博客. Rootmaths.com-online math teaching and practising

标签: 竞赛资讯

评论 (0)

2019年9月30日

滑铁卢凯利Cayley(本文简称Cayley)数学竞赛，对16岁或十年级以下的学生开放。为纪念英国数学家凯利（Cayley ，1821－1895）而命名。

Cayley通常在每年二月中旬举行，北美比其他地区会提前一天考试。满分150分，分为A、B、C三部分，答题时间一个小时。全部为选择题，若空着不填，此题可加两分，打错则不拿分数。不提供中文版试题。

A部分10道题，每道题5分，简单基础题，有一部分是送分题；

B部分10道题，每道题6分，基础题，基础好的同学基本都可以答出；

B部分5道题，每道题8分，真正的竞赛题，尤其是最后两道题，难度比较大，顺利解出的话需要的步骤有时候会超过AMC10的题目。

先来看看2019年Cayley的参赛人数：

去年有23650名同学参加了Cayley,BC省有3387名同学参加，远低于安省的9643名参赛同学。

再来看看分数排名表：

可以看到去年有13人获得了满分，要进入Top 25%需要获得108分以上。

一、数据分析报告

这是Cayley 23年来所有真题经过知识点为根的结构入库并通过数据分析得到的报告：

与9年级Pascal数学竞赛历年真题数据分析报告的数据进行对比后，我们可以看到：

Pascal对于基础数学知识点考察得比较多，例如基础运算、分数、百分数等；

Cayley则新增了对10年级新学内容例如直线方程(Linear Function)的重点考察，指数运算这一知识点也登上了排行榜第六名的位置。

方程应用(Equations)从Pascal第五名的位置攀升到Cayley的第二名，可以看出利用方程应用解题的能力随着年级的增加，重要性也逐步增加。

分数（Fractions）在Pascal和Cayley中保持了相同的名次：第三名，足见分数运算法则依然是9-10年级数学的重要考察点；

三角形角度(Triangle Angles)从Pascal的第六名上升到Cayley的第五名，排名稍有上升。

下面我们重点说明一下面积、直线方程、指数这三个知识点。

二、面积-代数几何共同体

排在第一位的仍然是几何面积题，一共出现了61道，平均每套题2.5道。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Cayley很喜欢在难题部分出几何面积题，一共有17道难题落在了21-25题的区间，详细清单如下：

2005年第24题；

2013年第22题；

2012年第23题；

2009年第25题；

2010年第21题；

2008年第21题；

2007年第23题；

2004年第22题；

2004年第24题；

2003年第22题；

2003年第23题；

2002年第21题；

2002年第23题；

1998年第25题；

1998年第24题；

1997年第22题；

1997年第25题；

面积题的重要性前面一些文章当中已经有过详细说明，通过对Cayley历年真题进行分析后我们发现一个新的内涵：北美数学竞赛偏爱面积题的另外一个原因是面积题可以综合考察代数和几何的多方面知识，不光要求考生对于常用的一些几何公理、定理、推论以及应用比较熟悉，还要求考生可以活学活用代数相关知识(例如通过设未知数建立方程等)才能解出，因此面积题是综合考察代数和几何知识点完美的共同体，我想这也许是北美数学竞赛青睐几何面积题的另一个重要原因。

下面我们以Cayley1997年最后一道压轴题为例说明面积题是如何综合考察几何和代数知识点的：

题目原文翻译如下：在上图的三角形ABC中，BR = CR, CS = 3SA , AT/TB = p/q.如果三角形RST的面积是三角形TBR的两倍，则p/q为多少?

本题输入条件是三角形的边长关系和面积关系，输出条件是p/q的关系。

由于牵涉到未知数p和q,很容易想到此题的解题思路是通过面积建立等式，通过代数式变换，用面积的关系换取p和q的关系。

在几何里面，我们知道三角形的面积公式是:底*高/2；

而同高的两个三角形面积之比=底之比；

根据题目给的条件，两个边长之比很容易转换为面积之比；

而三角形RST面积为三角形TBR面积的两倍这一条件，初看不好构建等量关系，尤其是三角形RST的面积，底和高都没有，很难求出啊，很自然地想到将其中所有三角形的面积都用三角形ABC的面积来表示，从而就可以构建等量关系了。

因此我们可以假定三角形ABC的面积为k:

三角形ACR面积=三角形ABC面积/2（等高，面积之比等于底之比）；

三角形SCR面积=三角形ACR面积*3/4（等高，面积之比等于底之比）；

综合以上两个条件，立即得到：

三角形SCR面积=三角形ABC面积*3/8=3k/8;

同理可以得到：

三角形TBR面积=qk/[2*(p+q)];

三角形TAS面积=pk/[4*(p+q)];

三角形RST面积=三角形ABC面积-三角形TAS面积-三角形TBR面积-三角形SCR面积;

利用三角形RST的面积是三角形TBR的两倍这一条件立即有：

等量关系有了，面积都用p、q代数式表示出来了。

虽然有一个多余的变量k，但两边都可以同时除以k(因为k不等于0)约掉它：

这时候，代数恒等变换等技巧就有用武之地了，做一些化简，就可以得到答案了：

答案选E.

