置(在那个年代还仅仅是平方数和立方数的考察)；

高斯8年级快速上升到第16名的位置；

Pascal 9年级上升到第11名的位置；

Cayley10年级直接进入前六名排在了第6名的位置；

而且随着年级的增加，指数题目的难度也在逐步增加。

指数之所以如此重要，是因为它是学习指数函数、对数函数的基础，而这些都是将来微积分学习中很重要的基本函数，因此提前深刻掌握指数运算的各项法则有利于将来的学习得心应手。

Cayley的指数题难度都不大，作为基础考察的题目比较多，25道题中有18道题落在第1题至第10题的区间，6道题落在第11题至第20题的区间，只有1道题落在第21题至第25题的区间。

一般来说，指数部分的难题一般都会与数论、函数、概率等相关知识点结合起来出题，例如下面这道题，严格地说起来是一道数论题。

这是2010年Cayley的第25道压轴题：

题目原文翻译如下：Steve同学把一个计数器放在如图中0的位置。第一次顺时针移动1^1步到1，第二次顺时针移动2^2步到5，第三次顺时针移动3^3步到2.....以此类推，第n次顺时针移动n^n步。请问1234次移动以后计数器在哪个位置?

有经验的同学一看此题应该就会想到同余理论，不过随着n的增长n^n是一个很大的数，要把它算出来是比较困难的，好在我们只要找到它除以10以后的余数，就可以知道第n步顺时针移动了多少步，因为圆盘上只有10个数，移动10的任意倍数步都会回到原来出发的数。

所以接下来我们只要考虑n^n除以10以后的余数就可以了，也就是n^n的个位数。

而n^n的个位数是由n的个位数决定的。

n的个位数一共只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10种情况。

通过简单的测算，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数n次方以后会呈现出以1,2,4为周期的特征，例如：

7^1,7^2,7^3,7^4,7^5,7^6,7^7,7^8的个位数分别为：

7,9,3,1,7,9,3,1......

而n^n的个位数是以10为周期的，由于1,2,4,10的最小公倍数为20，所以n^n的个位数是以20为周期的。

这句话用数学表达式来证明是这样的：

(20+a)^(20+a)

≡a^(20+a)

≡a^(4*5+a)

≡a^a  (mod 10)

于是我们只要计算 1^1 +2^2 +3^3 +... +20^20 的个位数即可。

简单计算我们发现：

1^1+2^2+3^3+...+20^20

≡1+4+7+6+5+6+3+6+9+0

   +1+6+3+6+5+6+7+4+9+0

≡94 

≡4(mod 10)

（ 注：≡表示模运算，即表示余数相等的意思，“mod 10”表示除以10的余数）

所以：

1^1+2^2+3^3+...+1234^1234

≡61*4+1221^1221+1222^1222+...+1234^1234

≡4+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6

≡67

≡7 (mod 10)

答案选D。

指数类型的题目中，有很多是与数论相关的数的比较问题，只要注意化成同底或同幂后再进行比较，一般都可以轻松解出。

完成数据分析报告后我们发现，滑铁卢Cayley数学竞赛的题目其实并不难。

对于10年级同学来说，如果只是习惯了多项选择题的答题方式，即便在Cayley数学竞赛中可以获得130分以上的成绩，对于北美名校选拔的精英人才数学标准来说仍然是远远不够的。

事实上，滑铁卢自己也发现了多项选择题作为考试方式的弊端，从9年级开始增加了需要写步骤的Fryer（对应9年级）、Galois（对应10年级）和Hypatia（对应11年级），作为对Pascal（对应9年级）、Cayley（对应10年级）和Fermat（对应11年级）最好的补充。

在教学过程中我们发现，在加拿大本地接受数学教育的孩子都不爱写步骤，看见数学题想一想就随便选(或猜)一个答案完事的现象普遍存在，这应该与北美以多项选择题为主的标准化命题方式有直接关系。大部分考试都这样，孩子们自然而然就懒得在纸上写过程了。

这一现象导致的直接后果就是孩子们的数学成绩拿高分很难。没有步骤，直接心算给出答案，思路很容易跳跃，可能已经跳过了一个最关键的步骤，答案往往是错误的。

在实践中我们发现，孩子们的答案少写或多写一个零，小数点点错位置，漏掉了一个逻辑分支......这些都是很普遍的现象。

当我们在教学过程中强化步骤训练后，有的家长反映每次练习只要要求孩子在纸上写出步骤，答题正确率明显提高；而一旦放手让孩子们自己做题目，正确率又回到了解放前，因为孩子们没有写步骤答题的自觉性。

解题时写出严格步骤对于提高正确率来说效果是立竿见影的，还在苦于提高正确率的同学们可以尝试一下。

10年级数学成绩好的同学可以开始着手准备加拿大国手选拔赛COMC和滑铁卢的欧几里得数学竞赛了，这两个比赛都需要书写详细步骤。平时就注意加强解题步骤的训练，是培养严谨的逻辑思维能力和条理性尤为重要的一环，对于将来能够做出高质量的优秀论文也大有裨益。

因此我们强烈建议参加Cayley数学竞赛的同学，从这个阶段开始就应该有意识地加强解题步骤的训练，在参加Cayley的同时去参加Galois和Hypatia，为将来的学习和工作打下坚实的数学逻辑基础。

往期数据分析报告原创文章链接：

滑铁卢9年级Pascal数学竞赛数据分析报告

美国数学竞赛12年级(AMC12)数据分析报告

COMC加拿大国手选拔赛真题数据分析报告

滑铁卢欧几里得数学竞赛(12年级)历年真题数据分析报告

美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告

滑铁卢高斯数学竞赛(7&8年级)历年真题数据分析报告

UBC Elmacon数学竞赛历年真题数据分析报告

自欧几里得数据分析报告发布以后，有很长时间没有做滑铁卢系列数学竞赛的数据分析报告了。事实上，我们已经完成Pascal数学竞赛相关数学题库的整理工作好长一段时间了，只是缺一份数据分析报告。前段时间一直忙于美国数学竞赛、COMC以及竞赛教程系列题库的整理工作，对于滑铁卢系列9-11年级的数学竞赛重视程度不够。

最近在AMC10的培训班上我们发现，部分同学因为前期缺少竞赛相关的培训，直接学习AMC10的课程刚开始会发现难度比较大，学起来有些吃力。

通过我们对滑铁卢竞赛系列和美国数学竞赛系列的对比，我们发现对这些同学来说，参加滑铁卢Pascal或Cayley数学竞赛是一个比较好的中间缓冲阶段。

滑铁卢帕斯卡Pascal(本文简称Pascal)数学竞赛，对15岁以下的九年级学生开放。为纪念法国数学家布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal ，1623－1662）而命名。

Pascal通常在每年二月中旬举行，北美比其他地区会提前一天考试。满分150分，分为A、B、C三部分，答题时间一个小时。全部为选择题，若空着不填，此题可加两分，打错则不拿分数。不提供中文版试题。

A部分10道题，每道题5分，简单基础题，有一部分是送分题；

B部分10道题，每道题6分，基础题，基础好的同学基本都可以答出；

B部分5道题，每道题8分，真正的竞赛题，尤其是最后两道题，难度比较大，顺利解出的话需要的步骤有时候会超过AMC10的题目。

先来看看2019年Pascal的参赛人数：

去年有30784名同学参加了Pascal。

再来看看分数排名表：

可以看到去年有9人获得了满分，要进入Top 25%需要获得102分以上。

这是Pascal 23年来所有真题经过知识点为根的结构入库并通过数据分析得到的报告：

排在第一位的是滑铁卢系列数学竞赛出题者的最爱——面积，一共出现了55道，平均每套题2.4道。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Pascal在难题方面对几何面积题也偏爱有加，一共有15道难题落在了21-25题的范围之内，详细清单如下：

2019年第25题；

2018年第23题；

2016年第23题；

2015年第21题；

2009年第22题；

2007年第23题；

2005年第22题；

2004年第25题；

2003年第24题；

2003年第22题；

2002年第24题；

2001年第22题；

2000年第21题；

1998年第25题；

1998年第24题；

......

面积题的重要性前面一些文章当中已经有过详细说明，本文不再赘述。

排在第二位的是基础练习。所谓基础练习，基本上是加、减、乘、除四则运算，大部分是送分题，基础好的孩子一看就会的那种。这是滑铁卢系列数学竞赛的风格，在前面10道题中间塞了不少测试数学基础的题目，这些题目基本上处于期末小测验的难度，所以仍然把滑铁卢数学竞赛当成国内奥数的家长朋友需要改变一下观念，最好把滑铁卢数学竞赛的前面20道题看成是给孩子一个数学期末考试的机会。

看个例子大家就明白这一点了。

例如2019年Pascal的第一题：

你觉得这是9年级的数学竞赛题吗?

