如何理解微积分化解学习压力

最近有家长告诉我,孩子学习AP微积分觉得压力山大。

我了解情况以后发现,孩子们觉得微积分难学的主要原因其实是没有理解微积分是用来干什么的,当然还有一些孩子是因为基础没过关造成了理解上的困难。

于是就有了下面这篇文章,分享给大家,希望帮助孩子们更好地理解微积分,化解学习压力。

要理解微积分,有必要谈谈微积分产生的背景,我们先从圆周率π谈起吧。

 

一、π的历史——理解微积分的经典

 

我们都知道圆的周长和直径之比就是圆周率π,π介于3.1415926和3.1415927之间。

 

 

那么这个π是如何计算得来的呢?

下面简单回顾一下π产生的历史:

约公元前1900年至1600年的一块古巴比伦石匾上,采用内接正方形的方式,记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。

 

古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。他先用内接正六边形求出圆周率的下界为3,再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。

 

 

接着,他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍,将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形,再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。

 

 

 

他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍,直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后,他得出3.141851 为圆周率的近似值。

 

 

这种方法随后被2位中国古代数学家发扬光大。

公元263年,中国数学家刘徽用“割圆术”,求出3072边形的周长,得到令自己满意的圆周率≈3.1416。

 

南北朝时期的数学家祖冲之得到3.1415926<π<3.1415927的精确值,在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的!

祖冲之是通过求出圆内接正12288边形和正24576边形的周长得到的

 

 

 

 

法国数学家韦达(1540-1603年)开创了一个用无穷级数去计算π值的崭新方向。

1706年,英国数学家梅钦率先将π值突破百位。

1948年英国的弗格森(D. F. Ferguson)和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。

1949年,美国人赖脱威逊利用ENIAC计算机花了70个小时把π算到2034位,一下子就突破了千位大关。

1955年,一台快速计算机在33个小时内把π算到10017位,首次突破万位。

1973年,Jean Guilloud和Martin Bouyer用电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。

2011年10月16日,日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位;

......

在π的计算方法中,大家可以看到微积分产生的第一个概念:

 

用折线逼近曲线,通过计算折线的长度获得曲线的近似长度。

 

曲线的长度不好计算,而折线的长度好计算,如果折线与曲线足够接近的话,可以认为折线的长度就是曲线的长度!

说到足够接近,多少才算足够呢?

 

从古巴比伦时期的正4边形

到阿基米德的正5边形

6边形

12边形

96边形

再到刘徽的3072边形

再到祖冲之的正12288边形

24576边形

再到无穷级数

......

 

折线段越多,意味着越接近最终的圆,意味着圆周率的精度越高。

可是这玩意什么时候是个头呢?

这个头就是微积分的第二个概念——

 

二、极限——微积分的启蒙

 

我们说这个头就是极限,这个最后的极限就是圆周率π。

我们无法用一个准确的小数把它表示出来,但是我们知道:

当我们的正多边形的边越来越多的时候,这个正多边形的周长会无限接近真实的圆周率π。

到底如何说明无限接近呢?

在数学上,我们只能用数字来进行刻画:

无论你找到一个多么小的数,我们都可以找到一个边数足够多的正多边形,让这个正多边形的周长和π的偏差小于你给的这个数。

这就是对极限概念最基本的理解。

在数学上极限往往与函数图像的连续性关联起来进行讲解,我们再来看一个例子。

构想一个画面:

 

 

如图所示,4.00时刻的画面由于缓冲跳过了。我们无法得知这个时刻球的位置,但是我们可以作出一个估计:

 

4.00时刻球在3:59和4:01球的位置之间的某个位置上。

 

由于现实世界中球的轨迹是连续的,所以这是一个很不错的估计。

但是!如果在3:59.001时球突然被外星人以极快的速度吸走,在3:59.998时按照原来的速度和方向放回来,那么我们的估计就不正确了(尽管这不太可能发生,但是必须考虑)。

那么,如果我们把镜头放慢,慢到看得清外星人的存在,我们把外星人出现的“3:59.001和3:59.998"的位置去掉,那么我们可以重新做一个更准确的估计:估计球4:00的位置为“3:59.999和4:00.001的位置之间”。

可以感性地得知,在本例中,当这个缩放级别越小时,我们便越有信心估计球的位置(如果在某个级别中发现球的位置发生了意外的变化,那么就很有可能要推翻前面的估计,需要进一步缩小级别来确定球的位置)。

理解了上面的例子后,我们来看一看官方对极限的定义:

lim(x->c)  f(x) = L

means for all real ε > 0 there exists a real δ > 0 such that for all x with 0 < |x − c| < δ, we have |f(x) − L| < ε (对于所有ε>0,存在一个δ > 0,使得对于所有x满足0 < |x − c| < δ,都有|f(x) − L| < ε)

也就是说,如果这个估计是正确的(或者说无限有信心的),那么对于一个任意小误差范围ε,总可以找出一个缩放级别δ,令所有与c距离小于δ的x(0 < |x − c| < δ),都满足f(x)的值和L之间的距离在误差范围ε内。

极限存在的必要条件是“对于任意小的误差范围总可以找到相应的缩放级别”,这个条件保证了不会漏掉“中途被外星人吸走又放回去”的情况。

有了极限的概念,我们就可以进入下一章节啦!