三、直线方程-解析几何的基础

直线方程是9-10年级新学的内容，是解析几何（Analytic geometry）的基础，在Cayley中登上第四名的位置应该说是理所当然。

利用直线方程解题，是解析几何赋予我们最基本的工具和技能。

在Cayley中，直线方程的难题并不多。大部分都属于中等难度，29道直线方程的题目中，有17道落在了第10题至第20题的区间，有8道落在了第1题至第10题的区间。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Cayley仅有4道题落在了21-25题的区间，详细清单如下：

2009年第21题；

2001年第21题；

2001年第25题；

1998年第21题；

下面我们以2001年Cayley第21题来说明如何利用解析几何里面的一些基础知识点来快速解答直线方程的题目：

题目原文翻译如下：P在直线y=5x+3上面，Q的坐标是(3,-2),如果M是PQ的中点，则M所在的直线方程是下面哪一个？

此题需要利用中点坐标公式，即任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点M的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),注意是对应坐标相加后除以2。

（题外话：在教学中我们发现，很多同学记成了对应坐标相减后除以2，其实只要在纸上把A,B,M找出来，利用几何梯形中线的证明过程，对应坐标相加是很容易理解的）

一种解法是先假定有一点P(a,5a+3)在直线y=5x+3上面，利用中点坐标公式求出M的坐标为：

(1) x=(a+3)/2;

(2) y=[(5a+3)+(-2)]/2=(5a+1)/2

联合上面的(1)和(2)，把a消掉就可以得到x和y的关系:

y=5x-7

因此答案选E;

另一种更加快速的解法是利用所求的中线必然与原来直线y=5x+3平行,因此其斜率一定为5，只需要在中线上找到一个点，加上这个斜率就可以写出这条直线方程了。

例如可以取P(0,3)，利用中点公式得到PQ的中点M坐标为(3/2,1/2),通过M斜率为5的直线方程可以写作：

y-1/2=5*(x-3/2).

稍作化简就可以得到：y=5x-7.

因此答案选E;

四、指数-一步到位写大数

指数符号是一步到位写出大数最简单有效的表述形式，也是滑铁卢数学竞赛系列中的一个考察重点。

高斯7年级排在第49名的位置(在那个年代还仅仅是平方数和立方数的考察)；

高斯8年级快速上升到第16名的位置；

Pascal 9年级上升到第11名的位置；

Cayley10年级直接进入前六名排在了第6名的位置；

而且随着年级的增加，指数题目的难度也在逐步增加。

指数之所以如此重要，是因为它是学习指数函数、对数函数的基础，而这些都是将来微积分学习中很重要的基本函数，因此提前深刻掌握指数运算的各项法则有利于将来的学习得心应手。

Cayley的指数题难度都不大，作为基础考察的题目比较多，25道题中有18道题落在第1题至第10题的区间，6道题落在第11题至第20题的区间，只有1道题落在第21题至第25题的区间。

一般来说，指数部分的难题一般都会与数论、函数、概率等相关知识点结合起来出题，例如下面这道题，严格地说起来是一道数论题。

这是2010年Cayley的第25道压轴题：

题目原文翻译如下：Steve同学把一个计数器放在如图中0的位置。第一次顺时针移动1^1步到1，第二次顺时针移动2^2步到5，第三次顺时针移动3^3步到2.....以此类推，第n次顺时针移动n^n步。请问1234次移动以后计数器在哪个位置?

有经验的同学一看此题应该就会想到同余理论，不过随着n的增长n^n是一个很大的数，要把它算出来是比较困难的，好在我们只要找到它除以10以后的余数，就可以知道第n步顺时针移动了多少步，因为圆盘上只有10个数，移动10的任意倍数步都会回到原来出发的数。

所以接下来我们只要考虑n^n除以10以后的余数就可以了，也就是n^n的个位数。

而n^n的个位数是由n的个位数决定的。

n的个位数一共只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10种情况。

通过简单的测算，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数n次方以后会呈现出以1,2,4为周期的特征，例如：

7^1,7^2,7^3,7^4,7^5,7^6,7^7,7^8的个位数分别为：

7,9,3,1,7,9,3,1......

而n^n的个位数是以10为周期的，由于1,2,4,10的最小公倍数为20，所以n^n的个位数是以20为周期的。

这句话用数学表达式来证明是这样的：

(20+a)^(20+a)

≡a^(20+a)

≡a^(4*5+a)

≡a^a (mod 10)

于是我们只要计算 1^1 +2^2 +3^3 +... +20^20 的个位数即可。

简单计算我们发现：

1^1+2^2+3^3+...+20^20

≡1+4+7+6+5+6+3+6+9+0

+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0

≡94

≡4(mod 10)

（注：≡表示模运算，即表示余数相等的意思，“mod 10”表示除以10的余数）

所以：

1^1+2^2+3^3+...+1234^1234

≡61*4+1221^1221+1222^1222+...+1234^1234

≡4+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6

≡67

≡7 (mod 10)

答案选D。

指数类型的题目中，有很多是与数论相关的数的比较问题，只要注意化成同底或同幂后再进行比较，一般都可以轻松解出。

五、总结

完成数据分析报告后我们发现，滑铁卢Cayley数学竞赛的题目其实并不难。

对于10年级同学来说，如果只是习惯了多项选择题的答题方式，即便在Cayley数学竞赛中可以获得130分以上的成绩，对于北美名校选拔的精英人才数学标准来说仍然是远远不够的。

事实上，滑铁卢自己也发现了多项选择题作为考试方式的弊端，从9年级开始增加了需要写步骤的Fryer（对应9年级）、Galois（对应10年级）和Hypatia（对应11年级），作为对Pascal（对应9年级）、Cayley（对应10年级）和Fermat（对应11年级）最好的补充。

在教学过程中我们发现，在加拿大本地接受数学教育的孩子都不爱写步骤，看见数学题想一想就随便选(或猜)一个答案完事的现象普遍存在，这应该与北美以多项选择题为主的标准化命题方式有直接关系。大部分考试都这样，孩子们自然而然就懒得在纸上写过程了。