是不是有点无语呢。

我在高斯数据分析报告文章中曾经提到过，如果孩子同年级去参加高斯数学竞赛得分在100分以下，需要对孩子的数学基础引起重视，要不然的话到高中阶段可能会影响到其他学科的学习。

这句话对Pascal数学竞赛的结果依然适用，即如果孩子9年级参加Pascal数学竞赛成绩在100分以下，需要建议孩子对数学学习引起足够重视了。

分数和百分数都是Pascal的考察重点，分别占据第三名和第四名的位置，基本都是题号为1-20的基础题目。此类题目逻辑比较简单，很少在第三部分8分题考察，偶尔出现也会与其他知识点结合后亮相。

分数和百分数题目还有一个特点就是喜欢与图形结合出现，利用图形进行直观、生动、形象地表述，增加考生对于题目的感性认识和理解深度，从这一点上来说Pascal的题目在人性化设计方面还是可圈可点的。

下面我们来重点聊聊9年级新增的方程应用和三角形角度这两个知识点吧。

利用方程解题一直是滑铁卢数学竞赛重点考察的数学能力之一，在高斯7年级的题目中简易方程应用解题还处在第23名的位置，高斯8年级升到第10名的位置，9年级的Pascal立即升到第5名的位置。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Pascal一共有6道难题落在了21-25题的范围之内，详细清单如下：

2019年第25题；

2016年第22题；

2015年第22题；

2013年第24题；

2008年第23题；

2005年第22题；

当然方程应用需要解决一些实际的数学问题，所以一般会与面积、周长、文氏图、数据报表、数论等领域的知识点结合起来出现。

例如2013年Pascal的第24题就是一道结合文氏图用方程解题的典型案例：

题目原文翻译如下：帕斯卡高中准备组织三种不同的旅游。50%的学生参加了第一种，80%参加了第二种，90%参加了第三种。一共有160名同学参加了所有三种旅游，其他所有同学正好参加了其中的两种旅游。请问帕斯卡高中一共有多少个学生？

有经验的同学一看题目应该就会知道此题在考文氏图，需要利用文氏图来造方程。

如果假定帕斯卡高中共有x人，结合文氏图：

假定参加第一种和第二种而没有参加第三种的人数为a;

假定参加第一种和第三种而没有参加第二种的人数为b;

假定参加第二种和第三种而没有参加第一种的人数为c;

根据题目条件，可以得到：

(1) 0.5x=a+b+160;

(2) 0.8x=a+c+160;

(3) 0.9x=b+c+160;

(4) x=a+b+c+160;

上述式子稍作合并即可解出x:

所以答案选D.

三角形内角和等于180度，看似简单的几何知识，在滑铁卢系列的数学竞赛中，从高斯7年级一直考到费尔马11年级。

在9年级Pascal数学竞赛中居然登上了第六名的位置。

此类角度计算题没有难题，大多处于题号1-20的位置，通过添加辅助线或者设未知数建立方程，基本都可以轻松解出。

例如2016年的第20题：

题目原文翻译如下：在上图中，QT和RV分别是角平分线，求∠QUR的度数。

此题不难，解法可谓五花八门，只要利用三角形内角和为180度这一基本常识，通过未知数x和y建立方程，用解方程的方法基本都可以找到答案，差异仅仅在于解题的速度。

这是滑铁卢官方给出的解答：

下面介绍两种快速的解法。

解法一：利用三角形一个外角等于所对的两个内角之和这一性质，可以很快得到：

(1) 2x=38°+∠QRW;

(2) 2y=38°+∠RQW;

(3) 38°+∠RQW+∠QRW=180°;

(1)+(2)并用（3）换掉右边，立即得到：

2x+2y=38°+180°=218°;

于是x+y=109°;

在三角形QRU中，利用对顶角相等的性质，可以得到：

x=∠RQU;

y=∠QRU;

故∠QUR=180°-(x+y)=180°-109°=71°,答案选A;

解法二：连接WU得到

由解法一我们已经得到：

x+y=109°;

而由三角形一个外角等于所对的两个内角之和这一性质，我们有：

x=∠1+∠2;

y=∠3+∠4;

故x+y=∠1+∠2+∠3+∠4;

由条件∠1+∠3=38°，从而：

∠QUR=∠2+∠4=109°-38°=71°,答案选A。

通过解法二估计大家看到了辅助线在解几何题时发挥的威力。事实上，几何基础好的同学通过这种解法可以在数秒内通过心算给出本题的答案。

这就是几何辅助线的魅力所在，也是大多数高难度的几何题能够快速解出的关键所在，例如今年2019 IMO的第二道题：

此题输入很简单，只有PQ平行AB这一条件，没有辅助线要想解出着实难度太大，只要把辅助线添加到位，估计几何好的高中同学都可以解出：

...

通过本分的分析，相信大家对于滑铁卢Pascal数学竞赛已经有了一个基本的了解。

今天早晨正好看到一篇对比中国高中教育体制和加拿大教育体制的文章，文中提到两者最大的差异其实在于结果导向不同：

中国教育体制直接对准高考，一切为高考做准备，一切以高考为目标；

加拿大的教育体制则不同，培养目标是合格的全球公民，这与高等院校想要寻找的精英人才，是不完全在一个区间的。这是北美教育的优势，也恰恰是造成学生和家长诸多困惑的根源所在。问题的症结，就是你想培养一个什么样的人才，或者说家长希望孩子成长为什么样的人才。

...

最后这个问题问得好，关键是家长希望孩子成长为什么样的人才。

估计大多数家长带着孩子来到加拿大，都希望自己的孩子成为高等院校想要寻找的精英人才。如果您给出的答案是这一选项，如前文所述，建议您不要把Pascal等滑铁卢系列数学竞赛和中国奥数划上等号，鼓励孩子学好数学，把Pascal数学竞赛看成是9年级数学年终期末考试可能会更好。

往期数据分析报告原创文章链接：

美国数学竞赛12年级(AMC12)数据分析报告

COMC加拿大国手选拔赛真题数据分析报告

滑铁卢欧几里得数学竞赛(12年级)历年真题数据分析报告

美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告

滑铁卢高斯数学竞赛(7&8年级)历年真题数据分析报告

UBC Elmacon数学竞赛历年真题数据分析报告

本文与上一篇文章中间间隔的时间有点长。

向各位读友解释一下原因：这段时间主要在集中精力完成Rootofmath.com数学题库建设。

刚刚从数据库中查了一下数据，目前Rootofmath.com分类整理的北美数学竞赛题已达到49258道，内容涵盖从5年级到12年级诸多常见竞赛专题，大部分题库在内部培训使用状态中。如需了解题库的更多信息，请关注公众号"智能未来数学"的后续文章。

想要刷题的同学应该可以通过Rootofmath.com找到刷不完的题了——当然我们不建议孩子们通过这种方式学数学。智能未来数学倡导从根上学数学(Rootofmath.com的由来),做题要系统，要精，不刷同质题。

言归正传，回到今天本文的主题。

一、AMC12简介

AMC12是12年级美国数学竞赛的简称，12年级及以下并且考试当天在19.5周岁以下的同学都可以参加。

AMC12考察的知识点包括除微积分以外的所有中学数学知识，如三角函数、复数、不等式、对数等等，难度明显高于AMC8和AMC10。

AMC12的前身叫AHSME,AHSME自1950年开始举办，在1999年以前都叫这个名字。因为AHSME的题目相对比较简单，所以本文不涉及AHSME的真题分析。

本文基于对AMC12从2000年到2019年20年共38套试卷的分析，包括AMC 12A和AMC 12B,自2002年以后是每年2套，2000年和2001年不分12A和12B,只有1套，所以一共是38套试卷，950道真题。

细心的读友肯定会问：为什么有12A和12B之分呢?

AMC12每年有两次考试机会,分别是12A和12B,12B一般比12A晚一周考试。考生需要提前问询组织学校的考试时间，一般学校每年只组织一次。

AMC12每套试卷共25道题，满分150分，要求答题者在75分钟之内完成。考察范围较广，难度较大，需要应试者具备扎实的数学功底和思维发散性，很多题目都需要一些特殊的技巧才能解出。

先来看看2019年AMC 12的分数分布情况。

这是2019年AMC 12A:

这是2019年AMC 12B:

可以看到，全球有近5.5万名考生参加了AMC 12的考试，33人拿到了满分，要进全球Top 1%需要获得121.5分以上，进全球Top 5%需要获得84分以上。

二、历年真题数据分析报告

通过较长时间对AMC12历年试卷所有真题进行分析，使用出题对应的知识点作为根结构，将所有真题分类整理进入数据库以后，再运用数据分析的手段形成的报告如下：

可以明显地看到，AMC 12在Precalculus方面出题力度较大，三角函数、不等式、对数都进入了TOP 6知识点排行榜。

排在第一名的仍然是几何图形的面积，不过比AMC 8和AMC 10难度增加了很多，87道面积题中有17道出现在了最后5道难题中。AMC 12的几何图形面积题与三角函数、解析几何、无穷数列、复数、不等式等知识点结合得比较紧密，究其原因在以前发布的数据分析报告中有过详细说明，感兴趣的读者可以阅读过去的文章，本文不再赘述。

排在第二名的概率题共有71道真题，其中23道出现在了最后5道难题中。AMC 12的概率题与排列组合、数论、几何面积、不等式、复数空间、无穷级数等内容掺杂在一起出题比较常见,难度较大。

排在第三名的方程应用题共有62道，其中7道出现在了最后5道难题中，通过设未知数建立方程解题是非常有效的数学方法，在许多问题的解题过程中都可以看到方程应用的影子，在欧几里得和COMC的数据分析报告中已经有过详细的论述，本文此处略过。

下面我们来重点分析一下AMC12新增的三大常考知识点:三角函数、不等式和对数。

三、压轴章节-Trigonometry

三角函数(Trigonometry)作为中学数学的压轴部分，一般放在PRECALCULUS11-12的最后阶段进行学习，需要理解记忆的公式很多，而三角函数是微积分研究最重要的函数之一，其重要性不言而喻，进入AMC 12 TOP 6知识点排行榜是理所当然的。

根据数据统计，AMC 12中共出现了30道三角函数相关的真题，平均下来每年1.5道。

通过将真题范围限定在最后5道难题中，我们发现有16道分布在21-25道题之间，清单罗列如下：

2003 AMC 12B的第23题；

2004 AMC 12B的第24题；

2005 AMC 12B的第24题；

2006 AMC 12B的第24题；

2008 AMC 12B的第25题；

2009 AMC 12B的第24题；

2012 AMC 12B的第25题；

2014 AMC 12B的第25题；

2015 AMC 12B的第25题；

2004 AMC 12A的第21题；

2007 AMC 12A的第24题；

2008 AMC 12A的第24题；

2008 AMC 12A的第22题；

2010 AMC 12A的第24题；

2019 AMC 12A的第25题；

2018 AMC 12A的第23题；

......

