COMC加拿大国手选拔赛真题数据分析报告

点进来的朋友估计对“加拿大国手选拔赛”这一术语有点陌生。

好吧,我承认这是我新创的一个名词,COMC的英文全称是Canadian Open Mathematics Challenge,照字面翻译为“加拿大公开数学挑战赛”,我第一次看到这个翻译时真的搞不懂这个比赛要干嘛,估计很多读者和我一样,都不太理解此比赛后面的真正意义。实际上COMC承担着选拔加拿大国手的重任,所以翻译成“加拿大国手选拔赛”更适合中文的理解习惯。

COMC由加拿大数学学会(Canadian Mathematical Society)主办,滑铁卢大学等协办,是加拿大全国性的数学选拔赛,同时也为了培养学生数学兴趣和发展数学解题能力。比赛的前50名以及各区第一名直接进入加拿大数学奥林匹克集训队CMO(Canadian Mathematical Olympiad),第51名至75名的选手有机会再参加一次CMO的资格选拔赛CMOQR(Canadian Mathematical Olympiad Qualifying Repêchage),成绩优异的学生依然有机会获得邀请进入CMO。然后再从CMO这些选手中选出6名代表加拿大参加IMO(International Mathematical Olympiad),这就是我们经常所说的“国际数学奥林匹克”,能拿金牌的那6名选手。

COMC通常在每年9月1日开放报名,加拿大和美洲(北/南美洲时区)比赛时间为2018年11月8日,其他国家比赛时间为11月9日。

COMC要求参赛选手年龄在19岁以下,具有加拿大公民或居民身份的全职学生都可以报名参加(即在校高中生)。学生不可以自己报名,必须通过所在学校的数学系或老师报名。海外居住的加拿大人,符合以上要求的也可以报名。其他国家的代表队也可以报名参加比赛,以增加比赛的国际竞争力,但不会作为加拿大奥林匹克代表队的候选人。

COMC满分80分,要求答题者写出步骤,有点类似于滑铁卢的Fryer、Galois、Hypatia和Euclid,不同于AMC和滑铁卢系列的其他多项选择题比赛。

COMC整个试卷分成三个部分:

第一部分是基础题,共4题,每道题4分,具备一定数学基础的同学基本都可以答出,有送分题;

第二部分是中级题,共4题,每道题6分,需要一些数学竞赛知识,参加过数学竞赛的同学都不难搞定;

第三部分是高级,都是大题,共4题,每题10。每道题一般3个小题,3道小题有连续性,一般前面小题的结论会有利于解出后面的小题。风格与欧几里得后面的大题很像,要求答题者具备较强的数学分析能力和逻辑推理能力。

为了帮助对COMC感兴趣的同学了解并积极准备这一比赛,我们对历年的所有真题进行了整理,通过引擎入库、解题分析、标注、报告生成等步骤,整理出来这份历年真题数据分析报告,供大家参考。


一、数据分析报告


如下是1996年-2018年23年真题数据分析报告的TOP 8知识点:



阅读过智能未来数学过往真题数据分析报告的读者估计能够看出COMC的出题趋势和滑铁卢比较接近,事实上滑铁卢大学也是COMC的协办者之一,从这个角度上说,多参加滑铁卢的系列比赛会有利于在COMC中胜出。

从数据上看,COMC的一个显著特点是加大了几何的权重,弱化了排列组合和概率(这一方向的靠在最前面的组合题也被排到了12位),这一调整与COMC承担的重任是一致的,参加IMO的选手必须具备很强的数学分析能力和逻辑推理能力,对数学推理过程要求很高,而几何题的顺利解出往往都需要严谨地依靠某个定理得出下一个结论,像下棋一样,一环扣一环地从已知走向未知。

研究过加拿大数学教育之后,我发现在本地接受教育的孩子几何真的好弱,COMC出了一大把关于圆和几何面积的题目,并且很多几何题都放在了10分大题里面,还有3年是压轴题,例如:

2001年的第12题;

2002年的第12题;

2003年的第11题;

2005年的第12题;

2010年的第11题;

2012年的第11题......

对于只接受学校数学教育,没有接受课外培训的同学们来说,实在太难为你们了。

还有一点与我们在前面欧几里得数据分析报告里面提到的一样,COMC非常看重应试者应用方程解决实际问题的能力,方程作为最有用的数学工具之一,结合其他一些数学知识点例如勾股定理、相似三角形等能够帮助我们解决很多现实世界中的一些复杂问题。这一知识点排在排行榜上第二位名副其实。

我们后来将真题选择范围限定在9-12这些大题上面进行了分析,发现了一个很意思的现象:

COMC几乎把解析几何的直线方程应用锁定在了第9题和第10题,其中有14年的第9题和第10题都是直线方程。

例如:

1997年的第9题;

1998年的第9题;

1999年的第9题;

2000年的第9题;

2001年的第9题;

2002年的第9题;

2004年的第9题;

2005年的第9题;

2006年的第10题;

2009年的第10题;

2010年的第10题;

2011年的第9题;

2014年的第10题;

2015年的第10题;

......