这一现象导致的直接后果就是孩子们的数学成绩拿高分很难。没有步骤，直接心算给出答案，思路很容易跳跃，可能已经跳过了一个最关键的步骤，答案往往是错误的。

在实践中我们发现，孩子们的答案少写或多写一个零，小数点点错位置，漏掉了一个逻辑分支......这些都是很普遍的现象。

当我们在教学过程中强化步骤训练后，有的家长反映每次练习只要要求孩子在纸上写出步骤，答题正确率明显提高；而一旦放手让孩子们自己做题目，正确率又回到了解放前，因为孩子们没有写步骤答题的自觉性。

解题时写出严格步骤对于提高正确率来说效果是立竿见影的，还在苦于提高正确率的同学们可以尝试一下。

10年级数学成绩好的同学可以开始着手准备加拿大国手选拔赛COMC和滑铁卢的欧几里得数学竞赛了，这两个比赛都需要书写详细步骤。平时就注意加强解题步骤的训练，是培养严谨的逻辑思维能力和条理性尤为重要的一环，对于将来能够做出高质量的优秀论文也大有裨益。

因此我们强烈建议参加Cayley数学竞赛的同学，从这个阶段开始就应该有意识地加强解题步骤的训练，在参加Cayley的同时去参加Galois和Hypatia，为将来的学习和工作打下坚实的数学逻辑基础。

往期数据分析报告原创文章链接：

滑铁卢9年级Pascal数学竞赛数据分析报告

美国数学竞赛12年级(AMC12)数据分析报告

标签: 竞赛资讯

评论 (0)

2019年7月27日

自欧几里得数据分析报告发布以后，有很长时间没有做滑铁卢系列数学竞赛的数据分析报告了。事实上，我们已经完成Pascal数学竞赛相关数学题库的整理工作好长一段时间了，只是缺一份数据分析报告。前段时间一直忙于美国数学竞赛、COMC以及竞赛教程系列题库的整理工作，对于滑铁卢系列9-11年级的数学竞赛重视程度不够。

最近在AMC10的培训班上我们发现，部分同学因为前期缺少竞赛相关的培训，直接学习AMC10的课程刚开始会发现难度比较大，学起来有些吃力。

通过我们对滑铁卢竞赛系列和美国数学竞赛系列的对比，我们发现对这些同学来说，参加滑铁卢Pascal或Cayley数学竞赛是一个比较好的中间缓冲阶段。

滑铁卢帕斯卡Pascal(本文简称Pascal)数学竞赛，对15岁以下的九年级学生开放。为纪念法国数学家布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal ，1623－1662）而命名。

Pascal通常在每年二月中旬举行，北美比其他地区会提前一天考试。满分150分，分为A、B、C三部分，答题时间一个小时。全部为选择题，若空着不填，此题可加两分，打错则不拿分数。不提供中文版试题。

A部分10道题，每道题5分，简单基础题，有一部分是送分题；

B部分10道题，每道题6分，基础题，基础好的同学基本都可以答出；

B部分5道题，每道题8分，真正的竞赛题，尤其是最后两道题，难度比较大，顺利解出的话需要的步骤有时候会超过AMC10的题目。

先来看看2019年Pascal的参赛人数：

去年有30784名同学参加了Pascal。

再来看看分数排名表：

可以看到去年有9人获得了满分，要进入Top 25%需要获得102分以上。

一、数据分析报告

这是Pascal 23年来所有真题经过知识点为根的结构入库并通过数据分析得到的报告：

排在第一位的是滑铁卢系列数学竞赛出题者的最爱——面积，一共出现了55道，平均每套题2.4道。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Pascal在难题方面对几何面积题也偏爱有加，一共有15道难题落在了21-25题的范围之内，详细清单如下：

2019年第25题；

2018年第23题；

2016年第23题；

2015年第21题；

2009年第22题；

2007年第23题；

2005年第22题；

2004年第25题；

2003年第24题；

2003年第22题；

2002年第24题；

2001年第22题；

2000年第21题；

1998年第25题；

1998年第24题；

......

面积题的重要性前面一些文章当中已经有过详细说明，本文不再赘述。

排在第二位的是基础练习。所谓基础练习，基本上是加、减、乘、除四则运算，大部分是送分题，基础好的孩子一看就会的那种。这是滑铁卢系列数学竞赛的风格，在前面10道题中间塞了不少测试数学基础的题目，这些题目基本上处于期末小测验的难度，所以仍然把滑铁卢数学竞赛当成国内奥数的家长朋友需要改变一下观念，最好把滑铁卢数学竞赛的前面20道题看成是给孩子一个数学期末考试的机会。

看个例子大家就明白这一点了。

例如2019年Pascal的第一题：

你觉得这是9年级的数学竞赛题吗?

是不是有点无语呢。

我在高斯数据分析报告文章中曾经提到过，如果孩子同年级去参加高斯数学竞赛得分在100分以下，需要对孩子的数学基础引起重视，要不然的话到高中阶段可能会影响到其他学科的学习。

这句话对Pascal数学竞赛的结果依然适用，即如果孩子9年级参加Pascal数学竞赛成绩在100分以下，需要建议孩子对数学学习引起足够重视了。

分数和百分数都是Pascal的考察重点，分别占据第三名和第四名的位置，基本都是题号为1-20的基础题目。此类题目逻辑比较简单，很少在第三部分8分题考察，偶尔出现也会与其他知识点结合后亮相。

分数和百分数题目还有一个特点就是喜欢与图形结合出现，利用图形进行直观、生动、形象地表述，增加考生对于题目的感性认识和理解深度，从这一点上来说Pascal的题目在人性化设计方面还是可圈可点的。

下面我们来重点聊聊9年级新增的方程应用和三角形角度这两个知识点吧。

二、万能工具-方程

利用方程解题一直是滑铁卢数学竞赛重点考察的数学能力之一，在高斯7年级的题目中简易方程应用解题还处在第23名的位置，高斯8年级升到第10名的位置，9年级的Pascal立即升到第5名的位置。