三角函数的繁杂性决定了可以出难题的空间非常大，看来MAA(美国数学协会)是认准了这一点。

下面以2004 AMC 12A的第21题为例看看AMC 12里面的三角函数题长啥样吧：

这是一道三角函数与无穷等比级数结合的题目，看着比较吓人，其实考生只要将等比数列的求和公式与三角函数的倍角公式结合起来考虑可以轻松得解：

根据无穷等比级数的求和公式，

左边求和=

化简一下可以得到：

再利用三角函数2倍角公式：

答案选D。

四、范围搜索利器-Inequality

不等式(Inequality)是AMC10以后新学的内容，是数据筛选及数据范围搜索方面强有力的工具，在寻找最大值、最小值等最优化问题方面用处极大，尤其是在计算机算法设计方面，如果对于不等式相关原理非常熟悉，往往能够获得高效简单的快速算法。

因此不等式作为考察重点，在AMC12中占据第5名的位置顺理成章。

38套题37道不等式方面的题目，平均下来每套题一道不等式。

将分析限定在最后5道难题，我们发现11道不等式方面的题落在了该范围之内，清单罗列如下：

2006 AMC 12B的第24题；

2010 AMC 12B的第24题；

2011 AMC 12B的第23题；

2015 AMC 12B的第23题；

2003 AMC 12A的第25题；

2011 AMC 12A的第23题；

2014 AMC 12A的第25题；

2019 AMC 12B的第25题；

2016 AMC 12A的第24题；

2002 AMC 12B的第25题；

2002 AMC 12B的第24题；

下面以2013 AMC 12B的第17题为例：

题目原文翻译如下：

满足如图中的c的最大值和最小值的差是多少?

对于熟悉不等式性质和二次方程的同学来说，这道题基本上是送分题。

只需要利用：a+b+c=2

得到：

再利用柯西-施瓦茨不等式，可以得到：

化简以后可以得到：

通过二次方程的根很容易解出此不等式：-2<=c<=10/3.

因此答案是：10/3-(-2)=16/3.

选D.

五、化乘除为加减-Logarithm

以前一直感叹对数题(Logarithm)在北美数学竞赛中见得太少,在滑铁卢系列和COMC系列所有竞赛中，所有的对数题全部加起来，也只有区区22道。

对数的神奇在于化乘除为加减，能够将指数形式的乘除运算迅速化解为简单的加减运算，从而大大减低问题的难度和复杂度而快速得解。

在微积分中，对数函数因其导数的特殊性成为解决其他复杂问题的一个快速绿色通道；而在计算机人工智能等算法设计过程中，很多人更是对对数函数青睐有加。

所以我一直为对数函数抱不平，如此重要一个角色，怎么能被各大竞赛所忽视了呢?

这次对数函数终于在AMC12中找到了平衡，到达了排行榜第四名的位置，一共出现了45次，平均每年2.25道题。

将分析限定在最后5道难题，我们发现16道对数相关的题落在了该范围之内，清单罗列如下：

2005 AMC 12B的第23题；

2008 AMC 12B的第23题；

2013 AMC 12B的第22题；

2016 AMC 12B的第25题；

2000 AMC 12的第23题；

2003 AMC 12A的第24题；

2005 AMC 12A的第23题；

2005 AMC 12A的第21题；

2006 AMC 12A的第21题；

2007 AMC 12A的第23题；

2009 AMC 12A的第24题；

2010 AMC 12A的第24题；

2013 AMC 12A的第21题；

2014 AMC 12A的第21题；

2019 AMC 12A的第23题；

2002 AMC 12B的第22题；

下面我们以2002 AMC 12B第22题为例来说明AMC 12如何考察对数函数：

此题是一个对数数列，而下标n是对数的底数，很自然想到通过对数换底公式将n换成真数:

然后简单地把b和c的值代入做运算：

加减法变成了乘除法，经过简单运算可以得到：

答案选B。

六、总结

通过本文的分析，相信大家对于AMC 12有了一个基本的了解。

鉴于AMC 12对于PRECALCULUS预备微积分中的三角函数、不等式、对数、复数等内容考察比较多，建议想要参加AMC 12的考生能够提前学习这部分的内容。

按照一般学校的教学计划，这些内容都会在11-12年级进行学习。如果按照学校教学计划走，在12年级下学期才有可能去参加AMC 12，在此阶段即便取得好的AMC 12的成绩，可能对于大学申请的帮助也不会太大了；而且12年级的时候同学们的学习任务都比较重，同时准备AMC12，估计时间和精力上都会不够。

因此我们建议想要参加AMC12的同学最好在10年级的时候就开始准备，通过完成PRECALCULUS预备微积分相关内容的学习，在10年级或11年级取得AMC 12的好成绩是比较完美的方案。

2020年AMC 12A的考试时间为2020年1月30日，AMC 12B的考试时间为2020年2月5日。

希望有意参加AMC12的同学们早做计划和准备，预祝大家考试成功！

往期数据分析报告原创文章链接：

COMC加拿大国手选拔赛真题数据分析报告

滑铁卢欧几里得数学竞赛(12年级)历年真题数据分析报告

美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告

滑铁卢高斯数学竞赛(7&8年级)历年真题数据分析报告

UBC Elmacon数学竞赛历年真题数据分析报告

点进来的朋友估计对“加拿大国手选拔赛”这一术语有点陌生。

好吧，我承认这是我新创的一个名词，COMC的英文全称是Canadian Open Mathematics Challenge，照字面翻译为“加拿大公开数学挑战赛”，我第一次看到这个翻译时真的搞不懂这个比赛要干嘛，估计很多读者和我一样，都不太理解此比赛后面的真正意义。实际上COMC承担着选拔加拿大国手的重任，所以翻译成“加拿大国手选拔赛”更适合中文的理解习惯。

COMC由加拿大数学学会（Canadian Mathematical Society）主办，滑铁卢大学等协办，是加拿大全国性的数学选拔赛，同时也为了培养学生数学兴趣和发展数学解题能力。比赛的前50名以及各区第一名直接进入加拿大数学奥林匹克集训队CMO(Canadian Mathematical Olympiad),第51名至75名的选手有机会再参加一次CMO的资格选拔赛CMOQR(Canadian Mathematical Olympiad Qualifying Repêchage)，成绩优异的学生依然有机会获得邀请进入CMO。然后再从CMO这些选手中选出6名代表加拿大参加IMO(International Mathematical Olympiad),这就是我们经常所说的“国际数学奥林匹克”,能拿金牌的那6名选手。

COMC官网通常在每年9月1日开放报名，加拿大和美洲（北/南美洲时区）比赛时间为2018年11月8日，其他国家比赛时间为11月9日。

COMC要求参赛选手年龄在19岁以下，具有加拿大公民或居民身份的全职学生都可以报名参加(即在校高中生)。学生不可以自己报名，必须通过所在学校的数学系或老师报名。海外居住的加拿大人，符合以上要求的也可以报名。其他国家的代表队也可以报名参加比赛，以增加比赛的国际竞争力，但不会作为加拿大奥林匹克代表队的候选人。

COMC满分80分，要求答题者写出步骤，有点类似于滑铁卢的Fryer、Galois、Hypatia和Euclid,不同于AMC和滑铁卢系列的其他多项选择题比赛。

COMC整个试卷分成三个部分：

第一部分是基础题，共4题，每道题4分，具备一定数学基础的同学基本都可以答出，有送分题；

第二部分是中级题，共4题，每道题6分，需要一些数学竞赛知识，参加过数学竞赛的同学都不难搞定；

第三部分是高级题，都是大题，共4题，每题10分。每道题一般3个小题，3道小题有连续性，一般前面小题的结论会有利于解出后面的小题。风格与欧几里得后面的大题很像，要求答题者具备较强的数学分析能力和逻辑推理能力。

为了帮助对COMC感兴趣的同学了解并积极准备这一比赛，我们对历年的所有真题进行了整理，通过引擎入库、解题分析、标注、报告生成等步骤，整理出来这份历年真题数据分析报告，供大家参考。

一、数据分析报告

如下是1996年-2018年23年真题数据分析报告的TOP 8知识点：

阅读过智能未来数学过往真题数据分析报告的读者估计能够看出COMC的出题趋势和滑铁卢比较接近，事实上滑铁卢大学也是COMC的协办者之一，从这个角度上说，多参加滑铁卢的系列比赛会有利于在COMC中胜出。

从数据上看，COMC的一个显著特点是加大了几何的权重，弱化了排列组合和概率（这一方向的靠在最前面的组合题也被排到了12位），这一调整与COMC承担的重任是一致的，参加IMO的选手必须具备很强的数学分析能力和逻辑推理能力，对数学推理过程要求很高，而几何题的顺利解出往往都需要严谨地依靠某个定理得出下一个结论，像下棋一样，一环扣一环地从已知走向未知。

研究过加拿大数学教育之后，我发现在本地接受教育的孩子几何真的好弱，COMC出了一大把关于圆和几何面积的题目，并且很多几何题都放在了10分大题里面，还有3年是压轴题，例如：

2001年的第12题；

2002年的第12题；

2003年的第11题；

2005年的第12题；

2010年的第11题；

2012年的第11题......