 

三、微分和导数的本质是变化率

 

微积分的发明人之一是牛顿,牛顿主要还是研究物理为主,微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具(大师就是厉害)。

因为牛顿研究物理的缘故,所以牛顿用变化率的方式引入了导数(牛顿称之为“流数”)。

在物理里面变化率还是很自然的概念,比如为了求平均速度:

如果我们把时间跨度取得更小一点,就可以得到瞬时速度:

这个瞬时速度实际上就是变化率

这个变化率其实也是该点切线的斜率

在前面我们提到了微积分的基本思想是“以直代曲”:

“以直代曲”的意思就是,切线可以在切点附近很好的近似曲线:

下面这幅图说明,如果在曲线上多选几个点,都作出附近的切线,我们可以透过切线看到曲线的轮廓:

导数就是为了完成“以直代曲”这个任务的数学工具

有了导数,于是微分里面的dy、dx等概念就应运而生了

用极限概念表示x点的切线就是:

 

用图来表示这个求极限的过程就是

好,微积分的微分概念我们说完了,下面再来看看积分

 

四、积分的本质是面积

 

积分是微分的逆运算。

先来看图,下面是一个一次函数 y=-x+4:

我们的目标是求蓝色区域的面积。

这个学过三角形面积的同学都会,底X高/2=4X4/2=8。

我们也可以用一种更加通用的方法来求蓝色区域的面积,可以做如下切分:

我们说这个蓝色区域的面积其实就是所有这些红色长方形的面积之和。

虽然目前看起来所有红色长方形的面积之和与真实的三角形还有些偏差,但是如果我们的切分足够细的话,套用前面的极限概念,所有红色长方形的面积之和的极限就是真实的三角形面积,而且可以用这个方法去逼近任意曲线,像这样:

好了,那么如何求出这些红色长方形的面积之和呢?

用微积分的观点来看,就是要求:

学过微分(导数)以后,我们知道,如果一个函数的导数是-x+4,那么这个函数就是-x^2/2+4x+C,即:

请看下图的计算方法

根据上图,如果我们把所有红色长方形的面积加起来,根据导数的定义,中间很多相同项都可以抵消掉,最后我们得到:

所有红色长方形的面积之和=f(4)-f(0)=8.

上述计算方法可以应用到任意曲线下面面积的计算,这就是微积分思想最强大的地方!

理论上说起来,如果你能够看到这里,微积分概念的基本架构在你的脑子里面已经初步形成了,接下来要做的事情就是按照如下架构图往里面塞不同的内容了。

 

五、微积分学习的架构图

 

下面是部分微积分学习内容的思维导图,请大家可取所需。

1.极限与连续

2.导数的概念及求导法则

3.函数的微分及函数的线性逼近

4.定积分

5.不定积分的概念和性质

6.微积分预备知识

要学好微积分,需要有一定的数学基础知识,包括集合、映射、函数概念和特性、幂函数、指数函数、对数函数、自然对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数等。

限于篇幅,此部分内容太多无法在此文中一一列出,仅画出三角函数的恒等变换公式,就有下面这张大图:

其他更多微积分高级章节本文不再赘述,需要的朋友可以单独和我们联系。

 

六、微积分为什么如此重要?

 

微积分最重要的思想就是"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,对每一小块都可以当成常量处理,所有小块最终加起来就可以得到全部。

在微积分里,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。

这一数学思想正在影响着科学研究的方方面面,与实际应用相结合并逐步发展,它在人工智能、天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学、应用科学等多个领域中,都有着越来越广泛的应用。

 

计算机技术的日新月异正在加速这些应用的高速发展。

在人工智能时代,微积分作为人工智能技术三大数学支柱之一,在机器学习模型训练过程中,其作用主要表现在两个方面:

1.在神经网络的期望值和实际值差值函数中找到梯度计算的快速下降方向,从而使得机器学习的训练模型能够快速收敛,缩短模型的训练时间;

2.反向传播时调节神经网络中各参数的权重;

 

因此希望正在学习微积分的同学们不要吝惜今天付出的时间,多思考,多琢磨,你们将来在职场上获得的回报会感谢今天在微积分学习过程中所做的努力!

但愿本文能够对正在或将要学习微积分的同学有所帮助,我们正在整理AP微积分(AB/BC)的历年真题,会在Rootofmath .com 基础数学题库中分享给大家,需要的同学请及时关注。

 

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