将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Pascal一共有6道难题落在了21-25题的范围之内，详细清单如下：

2019年第25题；

2016年第22题；

2015年第22题；

2013年第24题；

2008年第23题；

2005年第22题；

当然方程应用需要解决一些实际的数学问题，所以一般会与面积、周长、文氏图、数据报表、数论等领域的知识点结合起来出现。

例如2013年Pascal的第24题就是一道结合文氏图用方程解题的典型案例：

题目原文翻译如下：帕斯卡高中准备组织三种不同的旅游。50%的学生参加了第一种，80%参加了第二种，90%参加了第三种。一共有160名同学参加了所有三种旅游，其他所有同学正好参加了其中的两种旅游。请问帕斯卡高中一共有多少个学生？

有经验的同学一看题目应该就会知道此题在考文氏图，需要利用文氏图来造方程。

如果假定帕斯卡高中共有x人，结合文氏图：

假定参加第一种和第二种而没有参加第三种的人数为a;

假定参加第一种和第三种而没有参加第二种的人数为b;

假定参加第二种和第三种而没有参加第一种的人数为c;

根据题目条件，可以得到：

(1) 0.5x=a+b+160;

(2) 0.8x=a+c+160;

(3) 0.9x=b+c+160;

(4) x=a+b+c+160;

上述式子稍作合并即可解出x:

所以答案选D.

三、几何基础-角度计算

三角形内角和等于180度，看似简单的几何知识，在滑铁卢系列的数学竞赛中，从高斯7年级一直考到费尔马11年级。

在9年级Pascal数学竞赛中居然登上了第六名的位置。

此类角度计算题没有难题，大多处于题号1-20的位置，通过添加辅助线或者设未知数建立方程，基本都可以轻松解出。

例如2016年的第20题：

题目原文翻译如下：在上图中，QT和RV分别是角平分线，求∠QUR的度数。

此题不难，解法可谓五花八门，只要利用三角形内角和为180度这一基本常识，通过未知数x和y建立方程，用解方程的方法基本都可以找到答案，差异仅仅在于解题的速度。

这是滑铁卢官方给出的解答：

下面介绍两种快速的解法。

解法一：利用三角形一个外角等于所对的两个内角之和这一性质，可以很快得到：

(1) 2x=38°+∠QRW;

(2) 2y=38°+∠RQW;

(3) 38°+∠RQW+∠QRW=180°;

(1)+(2)并用（3）换掉右边，立即得到：

2x+2y=38°+180°=218°;

于是x+y=109°;

在三角形QRU中，利用对顶角相等的性质，可以得到：

x=∠RQU;

y=∠QRU;

故∠QUR=180°-(x+y)=180°-109°=71°,答案选A;

解法二：连接WU得到

由解法一我们已经得到：

x+y=109°;

而由三角形一个外角等于所对的两个内角之和这一性质，我们有：

x=∠1+∠2;

y=∠3+∠4;

故x+y=∠1+∠2+∠3+∠4;

由条件∠1+∠3=38°，从而：

∠QUR=∠2+∠4=109°-38°=71°,答案选A。

通过解法二估计大家看到了辅助线在解几何题时发挥的威力。事实上，几何基础好的同学通过这种解法可以在数秒内通过心算给出本题的答案。

这就是几何辅助线的魅力所在，也是大多数高难度的几何题能够快速解出的关键所在，例如今年2019 IMO的第二道题：

此题输入很简单，只有PQ平行AB这一条件，没有辅助线要想解出着实难度太大，只要把辅助线添加到位，估计几何好的高中同学都可以解出：

...

四、总结

通过本分的分析，相信大家对于滑铁卢Pascal数学竞赛已经有了一个基本的了解。

今天早晨正好看到一篇对比中国高中教育体制和加拿大教育体制的文章，文中提到两者最大的差异其实在于结果导向不同：

中国教育体制直接对准高考，一切为高考做准备，一切以高考为目标；

加拿大的教育体制则不同，培养目标是合格的全球公民，这与高等院校想要寻找的精英人才，是不完全在一个区间的。这是北美教育的优势，也恰恰是造成学生和家长诸多困惑的根源所在。问题的症结，就是你想培养一个什么样的人才，或者说家长希望孩子成长为什么样的人才。

...

最后这个问题问得好，关键是家长希望孩子成长为什么样的人才。

估计大多数家长带着孩子来到加拿大，都希望自己的孩子成为高等院校想要寻找的精英人才。如果您给出的答案是这一选项，如前文所述，建议您不要把Pascal等滑铁卢系列数学竞赛和中国奥数划上等号，鼓励孩子学好数学，把Pascal数学竞赛看成是9年级数学年终期末考试可能会更好。

往期数据分析报告原创文章链接：

美国数学竞赛12年级(AMC12)数据分析报告

标签: 竞赛资讯

评论 (0)

2019年7月7日

本文与上一篇文章中间间隔的时间有点长。

向各位读友解释一下原因：这段时间主要在集中精力完成Rootofmath.com数学题库建设。

刚刚从数据库中查了一下数据，目前Rootofmath.com分类整理的北美数学竞赛题已达到49258道，内容涵盖从5年级到12年级诸多常见竞赛专题，大部分题库在内部培训使用状态中。如需了解题库的更多信息，请关注公众号"智能未来数学"的后续文章。

想要刷题的同学应该可以通过Rootofmath.com找到刷不完的题了——当然我们不建议孩子们通过这种方式学数学。智能未来数学倡导从根上学数学(Rootofmath.com的由来),做题要系统，要精，不刷同质题。

言归正传，回到今天本文的主题。

一、AMC12简介

AMC12是12年级美国数学竞赛的简称，12年级及以下并且考试当天在19.5周岁以下的同学都可以参加。

AMC12考察的知识点包括除微积分以外的所有中学数学知识，如三角函数、复数、不等式、对数等等，难度明显高于AMC8和AMC10。

AMC12的前身叫AHSME,AHSME自1950年开始举办，在1999年以前都叫这个名字。因为AHSME的题目相对比较简单，所以本文不涉及AHSME的真题分析。

本文基于对AMC12从2000年到2019年20年共38套试卷的分析，包括AMC 12A和AMC 12B,自2002年以后是每年2套，2000年和2001年不分12A和12B,只有1套，所以一共是38套试卷，950道真题。

细心的读友肯定会问：为什么有12A和12B之分呢?