对于只接受学校数学教育，没有接受课外培训的同学们来说，实在太难为你们了。

还有一点与我们在前面欧几里得数据分析报告里面提到的一样，COMC非常看重应试者应用方程解决实际问题的能力，方程作为最有用的数学工具之一，结合其他一些数学知识点例如勾股定理、相似三角形等能够帮助我们解决很多现实世界中的一些复杂问题。这一知识点排在排行榜上第二位名副其实。

我们后来将真题选择范围限定在9-12这些大题上面进行了分析，发现了一个很意思的现象：

COMC几乎把解析几何的直线方程应用锁定在了第9题和第10题，其中有14年的第9题和第10题都是直线方程。

例如：

1997年的第9题；

1998年的第9题；

1999年的第9题；

2000年的第9题；

2001年的第9题；

2002年的第9题；

2004年的第9题；

2005年的第9题；

2006年的第10题；

2009年的第10题；

2010年的第10题；

2011年的第9题；

2014年的第10题；

2015年的第10题；

......

这复制、粘贴得我的手都有点酸了。

加拿大的命题人好实在啊......

数论题尽管在排行版上被放到了第7的位置，一共才16道题，将真题选择范围限定在9-12这些大题上面进行分析后我们发现，数论往往以大难题的形式出现，16道题有9道是第三部分的难题，其中有8道作为压轴部分的第11题和第12题出现，例如：

2005年的第11题；

2009年的第12题；

2010年的第12题；

2013年的第11题；

2015年的第11题；

2016年的第11题；

2017年的第12题；

2017年的第9题；

2018年的第12题；

......

依照数据分析报告的惯例，我们还是通过例题的形式看看COMC里面到底有些什么货吧。

二、可爱的圆

见多了中国数学竞赛题里面关于圆的诸多难题，一直感叹北美数学竞赛里面平面几何题目的深度实在不够。

COMC的数据分析报告，终于让可爱的圆挽回了一些面子。

先来看看COMC 2012年的倒数第2道大题(第11题)：

原题翻译如下：平行四边形ABCD中, AC为对角线，三角形ABC的内切圆与AC相切于P.

(a)求证：DA+AP=DC+CP;

(b)连接DP,设三角形ADP和三角形DPC的内切圆的半径分别为r1和r2,求证：r1/r2=AP/PC;

(c)假设DA+DC=3AC并且DA=DP,r1和r2仍然是(b)中的半径，试求：r1/r2;

此题主要考察圆的切线长定理和应用方程解题的能力。

应用圆的切线长定理，直接看下图就得到(a)的证明了：

根据平行四边形边长关系：

红1号折线长度=红2号折线长度；

由圆的切线长定理，粉3号=粉4号；

于是红1号-粉3号=红2号-粉4号，即蓝5号=绿8号；

而绿7号=绿8号，蓝5号=蓝6号；

所以绿7号=蓝6号；

(a)证毕。

再来看(b)，用面积法立即得解：

三角形ADP和三角形DPC等高，因此面积之比等于底边之比AP/PC;

而三角形面积=内切圆半径*三角形周长/2；

而由(a),三角形ADP和三角形DPC的周长是相等的；

因此面积之比正好等于半径之比r1/r2；

从而得到r1/r2=AP/PC,证毕。

对于面积法不太理解的读者请看下图，符号[ADP]表示三角形ADP的面积：

再来看(c),这是一道利用勾股定理构造等量关系创建方程解题的典型例子。

根据下图分三步来利用已知条件：

(一)根据条件DA=AP,易知DAP是等腰三角形，根据对称性，连接切点M与D得到DM垂直于AC,并且AM=MP;

(二)再利用条件DA+DC=3AC。

因为目标r1/r2=AP/PC,所以我们假定AP=x,PC=y；

则DA+DC=3x+3y；

故整个蓝色三角形ADC的周长就是4x+4y；

由(a)的结论：

DA+AP=DC+CP

=蓝色三角形ADC周长的一半

=(4x+4y)/2=2x+2y；

于是AD=x+2y,DC=2x+y;

(三)通过勾股定理找到x和y的等量关系：

DM^2=AD^2-AM^2=DC^2-CM^2;

即：

( 2x+y)^2-(x/2+y)^2

=(x+2y)^2-(x/2)^2

化简后得到：3x^2-xy-4y^2=0

分解因式后得到：(3x-4y)(x+y)=0

x,y都为长度，不能为0，必有3x=4y；

即r1/r2=x/y=4/3.

至此，10分大题轻轻松松全部搞定，读者是不是觉得不够过瘾，COMC也不过如此？

三、迷人的数论

数论，数字的理论，以她独特的迷人魅力吸引了无数数学家前赴后继地钻研着，自然也成为COMC的热门出题方向。

我们来看看2015年的倒数第2道大题(第11题)：

此题是一道纯粹的数论题。

原题翻译如下：

(a)如果n=3,找出所有的m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除；

(b)证明对于任意的整数n，总有至少一个整数m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除；

(c)证明对于任意的整数n，只存在有限个整数m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除；

熟悉数论整除性法则和因式分解的同学都不难解出此题。

先看(a)，把n=3代入原式：

m-2|m^2+10 和 m+4|m^2+10

( 为描述简单，启用符号“|”，是数论符号，表示能够整除，下同)

而m^2+10=(m-2)(m+2)+14

于是m-2|14

即m-2必为14的因数

于是m=-12，-5，0，1，3，4，9，16；

现在的m的范围还有点大，一般数论题可以多测试几个案例缩小范围，所以我们可以再尝试一下：

m^2+10=(m+4)(m-4)+26

基于同样的原理:m+4|26

我们得到：

m=-30,-17,-6,-5,-3,-2,9,22

两个案例的交集是m=-5或m=9;

经验证符号条件。

(b)此题考察考生因式分解的经验，熟悉平方差公式的同学容易给出：

(n^2+n+1)(n^2-n+1)

=((n^2+1)+n)((n^2+1)-n)

=(n^2+1)^2-n^2

=n^4+n^2+1

=(n^2)^2+n^2+1

即如果m=n^2,总有：

m+n-1|m^2+n+1 和 m+n+1|m^2+n+1

(c)仍然是因式分解,不过这里有点技巧，需要把变量m吸入到因式乘积中，让剩下的项与m无关，这样m的范围就被n夹住了：

m^2+n^2+1

=(m+(n-1))(m-(n-1))+(n-1)^2+n^2+1

=(m+(n-1))(m-(n-1))+2(n^2-n+1)

因为：m-(n-1)|m^2+n^2+1

所以：m-(n-1)|2(n^2-n+1)

而对于固定的n,2(n^2-n+1)的因数个数是有限的，所以m的个数是有限的。

证毕。

四、将现实照进数学的方程

如我们在欧几里得历年真题数据分析报告里面提到的一样，利用方程解题是最强大的数学工具之一，这一点在COMC中再次得到了充分体现。

现实世界是杂乱无序的，当其演变成一个一个的数学题展现在孩子们面前时，题目里面的数量关系也是紊乱的。如何将题目中混乱的关系捋顺，变成数学世界可以描述和沟通的语言，进而用数学语言解答问题，是考察数学能力的一个重要手段，方程就是这个环节中最好的桥梁。

我们来看看COMC 2017年的第6题：

题目翻译如下：

房间里面有20个人，a个男人和b个女人。每两个男人之间握一次手，每两个女人之间握一次手，男人和女人之间不握手。总握手次数是106次。请求ab。

此题将方程和排列组合进行了结合。之所以点出这道题，是因为类似题目在北美竞赛中比较多见，最近结束的2019袋鼠数学竞赛7-8年级的第27题基本上与此题出处一致。限于篇幅，本文此处不做引用了，感兴趣的朋友可以查阅对比一下。

回到此题的解答，我们很容易得到两个方程：

a+b=20  (1)

2Ca+2Cb=a(a-1)/2+b(b-1)/2=106 (2)

整理(2)后得到：

a^2+b^2=212+(a+b)=232 （3）

( a+b 用(1)中的20代入 )

采用消元法，得到b=20-a，代入到(3),整理得到关于a的方程：

2(a^2-20a+84)=0

分解因式得到:

2(a-14)(a-6)=0

于是得到(a,b)=(14,6) 或 (a,b)=(6,14)。

答案为：6X14=84。

可以帮助构建方程的知识点很多，排列数、组合数、面积法、勾股定理......限于篇幅，本文不在赘述，我们会在后续数据分析报告中继续举例说明。

五、总结

看完几个例题的分析，相信你对COMC的难度和出题范围有了一个基本的了解。

为了选出加拿大的国手，同时又希望能够让更多对数学感兴趣的孩子参与进来，COMC在题目难度的选择上兼顾了这两点，第一部分的题目有的很简单，有一些送分题。拉开分数的题目集中在第11题和第12题，尤其是最后一道题，需要考生具备很强的数学分析和逻辑推理能力。

经常有家长问我，COMC从几年级开始准备比较好。查阅了一下历年的获奖者名单，发现有5年级的同学已经赫然在列了，看来勤奋者正在和时间赛跑。从这个角度上说，如果孩子在数学方面有比较明显的优势，或者希望孩子能够往竞赛道路上发展，应该是越早准备越好，当然需要结合孩子自身的发展特点来选择。

为了帮助同学们备考COMC,智能未来数学提供与面授效果一样的实时互动网课，需要电脑+PAD,电脑是黑板，PAD是电子作业本，老师上课时通过系统实时纠正解题步骤，剖析解题思路和方法。感兴趣的同学请关注我们的公众号获取联系方式。

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滑铁卢欧几里得数学竞赛(12年级)历年真题数据分析报告

美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

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UBC Elmacon数学竞赛历年真题数据分析报告

下面简单介绍一下通过数据对比和2018年美国数学竞赛AMC 8真题分析看到的五个趋势：

趋势一：

题目越来越难

之前在整理AMC 8历年真题的时候我们发现，近些年的题目感觉是越来越难，而2000年前后的真题好多都可以心算给出答案，感觉那个时候的考生好幸福啊

AMC 8最近三年的分数分布报告再次印证了我们的感觉。

先来看看2016年的分数分布报告：

这是2017年的：

这是2018年的：

可以看到，在总体参赛人数差不多的情况下(每年10万左右的参赛选手)，2016年有268人获得满分，2017年75人获得满分，2018年只有45人获得满分。

2016年需要做对22道题才能进入全球TOP 1%,2017年做对20道题就可以进入全球TOP 1%，2018年只需要做对19道题就可以进入全球TOP 1%。

2016年的平均分是9.36，2017年的平均分是8.96，2018年的平均分是8.51。

各项数据都表明，AMC 8的总体趋势是越来越难。

趋势二：

出题点紧靠历年真题报告

如下为AMC 8历年真题数据分析报告中的Top 6知识点：

如下为2018年AMC 8真题数据分析报告中的Top 6知识点：

可以看到面积、概率、比率与历年真题数据分析报告吻合，占据了TOP 6的三席地位。尤其是面积题，今年居然出现了6道题，近四分之一的题量，足见AMC 8出题者对于几何面积题是何等偏好了。

2018年AMC 8的一个特点是排列组合、数论及余数的比重加大，这也是北美数学竞赛的热门套餐。

中国学生比较擅长的行程问题在今年的比赛中表现得比较明显，出现了2道，值得关注。

趋势三：

面积往立体几何方向发展

几何面积题一直是AMC的重头戏，因此今年有6道几何面积题也不会让人觉得奇怪，最难的一道几何题是以立体几何的面孔出现的。

在往年的考题中，立体几何在AMC 8中出现的频率很低，一般在AMC 10中比较多见。

下面我们来看看这道估计难倒了不少考生的立体几何面积题：

原文翻译如下：立方体ABCDEFGH中，J和I分别是FB和HD的中点，求EJCI和立方体一个面面积之比的平方?

很容易证明EJCI是一个菱形(因为EJ=JC=CI=IE)，菱形的两条对角线互相垂直，菱形的面积等于两条对角线之乘积除以2，假定立方体的边长为1，通过勾股定理很容易得到JI=√2，CE=√3,因此EJCI的面积√6/2,面积之比的平方就是6/4=3/2，答案为C.

熟悉立体几何的同学估计心算就可以给出答案，没学过立体几何的同学估计会被题目吓一跳。

趋势四：

组合往多维方向发展

排列组合题因为融入了一些数学智慧，需要构造容易理解的数学模型以套用常见的数学方法，因此常常是北美很多数学竞赛的座上客。

排列组合和概率题看着都不难，只要有足够的时间，大部分同学都可以通过拼拼凑凑找到答案，大不了把所有的分支都写出来。

在赛场上，时间才是制胜的法宝。好些同学不能胜出不是因为做不出来，而是因为在时间和准确性方面不能胜出。

因此如何快速识破题目背后隐藏的“根”(或突破口)至关重要，下面我们来看看第19题：

原文翻译如下：

在上面这个四层符号金字塔中，上面的符号由它下面的两个符号相乘得到(也就是计算机里面的异或操作)，如果想要最上面一个为+号，有多少种不同的填充方法?

初看这道题，没有人会想到这与排列组合有什么关系。一般的排列组合题都是在一个维度上面进行排列，套用乘法原理获得排列数进而得到组合数。今年有两道题是在2个维度上进行排列组合，如果不能构造出来兼容的数学模型，往往不好套用排列组合的方法和原理解题。

大部分同学会采用尝试填充的方式，一种方法一种方法去试，最后发现最下面的一行只能有4个+或4个-或2个+两个-，最后得出1+1+2C4=8的答案，耗时较长，很难证明，也就无法确认自己是否真正选对了答案。

其实如果能够看懂下面这张图的同学，应该可以在数秒之内得到此题答案为:2X2X2=8，选择C。

简单说明如下：红色的三个格决定了整个金字塔的格局(在最上面一格为+的前提下，左下方的格都可以由上面的格和右边的这个格决定)，套用乘法原理，共有3步确定红色格，每步2个选项(+或-)，因此答案是:2X2X2=8。

趋势五：

数论往大数方向发展

今年的数论和余数相关的题目占比较大，最后以一道近似估计数论题压轴，涉及的数字很大，接近往年AMC 10的水平。

题目描述很简单：

原文翻译如下：在2^8+1和2^18+1中间有多少个立方数？

此题不但需要有很好的计算能力，还需要对指数运算比较熟悉。

计算能力好的同学很容易得出2^8+1=257，而6^3=216,7^3=343,所以题目的下界很容易找到，第一个符合要求的立方数是7^3；

而对于上界2^18+1则不容易通过计算算出结果，需要使用指数运算法则做一些近似处理，2^18=（2^6)^3=(64)^3<2^18+1,因此上界为64；

最后得到：64-7+1=58个数，答案为E。

总      结

“稳中有变，难度加大”是2018年美国数学竞赛AMC 8真题数据分析后传达给我们的信息。几何面积是热点，组合和数论比重加大，仍然是备考AMC 8的学习重点。

今年AMC 8的考场外，很多考生都反映时间不够用，后面几道题没有时间看，有一些是靠猜的。在40分钟内完成25道有难度的数学题，每道题需要在96秒内完成，对考生来说是一个大挑战。看到题目后是否能够马上激活学过的知识点并生成解题模型，快速准确地找到答案，是能够在AMC 8中胜出的关键。

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一、欧几里得数学竞赛简介

欧几里得数学竞赛（Euclid，本文简称“欧几里得”）由滑铁卢大学数学学院的数学与计算教育中心(CEMC)组织，主要针对12年级的学生，低年级学生如果感兴趣，也鼓励参加。在该项竞赛中取得前25%的学生将获得证书。2018年有22,695名选手参加了这一数学竞赛，参赛人数地区分布如下：

这场考试由于其考察标准的严格性和专业性，代表了滑铁卢数学竞赛的最高水准，是加拿大和美国名校评估国际学生数学水平、入学资格及奖学金发放的重要依据。（尤其对于有意申请滑铁卢大学的学生来说，Euclid竞赛的成绩比AMC竞赛的成绩更具说服力。）

Euclid数学竞赛一般都是在每年4月举行。2019年的竞赛将于4月3日进行。Euclid竞赛有10道题目，要求在2.5小时内完成。满分是100分。有些题目只要求最后答案，大部分题目要求写出解题过程。

青睐于在滑铁卢大学数学竞赛中获得优异成绩学生的大学专业包括：

二、历年真题数据分析报告

为了帮助更多的同学应考欧几里得，获得申请美国和加拿大名校入学资格及奖学金，我们对欧几里得历年真题进行了分析，整理出来这份数据分析报告：

欧几里得的题目都是大题，每道大题包含2到3道小题。

试卷的总体结构是：前面2道送分题；中间6道基础题，稍有一些难度，基础好的同学都可以解出；最后2道是难题，需要很长的解答过程，其档次和难度与前8题非常明显，能否搞定后面两道题是竞赛能否胜出的关键，对数学知识背景和思维深度都有较高的要求。

下面以排在前面的几何面积、方程应用、解析几何(直线方程和抛物线)、三角函数为例说明历年真题的出题趋势。

1.几何面积是考察重点

从2000年开始，欧几里得的题目比较倾向于考察几何（包含平面几何与解析几何），占比约35%。在21年的考题中，立体几何考的概率极小，仅在2017年出现过立体几何的题目。