这复制、粘贴得我的手都有点酸了。

加拿大的命题人好实在啊......


数论题尽管在排行版上被放到了第7的位置,一共才16道题,将真题选择范围限定在9-12这些大题上面进行分析后我们发现,数论往往以大难题的形式出现,16道题有9道是第三部分的难题,其中有8道作为压轴部分的第11题和第12题出现,例如:

2005年的第11题;

2009年的第12题;

2010年的第12题;

2013年的第11题;

2015年的第11题;

2016年的第11题;

2017年的第12题;

2017年的第9题;

2018年的第12题;

......


依照数据分析报告的惯例,我们还是通过例题的形式看看COMC里面到底有些什么货吧。


二、可爱的圆


见多了中国数学竞赛题里面关于圆的诸多难题,一直感叹北美数学竞赛里面平面几何题目的深度实在不够。

COMC的数据分析报告,终于让可爱的圆挽回了一些面子。

先来看看COMC 2012年的倒数第2道大题(第11题):

原题翻译如下:平行四边形ABCD中, AC为对角线,三角形ABC的内切圆与AC相切于P.

(a)求证:DA+AP=DC+CP;

(b)连接DP,设三角形ADP和三角形DPC的内切圆的半径分别为r1和r2,求证:r1/r2=AP/PC;

(c)假设DA+DC=3AC并且DA=DP,r1和r2仍然是(b)中的半径,试求:r1/r2;


此题主要考察圆的切线长定理和应用方程解题的能力。

应用圆的切线长定理,直接看下图就得到(a)的证明了:

根据平行四边形边长关系:

红1号折线长度=红2号折线长度

由圆的切线长定理,粉3号=粉4号;

于是1号-3号=2号-4号,即蓝5号=绿8号;

而绿7号=绿8号,蓝5号=蓝6号;

所以绿7号=蓝6号;

(a)证毕。


再来看(b),用面积法立即得解:

三角形ADP和三角形DPC等高,因此面积之比等于底边之比AP/PC;

而三角形面积=内切圆半径*三角形周长/2;

而由(a),三角形ADP和三角形DPC的周长是相等的;

因此面积之比正好等于半径之比r1/r2;

从而得到r1/r2=AP/PC,证毕。

对于面积法不太理解的读者请看下图,符号[ADP]表示三角形ADP的面积:


再来看(c),这是一道利用勾股定理构造等量关系创建方程解题的典型例子。

根据下图分三步来利用已知条件:

(一)根据条件DA=AP,易知DAP是等腰三角形,根据对称性,连接切点M与D得到DM垂直于AC,并且AM=MP;

(二)再利用条件DA+DC=3AC。

因为目标r1/r2=AP/PC,所以我们假定AP=x,PC=y;

则DA+DC=3x+3y;

故整个蓝色三角形ADC的周长就是4x+4y;

由(a)的结论:

DA+AP=DC+CP

=蓝色三角形ADC周长的一半

=(4x+4y)/2=2x+2y;

于是AD=x+2y,DC=2x+y;

(三)通过勾股定理找到x和y的等量关系:

DM^2=AD^2-AM^2=DC^2-CM^2;

即:

( 2x+y)^2-(x/2+y)^2

=(x+2y)^2-(x/2)^2

化简后得到:3x^2-xy-4y^2=0

分解因式后得到:(3x-4y)(x+y)=0

x,y都为长度,不能为0,必有3x=4y;

即r1/r2=x/y=4/3.


至此,10分大题轻轻松松全部搞定,读者是不是觉得不够过瘾,COMC也不过如此?