AMC12每年有两次考试机会,分别是12A和12B,12B一般比12A晚一周考试。考生需要提前问询组织学校的考试时间，一般学校每年只组织一次。

AMC12每套试卷共25道题，满分150分，要求答题者在75分钟之内完成。考察范围较广，难度较大，需要应试者具备扎实的数学功底和思维发散性，很多题目都需要一些特殊的技巧才能解出。

先来看看2019年AMC 12的分数分布情况。

这是2019年AMC 12A:

这是2019年AMC 12B:

可以看到，全球有近5.5万名考生参加了AMC 12的考试，33人拿到了满分，要进全球Top 1%需要获得121.5分以上，进全球Top 5%需要获得84分以上。

二、历年真题数据分析报告

通过较长时间对AMC12历年试卷所有真题进行分析，使用出题对应的知识点作为根结构，将所有真题分类整理进入数据库以后，再运用数据分析的手段形成的报告如下：

可以明显地看到，AMC 12在Precalculus方面出题力度较大，三角函数、不等式、对数都进入了TOP 6知识点排行榜。

排在第一名的仍然是几何图形的面积，不过比AMC 8和AMC 10难度增加了很多，87道面积题中有17道出现在了最后5道难题中。AMC 12的几何图形面积题与三角函数、解析几何、无穷数列、复数、不等式等知识点结合得比较紧密，究其原因在以前发布的数据分析报告中有过详细说明，感兴趣的读者可以阅读过去的文章，本文不再赘述。

排在第二名的概率题共有71道真题，其中23道出现在了最后5道难题中。AMC 12的概率题与排列组合、数论、几何面积、不等式、复数空间、无穷级数等内容掺杂在一起出题比较常见,难度较大。

排在第三名的方程应用题共有62道，其中7道出现在了最后5道难题中，通过设未知数建立方程解题是非常有效的数学方法，在许多问题的解题过程中都可以看到方程应用的影子，在欧几里得和COMC的数据分析报告中已经有过详细的论述，本文此处略过。

下面我们来重点分析一下AMC12新增的三大常考知识点:三角函数、不等式和对数。

三、压轴章节-Trigonometry

三角函数(Trigonometry)作为中学数学的压轴部分，一般放在PRECALCULUS11-12的最后阶段进行学习，需要理解记忆的公式很多，而三角函数是微积分研究最重要的函数之一，其重要性不言而喻，进入AMC 12 TOP 6知识点排行榜是理所当然的。

根据数据统计，AMC 12中共出现了30道三角函数相关的真题，平均下来每年1.5道。

通过将真题范围限定在最后5道难题中，我们发现有16道分布在21-25道题之间，清单罗列如下：

2003 AMC 12B的第23题；

2004 AMC 12B的第24题；

2005 AMC 12B的第24题；

2006 AMC 12B的第24题；

2008 AMC 12B的第25题；

2009 AMC 12B的第24题；

2012 AMC 12B的第25题；

2014 AMC 12B的第25题；

2015 AMC 12B的第25题；

2004 AMC 12A的第21题；

2007 AMC 12A的第24题；

2008 AMC 12A的第24题；

2008 AMC 12A的第22题；

2010 AMC 12A的第24题；

2019 AMC 12A的第25题；

2018 AMC 12A的第23题；

......

三角函数的繁杂性决定了可以出难题的空间非常大，看来MAA(美国数学协会)是认准了这一点。

下面以2004 AMC 12A的第21题为例看看AMC 12里面的三角函数题长啥样吧：

这是一道三角函数与无穷等比级数结合的题目，看着比较吓人，其实考生只要将等比数列的求和公式与三角函数的倍角公式结合起来考虑可以轻松得解：

根据无穷等比级数的求和公式，

左边求和=

化简一下可以得到：

再利用三角函数2倍角公式：

答案选D。

四、范围搜索利器-Inequality

不等式(Inequality)是AMC10以后新学的内容，是数据筛选及数据范围搜索方面强有力的工具，在寻找最大值、最小值等最优化问题方面用处极大，尤其是在计算机算法设计方面，如果对于不等式相关原理非常熟悉，往往能够获得高效简单的快速算法。

因此不等式作为考察重点，在AMC12中占据第5名的位置顺理成章。

38套题37道不等式方面的题目，平均下来每套题一道不等式。

将分析限定在最后5道难题，我们发现11道不等式方面的题落在了该范围之内，清单罗列如下：

2006 AMC 12B的第24题；

2010 AMC 12B的第24题；

2011 AMC 12B的第23题；

2015 AMC 12B的第23题；

2003 AMC 12A的第25题；

2011 AMC 12A的第23题；

2014 AMC 12A的第25题；

2019 AMC 12B的第25题；

2016 AMC 12A的第24题；

2002 AMC 12B的第25题；

2002 AMC 12B的第24题；

下面以2013 AMC 12B的第17题为例：

题目原文翻译如下：

满足如图中的c的最大值和最小值的差是多少?