一般来说几何题基本是要你计算面积或边长，或者证明面积分割或边长的比例关系或大小关系。

处理这类题目一般常用的技巧就是利用相似三角形或者勾股定理构建等量关系求解，勾股定理应用这一知识点排在第二名的位置。

如果数量关系不好构建的话，可以试试建立平面直角坐标系，使用解析几何的方法解决。

欧几里得的很多几何面积题，只要深刻理解几何图形的面积公式的推导过程并能够灵活应用，往往能够另辟蹊径，找到非常巧妙的解答方法。

例如欧几里得2013年的第9题，属于一道重点难题：

题目翻译中文：

(a)正方形WXYZ边长为6，正方形EFGH边长为10，求证：梯形EFXW和梯形GHZY的面积之和与位置无关；

(b)任意的小正方形PQRS放在大正方形ABCD中，将两个正方形中间的面积分成四部分。如果两个正方形的边长不平行，求证APSD与BCRQ的面积之和与ABQP与CDSR的面积之和相等；

此题乍一看绝对是一道难度很大的几何题，就连滑铁卢官方给出的解答也超过两页纸。

说实话，官方的解答有些啰嗦，因为如果能够看明白图中各个几何图形之间面积的关系，稍微做一些变换，不难给出证明。

先看(a):

直接根据梯形面积公式，合并一下即马上得到答案：

再来看(b):

我们会想到利用(a)中的结论，容易构思出(a)中需要用到的正方形WXYZ：

容易证明图中4个蓝色三角形是全等的。

如果假定大正方形和小正方的边长分别为x和y的话，利用三角形的面积公式，也很容易看出r+n=s+m=|QX|(x-y)/2;

而由(a)的结论，我们有:

证明完毕。

感兴趣的同学可以对比一下滑铁卢官方给出的解答：

2.用方程来解决实际问题的能力很重要

设未知数，根据题目提供信息构建等量关系方程，进而找到问题的答案，是我们获得的最有用数学工具之一。这一能力的考察在欧几里得中得到了充分的展现。

很多看起来难度很高的数学题，只要我们通过未知数找出数量关系，都可以找到突破口迎刃而解。

在实际解题过程中，大家不要害怕未知数过多，因为大多数时候，我们关心的是局部未知数或者未知数整包之间的关系，不需要知道单个的未知数是多少。

这一思想在前面的面积题中大家应该已经看到了。

我们再来看看2001年欧几里得的第9题，这也是一道重点难题：

题目翻译成中文为：直角三角形ABC和直径三角形PQR的边长都为整数，三条边对于平行并且距离都是2，三角形ABC的面积为三角形PQR面积的9倍。请问有多少个这样的三角形ABC?

此题如果不使用未知数构建方程来解答，几乎是不太可能的，因为题目要求的答案太广泛。有经验的同学一看这种题的提问很自然就会想到构建一个不定方程，通过“边长为整数”这一有利条件筛出答案。

这道题有两个信息可用：

A.三边对应距离为2且面积比为9:1

要使用这一条件，很自然想到可以利用面积等量关系构建一个方程，将大三角形ABC划分成3个梯形和一个小三角形PQR,大三角形ABC的面积正好等于三个梯形与小三角形PQR的面积之和。

而数字2正好是三个梯形的高。

利用相似三角形的性质，面积之比为9:1，边长之比则为3:1。

如果假定大三角形ABC的边长为a,b,c，小三角形PQR的边长则为a/3,b/3,c/3,如图：

利用面积公式，很容易得到第一个等量关系方程：

上述方程化简后为：

ac=3c+3b+3a

别忘了我们还有一条信息没有用：

B.三角形ABC为直角三角形

这正是勾股定理的用武之地:

b^2=a^2+c^2

也就是说b可以用a和c来替换掉，完成这一替换，我们最后得到：

到这里需要用一点数论知识了，如果要让c为整数，a-6只能为18的因数，根据这一条件很容易做出下表：

因此本题的答案为(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15).

3.解析几何题目比重很大

欧几里得与其他滑铁卢数学竞赛系列对比，一个比较明显的特点就是欧几里得注重解析几何的考察，这应该是为了做好与微积分学习的衔接，因为解析几何的知识点是微积分必备的预备知识。

直线方程基本上每年都会考，不过题目都比较简单，有一些送分题，以斜率、直线上点的坐标、点与点距离、面积等考察得最多。

一元二次方程和抛物线是考察重点，平均每套试卷里面有2-3道类似的题。考察点包括韦达定理、曲线交点、求根公式、面积、最大值和最小值、顶点坐标等，题目都不难，只要对曲线方程的一些性质比较熟悉，都可以快速写出完整答案。

下面以2007年第9题为例说明这一类型的题目考察知识点的直接性，此题在当年也是以重点难题出现：

题目翻译成中文为：抛物线y=f(x)=x^2+bx+c和y=g(x)=-x^2+dx+e的顶点分别为P和Q,这两天抛物线的交点也是P和Q,求证：

(a)2(e-c)=bd;

(b)经过P和Q的直线方程的斜率为(b+d)/2并且与y轴的交点是(c+e)/2;

先看(a),根据抛物线的顶点公式，f(x)顶点的横坐标是x=-b/2,而f(x)和g(x)都经过P点，按照题意构建一个等量关系再化简一下就可以解出：

(b)更简单，直接根据抛物线顶点公式，可以得到f(x)的顶点P的横坐标为-b/2,纵坐标为：

g(x)的顶点Q的横坐标为d/2,纵坐标为：

套用直线斜率公式，马上得到：

利用斜率和直线上的一点P,立即得到直线方程：

因此直线的纵坐标为(e+c)/2。

都是解析几何基础知识。

4.三角函数出题的频率很高

统计欧几里得21年的所有真题后，我们发现除了2015年只是简单地通过余弦定理考察了一下三角函数以外，其他年份三角函数是每年必考，有的年份还有2-3道，例如2018年有2道，2016年有3道......足见三角函数在欧几里得中的重要地位，这也是微积分的重要预备知识。

根据加拿大数学教学大纲，三角函数是12年级的教学内容，因此如果想在11年级或更早参加欧几里得竞赛的话，需要提前学习相关内容。

三角函数因为牵涉到和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式、万能公式、正弦定理、余弦定理等诸多内容，可以出题的点很多。同学们无需死记硬背公式，只要深入理解各个公式的基本意义，考试时忘了仍然可以推导出来。

只要理解了三角函数公式的推导过程，欧几里得基本就没有三角函数的大难题了，以2017年第6题为例：

题目翻译成中文就是：

(a)如图两个山脚在0点相交，夹角分别为30度和45度，OA=OB=20m,AC和BD为垂直地面的杠，CD为连接AC和BD的电缆，如果AC=6m,BD为多高时CD最短?

(b)如果 cosθ=tanθ,请确定所有的sinθ,用准确的简化数表示；

先看(a),补充一下辅助线，做出下图：

点C和直线BD之间垂线段CX最短，CX=PQ,因此BD=BX时CD最短。此时：

PC=PA+AC=20*sin30°+6=16(m)

BQ=BO*sin45°=10√ 2 m

BD=PC-BQ=(16-10√ 2)(m)。

再看(b),只要利用正弦和余弦的平方关系,很容易转化为一个一元二次方程：

利用二次方程的求根公式，并根据 -1<=sinθ<=1,立即得到：

三、总结

通过历年真题的数据分析，我们发现欧几里得数学竞赛堪称对中小学数学知识掌握水平的一次大检阅。对平面几何、解析几何、数论、排列组合、概率、代数等领域都做了深入考察，尤其是直线、圆锥曲线、三角函数、多元方程组、多项式、指数函数、对数函数、幂函数等微积分预备知识。

更为重要的是，欧几里得大部分题目要求参赛者写出完整的解答过程，这对于大部分习惯了做多项选择题的北美学生来说，绝对是一个高难度的挑战。

在加拿大教学实践中我们发现，很多11年级的学生仍然很难写出完整的解答过程，这应该与学校数学教育平时要求少有很大的关系。多数同学因为平时练得少，基础不牢，一些常规的数学知识点到用的时候没办法激活，一旦进入微积分学习就会觉得困难重重，鸭梨山大。

因此我们建议，对于那些大学专业绕不过微积分的学子们来说，在11-12年级参加欧几里得数学竞赛是很有必要的，最后两道难题可以做不出来，前面八道题是对微积分预备知识理解深度检阅的一次好机会，这份经验将很好地帮助你过渡到微积分学习。

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加拿大可"玩"的数学竞赛

黑格尔曾说过，逻辑是一切思维的基础.