三、迷人的数论


数论,数字的理论,以她独特的迷人魅力吸引了无数数学家前赴后继地钻研着,自然也成为COMC的热门出题方向。

我们来看看2015年的倒数第2道大题(第11题)

此题是一道纯粹的数论题。

原题翻译如下:

(a)如果n=3,找出所有的m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除;

(b)证明对于任意的整数n,总有至少一个整数m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除;

(c)证明对于任意的整数n,只存在有限个整数m使得m^2+n^2+1可以被m-n+1和m+n+1整除;


熟悉数论整除性法则和因式分解的同学都不难解出此题。

先看(a),把n=3代入原式:

m-2|m^2+10 和 m+4|m^2+10

( 为描述简单,启用符号“|”,是数论符号,表示能够整除,下同)

而m^2+10=(m-2)(m+2)+14

于是m-2|14

即m-2必为14的因数

于是m=-12,-5,0,1,3,4,9,16;


现在的m的范围还有点大,一般数论题可以多测试几个案例缩小范围,所以我们可以再尝试一下:

m^2+10=(m+4)(m-4)+26

基于同样的原理:m+4|26

我们得到:

m=-30,-17,-6,-5,-3,-2,9,22


两个案例的交集是m=-5或m=9;

经验证符号条件。


(b)此题考察考生因式分解的经验,熟悉平方差公式的同学容易给出:

(n^2+n+1)(n^2-n+1)

=((n^2+1)+n)((n^2+1)-n)

=(n^2+1)^2-n^2

=n^4+n^2+1

=(n^2)^2+n^2+1

即如果m=n^2,总有:

m+n-1|m^2+n+1 和 m+n+1|m^2+n+1


(c)仍然是因式分解,不过这里有点技巧,需要把变量m吸入到因式乘积中,让剩下的项与m无关,这样m的范围就被n夹住了:

m^2+n^2+1

=(m+(n-1))(m-(n-1))+(n-1)^2+n^2+1

=(m+(n-1))(m-(n-1))+2(n^2-n+1)

因为:m-(n-1)|m^2+n^2+1

所以:m-(n-1)|2(n^2-n+1)

而对于固定的n,2(n^2-n+1)的因数个数是有限的,所以m的个数是有限的。

证毕。


四、将现实照进数学的方程


如我们在欧几里得历年真题数据分析报告里面提到的一样,利用方程解题是最强大的数学工具之一,这一点在COMC中再次得到了充分体现。

现实世界是杂乱无序的,当其演变成一个一个的数学题展现在孩子们面前时,题目里面的数量关系也是紊乱的。如何将题目中混乱的关系捋顺,变成数学世界可以描述和沟通的语言,进而用数学语言解答问题,是考察数学能力的一个重要手段,方程就是这个环节中最好的桥梁。

我们来看看COMC 2017年的第6题:

题目翻译如下:

房间里面有20个人,a个男人和b个女人。每两个男人之间握一次手,每两个女人之间握一次手,男人和女人之间不握手。总握手次数是106次。请求ab。

此题将方程和排列组合进行了结合。之所以点出这道题,是因为类似题目在北美竞赛中比较多见,最近结束的2019袋鼠数学竞赛7-8年级的第27题基本上与此题出处一致。限于篇幅,本文此处不做引用了,感兴趣的朋友可以查阅对比一下。


回到此题的解答,我们很容易得到两个方程:

a+b=20  (1)

2Ca+2Cb=a(a-1)/2+b(b-1)/2=106 (2)

整理(2)后得到:

a^2+b^2=212+(a+b)=232 (3)

( a+b 用(1)中的20代入 )

采用消元法,得到b=20-a,代入到(3),整理得到关于a的方程:

2(a^2-20a+84)=0

分解因式得到:

2(a-14)(a-6)=0

于是得到(a,b)=(14,6) 或 (a,b)=(6,14)。

答案为:6X14=84。


可以帮助构建方程的知识点很多,排列数、组合数、面积法、勾股定理......限于篇幅,本文不在赘述,我们在后续数据分析报告中继续举例说明。


五、总结


看完几个例题的分析,相信你对COMC的难度和出题范围有了一个基本的了解。

为了选出加拿大的国手,同时又希望能够让更多对数学感兴趣的孩子参与进来,COMC在题目难度的选择上兼顾了这两点,第一部分的题目有的很简单,有一些送分题。拉开分数的题目集中在第11题和第12题,尤其是最后一道题,需要考生具备很强的数学分析和逻辑推理能力。

经常有家长问我,COMC从几年级开始准备比较好。查阅了一下历年的获奖者名单,发现有5年级的同学已经赫然在列了,看来勤奋者正在和时间赛跑。从这个角度上说,如果孩子在数学方面有比较明显的优势,或者希望孩子能够往竞赛道路上发展,应该是越早准备越好,当然需要结合孩子自身发展特点来选择

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往期数据分析报告原创文章链接:


滑铁卢欧几里得数学竞赛(12年级)历年真题数据分析报告


美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告


AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告


滑铁卢高斯数学竞赛(7&8年级)历年真题数据分析报告


UBC Elmacon数学竞赛历年真题数据分析报告



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