对于熟悉不等式性质和二次方程的同学来说，这道题基本上是送分题。

只需要利用：a+b+c=2

得到：

再利用柯西-施瓦茨不等式，可以得到：

化简以后可以得到：

通过二次方程的根很容易解出此不等式：-2<=c<=10/3.

因此答案是：10/3-(-2)=16/3.

选D.

五、化乘除为加减-Logarithm

以前一直感叹对数题(Logarithm)在北美数学竞赛中见得太少,在滑铁卢系列和COMC系列所有竞赛中，所有的对数题全部加起来，也只有区区22道。

对数的神奇在于化乘除为加减，能够将指数形式的乘除运算迅速化解为简单的加减运算，从而大大减低问题的难度和复杂度而快速得解。

在微积分中，对数函数因其导数的特殊性成为解决其他复杂问题的一个快速绿色通道；而在计算机人工智能等算法设计过程中，很多人更是对对数函数青睐有加。

所以我一直为对数函数抱不平，如此重要一个角色，怎么能被各大竞赛所忽视了呢?

这次对数函数终于在AMC12中找到了平衡，到达了排行榜第四名的位置，一共出现了45次，平均每年2.25道题。

将分析限定在最后5道难题，我们发现16道对数相关的题落在了该范围之内，清单罗列如下：

2005 AMC 12B的第23题；

2008 AMC 12B的第23题；

2013 AMC 12B的第22题；

2016 AMC 12B的第25题；

2000 AMC 12的第23题；

2003 AMC 12A的第24题；

2005 AMC 12A的第23题；

2005 AMC 12A的第21题；

2006 AMC 12A的第21题；

2007 AMC 12A的第23题；

2009 AMC 12A的第24题；

2010 AMC 12A的第24题；

2013 AMC 12A的第21题；

2014 AMC 12A的第21题；

2019 AMC 12A的第23题；

2002 AMC 12B的第22题；

下面我们以2002 AMC 12B第22题为例来说明AMC 12如何考察对数函数：

此题是一个对数数列，而下标n是对数的底数，很自然想到通过对数换底公式将n换成真数:

然后简单地把b和c的值代入做运算：

加减法变成了乘除法，经过简单运算可以得到：

答案选B。

六、总结

通过本文的分析，相信大家对于AMC 12有了一个基本的了解。

鉴于AMC 12对于PRECALCULUS预备微积分中的三角函数、不等式、对数、复数等内容考察比较多，建议想要参加AMC 12的考生能够提前学习这部分的内容。

按照一般学校的教学计划，这些内容都会在11-12年级进行学习。如果按照学校教学计划走，在12年级下学期才有可能去参加AMC 12，在此阶段即便取得好的AMC 12的成绩，可能对于大学申请的帮助也不会太大了；而且12年级的时候同学们的学习任务都比较重，同时准备AMC12，估计时间和精力上都会不够。

因此我们建议想要参加AMC12的同学最好在10年级的时候就开始准备，通过完成PRECALCULUS预备微积分相关内容的学习，在10年级或11年级取得AMC 12的好成绩是比较完美的方案。

2020年AMC 12A的考试时间为2020年1月30日，AMC 12B的考试时间为2020年2月5日。

希望有意参加AMC12的同学们早做计划和准备，预祝大家考试成功！

往期数据分析报告原创文章链接：

标签: 竞赛资讯

评论 (0)

2019年4月17日

点进来的朋友估计对“加拿大国手选拔赛”这一术语有点陌生。

好吧，我承认这是我新创的一个名词，COMC的英文全称是Canadian Open Mathematics Challenge，照字面翻译为“加拿大公开数学挑战赛”，我第一次看到这个翻译时真的搞不懂这个比赛要干嘛，估计很多读者和我一样，都不太理解此比赛后面的真正意义。实际上COMC承担着选拔加拿大国手的重任，所以翻译成“加拿大国手选拔赛”更适合中文的理解习惯。

COMC由加拿大数学学会（Canadian Mathematical Society）主办，滑铁卢大学等协办，是加拿大全国性的数学选拔赛，同时也为了培养学生数学兴趣和发展数学解题能力。比赛的前50名以及各区第一名直接进入加拿大数学奥林匹克集训队CMO(Canadian Mathematical Olympiad),第51名至75名的选手有机会再参加一次CMO的资格选拔赛CMOQR(Canadian Mathematical Olympiad Qualifying Repêchage)，成绩优异的学生依然有机会获得邀请进入CMO。然后再从CMO这些选手中选出6名代表加拿大参加IMO(International Mathematical Olympiad),这就是我们经常所说的“国际数学奥林匹克”,能拿金牌的那6名选手。

COMC官网通常在每年9月1日开放报名，加拿大和美洲（北/南美洲时区）比赛时间为2018年11月8日，其他国家比赛时间为11月9日。

COMC要求参赛选手年龄在19岁以下，具有加拿大公民或居民身份的全职学生都可以报名参加(即在校高中生)。学生不可以自己报名，必须通过所在学校的数学系或老师报名。海外居住的加拿大人，符合以上要求的也可以报名。其他国家的代表队也可以报名参加比赛，以增加比赛的国际竞争力，但不会作为加拿大奥林匹克代表队的候选人。

COMC满分80分，要求答题者写出步骤，有点类似于滑铁卢的Fryer、Galois、Hypatia和Euclid,不同于AMC和滑铁卢系列的其他多项选择题比赛。

COMC整个试卷分成三个部分：

第一部分是基础题，共4题，每道题4分，具备一定数学基础的同学基本都可以答出，有送分题；

第二部分是中级题，共4题，每道题6分，需要一些数学竞赛知识，参加过数学竞赛的同学都不难搞定；

第三部分是高级题，都是大题，共4题，每题10分。每道题一般3个小题，3道小题有连续性，一般前面小题的结论会有利于解出后面的小题。风格与欧几里得后面的大题很像，要求答题者具备较强的数学分析能力和逻辑推理能力。