数学是思维的体操，很自然就成了逻辑思维训练最好的手段。

正因为此，越来越多的家长认识到了逻辑思维训练在孩子学习和成长过程中的重要性，希望我推荐几本适合低年级孩子的逻辑思维训练书籍。

英文出版物方面，我在Amazon.com上面进行了对比，目前认可度比较高的是《Building Thinking Skills》系列：

中文出版物方面，我在豆瓣上面进行了对比，排在前面的是华文出版社于海娣主编的《逻辑思维训练1200题》：

特意购买了一本进行阅读，书中介绍了排除法、递推法、倒推法、作图法、假设法、计算法、分析法、类比法、推理法、判断法、综合法等11种解题方法，精选了1200道号称“世界上最顶级的逻辑思维训练题”。

分析了一下本书标注最难的一些逻辑思维题，将其与数学竞赛题进行了对比，发现大部分题目也就是Kangaroo袋鼠数学竞赛（下面简称袋鼠）3到4年级的水平。

说到袋鼠，有必要简单介绍一下：

一、Kangaroo袋鼠数学竞赛简介

袋鼠起源于欧洲，重点测试考生的逻辑思维，创造性，空间想象等多方面的数学综合能力。

试题按难度分ABC三大类别，全为多项选择题。1-2年级18道试题，考试时间为45分钟，3-4年级24道试题，考试时间为60分钟，5-12年级30道试题，考试时间为75分钟。A类题每题3分，B类题每题4分，C类题每题5分，做错的题目倒扣一分。为避免零分，记分分别从18，24和30开始。

袋鼠由于试题新颖有趣，能有效地测试考生的逻辑推理能力，又有益于培养学习兴趣，越来越受到教育专家的推崇。

每年全世界有数百万中小学数学爱好者参加这一数学竞赛。 

自2006年开始，加拿大已经连续举办了十多年，每年有数十万一至十二年级加拿大学生参加这一赛事。

袋鼠堪称“逻辑思维题的盛宴”，之所以这么说，是因为大多数题目并不需要高深的数学知识，却对选手的逻辑思维能力考察更多。

为了帮助大家了解并抓到袋鼠，我们整理了加拿大、美国、新加坡、奥地利、巴基斯坦等几个国家近年来3-4年级的考试真题，经过查找资料、入库、整理校对、标注、数据分析等过程，将如下结果分享给大家：

二、数据分析报告

下面以基础运算、数图形、数谜、逻辑推理为例，让大家看看袋鼠是如何与逻辑思维完美结合的吧！

第一名 Basic Calculation-基础运算

袋鼠的许多基础运算题超越了纯粹意义上的加、减、乘、除四则运算，与逻辑思维进行了一定程度的融合，需要选手们有一定的观察和分析能力，找到问题的突破口，然后顺根摸瓜，一步一步地找到答案。

这是新加坡袋鼠2017年第16题：

原文翻译如下：圆圈中的?是什么数?

此题初看，如果不细心观察，会有一种"巧妇难为无米之炊"的感觉，里面的圆圈都是空的，从哪里开始算啊?

...

...

事实上呀，看看下图就豁然开朗啦

第二名 Diagram Counting-数图形

我们发现北美低年级（7年级以下）的数学竞赛对数图形（Diagram Counting）的题目有一个偏爱，估计袋鼠是源头。

此类题目都不难，基本上所有人都可以数出来大部分结果，难就难在给出准确的答案。

要解决此类问题，孩子们最需要培养的是逻辑分类能力，必须先仔细观察，做出科学的分类，然后把所有图形都落到这些分类里面，达到如下要求：

1、没有重复；

2、没有遗漏；

这八个字说出来简单，做出来就不容易啦。不做逻辑分类的孩子上来就数，数到后面会发现忘了哪里数过了，哪里没数过，要么重复，要么遗漏，最后给出的答案十有八九都不准确。

先看新加坡袋鼠2015年第22题：

题目原文翻译如下：上图中格点水平方向和垂直方向的距离都是一样的，Ann连接其中的任意四个点得到一个正方形。请问可以得到多少个面积不一样的正方形?

第一分类(大多数人都可以看出来)：

红、蓝、绿三个正方形的面积分别是1、4、9；

第二分类(能够找到的孩子就不多了)：

紫色正方形的面积是2；

第三分类(能够找到的孩子就少之又少了)：

粉色正方形的面积是5；

综合三个分类，可以找到面积为1、2、4、5、9的正方形，因此答案选D。

再看看加拿大袋鼠2017年第24题:

题目原文翻译如下：Josie有多少种方法可以从如下的这个长方形里面裁剪出来正好有一个黑色小正方形的T形图?

由于满足要求的T形图都叠加在一起了，不做分类的同学很容易发生遗漏或重复，有逻辑分类思想的孩子可以通过分类寻找的方法快速准确地给出答案。

第一分类：T形图中间C为黑色，可以找到如下图的红、蓝、绿、紫4个：

第二分类：T形图A为黑色，可以找到如下图的红、绿2个：

第三分类：T形图B为黑色(根据对称性，D为黑色与B为黑色是一回事，因此算一个分类)，可以找到如下图的紫、绿2个：

三个分类加起来一共是4+2+2=8，答案为D。

第五名 Number Puzzle-数谜

做过数独游戏的朋友都知道，这类题目与逻辑推理密切相关，只要找到一个突破口或者假设成立，就可以顺根摸瓜，把所有的数一步一步地找出来。

数谜题在北美数学竞赛中屡见不鲜，在滑铁卢、AMC等系列比赛中出现的频率都非常高，成为检验孩子们逻辑推理能力的一个最有效手段之一。

数谜题本身也有无数方向的变种，例如加拿大袋鼠2017年第22题：

题目原文翻译如下：Zosia在下图表格中藏了一些笑脸，在一些格子中她写下了与本格相邻的所有格子包含的笑脸个数，两个格子相邻是指它们有一条公共边或者一个公共角。请问这个表格中藏了多少个笑脸?

玩过早期Windows自带扫雷(Mine Sweeper)游戏的朋友一定会惊呼：这不正是扫雷游戏吗?

没错，此题就是来源于扫雷游戏！

下面我们用逻辑推理的方法看看如何把所有的雷（这里是笑脸）一步一步地找出来吧。

为便于描述，我们把所有的格子先编个号吧：

第一步，找到本题的突破口B,B的邻格只有3个，而它的邻格中有三个笑脸，显然A、F、G都是笑脸，我们用绿色圆圈标出：

第二步，看K,因为它的所有邻格中只有2个笑脸，而我们已经在其邻格中找出2个笑脸，所以J、N、O、P、L、H中不会再有笑脸，我们有粉色线标出：

第三步，看C,它的所有邻格中有3个笑脸,已经找出2个，剩下只有D邻格可用了，所以D必须为笑脸：

第四步，看E,它所有邻格中的2个笑脸都已经标出,所以I不是笑脸：

第五步，看N,它所有邻格中有1个笑脸，只有M尚未标出,所以M是笑脸：

DONE!

扫雷完毕！

现在轻松数出共有5个笑脸，答案选B。

第八名 Logical Reasoning-逻辑推理

其实在前面的所有例题中我们几乎都已经看到了逻辑推理在解题中的应用，把逻辑推理单独拿出来作为一个知识点，主要包括一类袋鼠题，需要通过文字理解逐步把逻辑关系画出，进而得出答案。

看看奥地利袋鼠2010年第23题：

原文翻译如下：A,S,R,M四个人到Z城市碰头参加音乐会，他们来自P,D,R,B四个城市之一，我们知道如下信息：

1.A和从B来的朋友首先到达Z,他们两从来没有去过P和R;

2.R不是从B来的，但他和从P来的朋友一起到的；

3.M和从P来的朋友很喜欢音乐会；

请问M来自哪个城市?

这是典型的逻辑推理文字题，需要先找到突破口信息，然后从突破口开始，用一张图把他们的逻辑关系画出来，很快就可以找到答案。

第一步，A没有去过P、R,也不是从B来(因为朋友从B来)，所以A只能从D来：

第二步，R不是从B来,也不是从P来(因为朋友从P来)，所以R只能从R来：

第三步，M不是从P来(因为朋友从P来)，最后只剩下B一个城市选项了，所以M只能从B来，S从P来：



答案为D。

三、总    结

通过上述几个例子，大家可以看到，袋鼠数学竞赛作为“逻辑思维盛宴”名副其实，这也许是袋鼠能够风靡全世界60多个国家、被无数教育学家推崇的主要原因。

越来越多的家长已经看到了逻辑思维训练在孩子学习和成长过程中发挥着越来越重要的作用。

那么逻辑思维训练到底能够给孩子带来什么呢？

通过阅读和分析网络上的各种意见，我们总结出逻辑思维训练可以帮助孩子改善和强化以下内容：

一、判断力强，有主见。有的孩子生活在家长的影子下，凡事都希望家长决定，自己没有太多主意。逻辑思维训练可以让孩子学会自己拿主意，做选择，成为一个有主见的人；　 

二、处事灵活。在学习生活中灵活地运用知识是很重要的能力，逻辑思维能力强的人会举一反三，不会死脑筋；　

三、对事物认识更加客观。孩子成人后，如果在工作中思考问题片面容易走极端，逻辑思维训练会让孩子从多角度考虑问题，而不是主观地思考问题，能看到事物的多面性；

四、性格活泼开朗。受过逻辑思维训练的孩子，不会在陌生人面前不敢说话躲到家长身后，会是大方开朗的；

五、做事严谨，不丢三落四。现在的孩子在学习的时候很容易犯丢三落四的毛病，这与逻辑思维训练不够有较大关系，逻辑思维训练可以让孩子形成严谨的处事风格；

六、当然还有最重要的一点：逻辑思维训练会让孩子喜欢数学，学好数学。

形成本文数据分析报告的所有真题试卷都已经在Rootofmath .com上免费开放，欢迎孩子们选用和在线练习，提高逻辑思维能力和学习数学的兴趣。

真题试卷及题库还在持续整理扩大中，欢迎大家关注并及时更新。

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加拿大可"玩"的数学竞赛

我猜点进来的朋友是因为标题的后半段，因为前半段估计大家都听腻了

“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，意思是：有若干只鸡和兔在同个笼子里。从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

咱大中国不缺数学人才，很多人对于这个问题的研究都达到了骨灰级的境界了......

求解这道题的方法有数十种，简单罗列如下：列表法、画图法、金鸡独立法、吹哨法、假设法、特异功能法、砍足法、耍兔法、方程法......