为了帮助对COMC感兴趣的同学了解并积极准备这一比赛，我们对历年的所有真题进行了整理，通过引擎入库、解题分析、标注、报告生成等步骤，整理出来这份历年真题数据分析报告，供大家参考。

一、数据分析报告

如下是1996年-2018年23年真题数据分析报告的TOP 8知识点：

阅读过智能未来数学过往真题数据分析报告的读者估计能够看出COMC的出题趋势和滑铁卢比较接近，事实上滑铁卢大学也是COMC的协办者之一，从这个角度上说，多参加滑铁卢的系列比赛会有利于在COMC中胜出。

从数据上看，COMC的一个显著特点是加大了几何的权重，弱化了排列组合和概率（这一方向的靠在最前面的组合题也被排到了12位），这一调整与COMC承担的重任是一致的，参加IMO的选手必须具备很强的数学分析能力和逻辑推理能力，对数学推理过程要求很高，而几何题的顺利解出往往都需要严谨地依靠某个定理得出下一个结论，像下棋一样，一环扣一环地从已知走向未知。

研究过加拿大数学教育之后，我发现在本地接受教育的孩子几何真的好弱，COMC出了一大把关于圆和几何面积的题目，并且很多几何题都放在了10分大题里面，还有3年是压轴题，例如：

2001年的第12题；

2002年的第12题；

2003年的第11题；

2005年的第12题；

2010年的第11题；

2012年的第11题......

对于只接受学校数学教育，没有接受课外培训的同学们来说，实在太难为你们了。

还有一点与我们在前面欧几里得数据分析报告里面提到的一样，COMC非常看重应试者应用方程解决实际问题的能力，方程作为最有用的数学工具之一，结合其他一些数学知识点例如勾股定理、相似三角形等能够帮助我们解决很多现实世界中的一些复杂问题。这一知识点排在排行榜上第二位名副其实。

我们后来将真题选择范围限定在9-12这些大题上面进行了分析，发现了一个很意思的现象：

COMC几乎把解析几何的直线方程应用锁定在了第9题和第10题，其中有14年的第9题和第10题都是直线方程。

例如：

1997年的第9题；

1998年的第9题；

1999年的第9题；

2000年的第9题；

2001年的第9题；

2002年的第9题；

2004年的第9题；

2005年的第9题；

2006年的第10题；

2009年的第10题；

2010年的第10题；

2011年的第9题；

2014年的第10题；

2015年的第10题；

......

这复制、粘贴得我的手都有点酸了。

加拿大的命题人好实在啊......

数论题尽管在排行版上被放到了第7的位置，一共才16道题，将真题选择范围限定在9-12这些大题上面进行分析后我们发现，数论往往以大难题的形式出现，16道题有9道是第三部分的难题，其中有8道作为压轴部分的第11题和第12题出现，例如：

2005年的第11题；

2009年的第12题；

2010年的第12题；

2013年的第11题；

2015年的第11题；

2016年的第11题；

2017年的第12题；

2017年的第9题；

2018年的第12题；

......

依照数据分析报告的惯例，我们还是通过例题的形式看看COMC里面到底有些什么货吧。

二、可爱的圆

见多了中国数学竞赛题里面关于圆的诸多难题，一直感叹北美数学竞赛里面平面几何题目的深度实在不够。

COMC的数据分析报告，终于让可爱的圆挽回了一些面子。

先来看看COMC 2012年的倒数第2道大题(第11题)：

原题翻译如下：平行四边形ABCD中, AC为对角线，三角形ABC的内切圆与AC相切于P.

(a)求证：DA+AP=DC+CP;

(b)连接DP,设三角形ADP和三角形DPC的内切圆的半径分别为r1和r2,求证：r1/r2=AP/PC;

(c)假设DA+DC=3AC并且DA=DP,r1和r2仍然是(b)中的半径，试求：r1/r2;

此题主要考察圆的切线长定理和应用方程解题的能力。

应用圆的切线长定理，直接看下图就得到(a)的证明了：

根据平行四边形边长关系：

红1号折线长度=红2号折线长度；

由圆的切线长定理，粉3号=粉4号；

于是红1号-粉3号=红2号-粉4号，即蓝5号=绿8号；

而绿7号=绿8号，蓝5号=蓝6号；

所以绿7号=蓝6号；

(a)证毕。

再来看(b)，用面积法立即得解：

三角形ADP和三角形DPC等高，因此面积之比等于底边之比AP/PC;

而三角形面积=内切圆半径*三角形周长/2；

而由(a),三角形ADP和三角形DPC的周长是相等的；

因此面积之比正好等于半径之比r1/r2；

从而得到r1/r2=AP/PC,证毕。

对于面积法不太理解的读者请看下图，符号[ADP]表示三角形ADP的面积：

再来看(c),这是一道利用勾股定理构造等量关系创建方程解题的典型例子。

根据下图分三步来利用已知条件：

(一)根据条件DA=AP,易知DAP是等腰三角形，根据对称性，连接切点M与D得到DM垂直于AC,并且AM=MP;

(二)再利用条件DA+DC=3AC。

因为目标r1/r2=AP/PC,所以我们假定AP=x,PC=y；

则DA+DC=3x+3y；

故整个蓝色三角形ADC的周长就是4x+4y；

由(a)的结论：

DA+AP=DC+CP

=蓝色三角形ADC周长的一半

=(4x+4y)/2=2x+2y；

于是AD=x+2y,DC=2x+y;

(三)通过勾股定理找到x和y的等量关系：

DM^2=AD^2-AM^2=DC^2-CM^2;

即：

( 2x+y)^2-(x/2+y)^2

=(x+2y)^2-(x/2)^2

化简后得到：3x^2-xy-4y^2=0

分解因式后得到：(3x-4y)(x+y)=0

x,y都为长度，不能为0，必有3x=4y；

即r1/r2=x/y=4/3.

至此，10分大题轻轻松松全部搞定，读者是不是觉得不够过瘾，COMC也不过如此？

三、迷人的数论

数论，数字的理论，以她独特的迷人魅力吸引了无数数学家前赴后继地钻研着，自然也成为COMC的热门出题方向。

我们来看看2015年的倒数第2道大题(第11题)：

此题是一道纯粹的数论题。

原题翻译如下：

(a)如果n=3,找出所有的m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除；

(b)证明对于任意的整数n，总有至少一个整数m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除；

(c)证明对于任意的整数n，只存在有限个整数m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除；

熟悉数论整除性法则和因式分解的同学都不难解出此题。

先看(a)，把n=3代入原式：

m-2|m^2+10 和 m+4|m^2+10

( 为描述简单，启用符号“|”，是数论符号，表示能够整除，下同)

而m^2+10=(m-2)(m+2)+14

于是m-2|14

即m-2必为14的因数

于是m=-12，-5，0，1，3，4，9，16；

现在的m的范围还有点大，一般数论题可以多测试几个案例缩小范围，所以我们可以再尝试一下：

m^2+10=(m+4)(m-4)+26

基于同样的原理:m+4|26

我们得到：

m=-30,-17,-6,-5,-3,-2,9,22

两个案例的交集是m=-5或m=9;

经验证符号条件。

(b)此题考察考生因式分解的经验，熟悉平方差公式的同学容易给出：

(n^2+n+1)(n^2-n+1)

=((n^2+1)+n)((n^2+1)-n)

=(n^2+1)^2-n^2

=n^4+n^2+1

=(n^2)^2+n^2+1

即如果m=n^2,总有：

m+n-1|m^2+n+1 和 m+n+1|m^2+n+1

(c)仍然是因式分解,不过这里有点技巧，需要把变量m吸入到因式乘积中，让剩下的项与m无关，这样m的范围就被n夹住了：

m^2+n^2+1

=(m+(n-1))(m-(n-1))+(n-1)^2+n^2+1

=(m+(n-1))(m-(n-1))+2(n^2-n+1)

因为：m-(n-1)|m^2+n^2+1

所以：m-(n-1)|2(n^2-n+1)

而对于固定的n,2(n^2-n+1)的因数个数是有限的，所以m的个数是有限的。

证毕。

四、将现实照进数学的方程

如我们在欧几里得历年真题数据分析报告里面提到的一样，利用方程解题是最强大的数学工具之一，这一点在COMC中再次得到了充分体现。

现实世界是杂乱无序的，当其演变成一个一个的数学题展现在孩子们面前时，题目里面的数量关系也是紊乱的。如何将题目中混乱的关系捋顺，变成数学世界可以描述和沟通的语言，进而用数学语言解答问题，是考察数学能力的一个重要手段，方程就是这个环节中最好的桥梁。

我们来看看COMC 2017年的第6题：

题目翻译如下：

房间里面有20个人，a个男人和b个女人。每两个男人之间握一次手，每两个女人之间握一次手，男人和女人之间不握手。总握手次数是106次。请求ab。

此题将方程和排列组合进行了结合。之所以点出这道题，是因为类似题目在北美竞赛中比较多见，最近结束的2019袋鼠数学竞赛7-8年级的第27题基本上与此题出处一致。限于篇幅，本文此处不做引用了，感兴趣的朋友可以查阅对比一下。

回到此题的解答，我们很容易得到两个方程：

a+b=20 (1)

2Ca+2Cb=a(a-1)/2+b(b-1)/2=106 (2)

整理(2)后得到：

a^2+b^2=212+(a+b)=232 （3）

( a+b 用(1)中的20代入 )

采用消元法，得到b=20-a，代入到(3),整理得到关于a的方程：

2(a^2-20a+84)=0

分解因式得到:

2(a-14)(a-6)=0

于是得到(a,b)=(14,6) 或 (a,b)=(6,14)。

答案为：6X14=84。

可以帮助构建方程的知识点很多，排列数、组合数、面积法、勾股定理......限于篇幅，本文不在赘述，我们会在后续数据分析报告中继续举例说明。

五、总结

看完几个例题的分析，相信你对COMC的难度和出题范围有了一个基本的了解。

为了选出加拿大的国手，同时又希望能够让更多对数学感兴趣的孩子参与进来，COMC在题目难度的选择上兼顾了这两点，第一部分的题目有的很简单，有一些送分题。拉开分数的题目集中在第11题和第12题，尤其是最后一道题，需要考生具备很强的数学分析和逻辑推理能力。

经常有家长问我，COMC从几年级开始准备比较好。查阅了一下历年的获奖者名单，发现有5年级的同学已经赫然在列了，看来勤奋者正在和时间赛跑。从这个角度上说，如果孩子在数学方面有比较明显的优势，或者希望孩子能够往竞赛道路上发展，应该是越早准备越好，当然需要结合孩子自身的发展特点来选择。

为了帮助同学们备考COMC,智能未来数学提供与面授效果一样的实时互动网课，需要电脑+PAD,电脑是黑板，PAD是电子作业本，老师上课时通过系统实时纠正解题步骤，剖析解题思路和方法。感兴趣的同学请关注我们的公众号获取联系方式。

往期数据分析报告原创文章链接：