简单和大家一起重温一下比较常见的解题方法：

1.列表法

       没错，就是列举，暴力破解，也是计算机中解决问题常有的思路。当第一组没有鸡有35只兔子的时候，一共有140只脚，跟94差的有点多，可以5只甚至10只的增加鸡的数量，根据脚的数量再进行微调……做一个表就出来了

2.金鸡独立法

       让每只鸡和兔子都做一个动作：用一半的脚站立。那么，地上还剩94/2=47只脚，每只鸡有一个脑袋一只脚，每个兔子有一个脑袋两只脚，47比35多出来的就是兔子的数，共12只兔子，也就知道23只鸡了。

3.吹哨法

听口令：所有小动物抬起一只脚。地上还剩94-35=59只脚；

听口令：所有小动物再抬起一只脚。地上还剩59-35=24只脚。

鸡已经腾空，兔子双脚站立。于是24/2=12只兔子，鸡23只。

4.特异功能法

鸡有2只脚，兔子有4只脚，鸡比兔子少两只，但鸡有2个翅膀啊，假设鸡有特异功能，可以把2个翅膀变成2只脚，那么鸡和兔子都是4只脚了，应该有35*4=140只脚，可实际只有94只，多出的140-94=46就是翅膀数，46/2=23只鸡，也就知道12只兔子了。

5.假设法（假设都是鸡）

假设全部都是鸡，则有35X2=70条腿，比实际少94-70=24条腿，一只鸡变成一只兔子腿增加2条，因此需要增加24/2=12次才能得到所有94条腿，即兔子12只。

6.假设法（假设都是兔子）

假设全部都是兔子，则有35X4=140条腿，比实际多140-94=46条腿，一只兔子变成一只鸡腿减少2条，因此需要减少46/2=23次才能达到实际的94条腿，因此鸡为23只。

......

学过方程的同学都会用最万能的方程法来解，列一个一元一次方程或者是二元一次方程，三下五除二就可以把X解出来了......

......

所有的解题方法，本质上都是巧妙地利用头、脚数量之间的关系，加上各种假设和想象，组合出多种不同的思路。

说来说去都是挖掘数与数之间的逻辑关系解题。数学上有集合有函数，计算机上有数据结构有算法，计算机编程本身就是用数据结构和算法去描述现实世界里的逻辑关系。大千世界都是基于这最本质的数和逻辑关系，我们对于世界的认识也是从这里开始的。

我们学会了这么多解法，照理说我们都是高手了；如果我们把所有这些方法都给孩子们讲明白以后，  孩子们是否也都成了“鸡兔同笼”问题的高手，碰见此类问题都会解了呢？ 

我在三个不同的班里面讲述“鸡兔同笼”的逻辑思维方法，孩子们对于诸如“特异功能法”这样的解题方法听起来都觉得很滑稽，一度在课堂上还止不住笑。

对于假设法的解题思路也表示理解，信心满满表示已经学会。

然后我拿出了一道这样的题：

题目原文翻译如下：学校组织孩子们去滑雪，小轿车可坐3人，面包车可坐5人。一共去了140人，用了40个车，请问多少个孩子坐小轿车去的?

初看起来这道题与鸡兔同笼没有什么关系。按照Rootofmath.com名称的由来，同类的数学问题都来源于同一个根，这个问题来源的根恰恰就是我们熟悉的“鸡兔同笼”问题。

三个班同学面对这道题的结果让我觉得有些意外，13名同学只有一名七年级的同学，因为以前接触过“鸡兔同笼”问题，能够通过逻辑类比的方法给出答案。

事实上，为了帮助孩子们理解这一逻辑思维过程，我们发现有两个问题需要解决：

1、完整的数字表达式

我们遇到的第一个问题是孩子们无法写出完整的数字表达式。

以前面提到“鸡兔同笼”问题的第五种方法“假设法（假设都是鸡）”为例，一般的教法会列出三个式子：

绿色框里面有三个运算表达式，没有形成整体，显得支离破碎，显然无法帮助孩子们形成整体的感性认识，无法完成解题逻辑思维方法的理解记忆。

我们建议用如下这个完整的数字表达式来描述：

如果孩子们能够理解这一完整表达式，实际上已经理解记忆了“鸡兔同笼”的逻辑思维方法。

为了帮助孩子们更好的理解记忆，在解决实际问题的时候能够快速写出完整的数字表达式，我们采用了更加形象的树形逻辑表达法：

这颗树对于数字之间逻辑关系的形象表达，让孩子们有了一个感性认识，后面再解其他题的时候也基本能够灵活运用，给出完整的数字表达式了。

2、逻辑思维的类比

解决第一个问题后，一般的孩子再碰到兔子和鸡在一起，找出鸡和兔子的数量不再是难事了。

接下来的问题是，鸡和兔子是一千五百多年前古人们的数学题，孩子们在考试中遇到同样的鸡和同样的兔子的可能性几乎为零。

就拿上面这一道题来说，小轿车和面包车可没有长腿啊!

如果孩子们没有理解记忆鸡兔同笼问题里面数与数之间的逻辑关系，碰到同样的问题还是会感觉无从下手。

一部分孩子对于100以下的数字可以通过列表法拼凑找出答案，但一旦题目的数字变得很大就无能为力了。

这是我们遇到的第二个问题。

为了解决这一问题，我们画出了如下逻辑类比图：

看完上面这张类比图，你是否发现这个问题与“鸡兔同笼”其实是同一个问题，只不过数字变了一下而已呢?

我们仍然用树形逻辑图帮助孩子们强化理解记忆：

最后我们得到30个小轿车，因此此题的答案是：30X3=90个孩子坐小轿车去的。

就像我们前面提到的，因为这里我们需要小轿车的数量，所以我们假设所有的车都是面包车。

如果需要面包车的数量，就得假设所有的车都是小轿车。

解决完这两个问题，我们的“鸡兔同笼”课程是否就算结束，孩子们是否已经能够灵活运用这一逻辑方法解决此类问题了呢？

实践结果告诉我们，答案还是否定的。因为平时接受的逻辑思维训练少，鸡兔同笼问题稍微变一下，孩子们仍然觉得无从下手，例如下面这道题，13名同学无一人能够快速给出答案：

题目原文翻译如下：农场里面只有鸡和奶牛，一共有720条腿。已知奶牛的数量是鸡的数量的4倍，请问有多少只奶牛?

鸡还是那一只鸡，兔子变成了奶牛，最讨厌的是这回没头了......

也就是说，数与数之间的逻辑关系变了。

事实上，这个题比鸡兔同笼问题还简单，只要采用假设法，假设一只鸡与四只奶牛配对构成一组，每组有2+4X4=18条腿，一共有720/18=40组，因为每组4只奶牛，所以40组共有40X4=160只奶牛。

完整的树形逻辑图如下：

此题告诉我们，尽管都是“鸡兔同笼”同根衍生出来的问题，也可以有很多的变种。

再扩展一下，如果我们往古人的鸡兔笼里面再放入几只八爪鱼，鸡兔八爪鱼同笼的问题又该如何解呢？

......

总    结

通过前面的分析，我们看到，几个鸡和兔同笼就可以把孩子们的世界变得丰富多彩，有做不完的数学题。

如果我们仅仅让孩子刷题，学会了如何解几道“鸡兔同笼”的问题，而没有深入思考题目背后的数字逻辑关系和解题策略，当孩子们遇到新的变种的时候仍然会无从下手，难免会陷入“一学就会，一做就废”的困境。

因此智能未来数学认为，数学学习最重要的价值应该是让孩子们学会逻辑思维方法，就“鸡兔同笼”问题的学习而言，让孩子们受益终身的是假设和替换的逻辑思维方法和策略，这远远超越加减乘除四则运算的意义。

可惜的是，我在和孩子们接触的过程中发现，大部分孩子都缺乏基本的逻辑思维方法。

昨天在高贵林的一个书店有幸看到几本那闷数学的教材，一到五年级全部都是加减乘除四则运算，从一位数，到两位数，到三位数......我在想着孩子们在做这些练习题的时候该有多么的枯燥和无聊，错过了多少数学学习时应该看到的美丽风景......

感叹之余，好想劝劝哪些为孩子购买这些教材的家长打开如下这个链接：

https://www.helpingwithmath.com/resources/worksheet-generators.htm

这是一个免费的加减乘除四则运算题目生成和打印工具，内容涵盖整数、分数、小数、方程和表达式等等多项内容，需要几位数、每页几个、数的范围如何......您孩子的数学练习册您做主，想打印多少打印多少，把钱省下来买几本逻辑思维的书，教教孩子的逻辑思维方法吧。

一旦孩子的逻辑思维能力得到提升，只要掌握了数的世界里面10进制这一本质的根，搞定加减乘除四则运算是分分钟的事。

如果您认可本文的观点，有劳你轻抬贵手，把这篇文章分享给那些需要的朋友，您的轻轻一点，就会帮助更多的孩子走出枯燥的数学学习困境，喜欢数学，学好数学。

本文所采用的题目均来自 Rootofmath.com, 文中的手写图片来源于智能未来数学真实的教学环境，是我们自主研发的实时手写同步授课系统产生的，在智能未来数学Pad实时互动网课中已经获得大量应用。如果您是一位老师，也想借助这一平台帮助更多的孩子提高数学，请与我们联系。

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