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据已公布消息,2020年IMO(国际数学奥林匹克竞赛)中国国家队名单,6名征战选手全部确定。


其中老牌强校:中国人民大学附属中学、华南师范大学附属中学、南京师范大学附属中学、 浙江乐清知临中学,连续两年都有学生进入IMO国家队。

但今年还有另一值得关注亮点:

时隔10年,中国奥数国家队再次有女选手入选。

而且入选者严彬玮,正是现今中国奥数的新晋“一姐”。

上一次中国奥数国家队类似情况,还要追溯到2010年的华中师大一附中的张敏,她在第51届IMO斩获金牌,后来保送进入北大数院。

完整奥数国家队名单,我们详解如下:

南风盖北风:6人国家队,5人出自南方高中

严彬玮

严彬玮,当前中国奥数当之无愧的“一姐”,来自南京师范大学附属中学,今年高三。

最新的战绩是今年3月参加罗马尼亚数学大师赛,拿下全球第三的成绩。在去年11月底举办的第35届中国奥数竞赛(CMO)中,获得第一名。

严彬玮早在初中就展现出奥数天赋,初三时首次参赛就超过了诸多高中选手。

在去年底作为国家集训队选拔的“第35届中国数学奥林匹克竞赛”中,严彬玮更是以满分成绩斩获第一名,并且率队江苏省代表队获得团体第一名。

而且围绕严彬玮,也有成绩之外的讨论展开,因为她正在为诸多女生学习数理化正名且树立榜样。

男生和女生学习数理化究竟大脑机制是否有差别,是全球范围内都喜欢谈论的话题。

但有严彬玮这样的实力,可以说明很多问题。

依嘉

依嘉,来自人大附中,今年高二。是去年IMO金牌选手邓明扬的同班同学。

在2019年的CMO中,依嘉以108分的成绩获得全国第二名,进入国家集训队。

依嘉是本次唯一来自北方(北京)高中的国家队队员。

人大附中作为北京奥数届的扛把子,历史荣誉和金牌成绩也一直名列全国前茅。

2019年CMO比赛中,人大附中就以9块金牌的成绩位列全国第一,而依嘉则是其中表现最好最稳定的选手。

并且提到人大附中,还得提一下他们拥有的另一位数学物理双料国家集训队选手孙睿,他此次选择了代表国家奥林匹克物理国家队出战。

此外,人大附中也是后浪汹涌,2019年进入国家奥数集训队的郑云兮、刘陌溪、陈誉霄,来自高一,郑和陈更是只有14岁,而他们的学弟廖昱博,更是以13岁的年龄斩获全国金牌。

人大附中,真是英才辈出。

李金珉

李金珉,来自重庆市巴蜀中学校。在2019年CMO竞赛中,巴蜀中学校一共拿下了7枚金牌,与成都七中并列第四。

而李金珉作为全国第三名,也是重庆学生在中国奥林匹克数学竞赛中的最高排名。

清北之间,李金珉选择了在数学方面底蕴深厚的北大。

根据中国网报道,他已经获得了北京大学数学英才班认定,这个历来只从高二学生中选拔人才的班级,也是北大全球顶尖的数学力量储备军。

今年与他一同被认定的的,巴蜀中学校还有两位,分别是陈轶钊、张书齐。

这一届,全国一共有43人得到了北京大学数学英才班入围资格,均为CMO获奖选手。

但入围并不一定被录取。据悉,北大数学英才班,最后只选拔不超过30人。

饶睿

饶睿,来自华南师范大学附属中学,高二。

2019年,他就和同学胡苏麟、刘明扬一起入选了第34届CMO国家集训队,并获北大保送资格。

去年11月,他再次参加CMO刷新了自己的成绩——全国第四,这也是奥赛强省广东最好的成绩。

2019年35届CMO,广东省一共拿下了14枚金牌,与湖北并列第一。华南师范大学附属中学和深圳中学是其中主力。

前者是广东老牌强校,一直在为国家数学竞赛输送人才。

而深圳中学,是近年来的后起之秀,凭借着高薪招聘清华北大博士、硕士毕业生的动向,一再出现在人们的视野中。

从CMO的结果(6人获得了金牌,3人入选最后国家集训队)来看,它的投入显然得到了回报。

韩新淼

韩新淼,来自浙江乐清市知临中学,今年高三。他高一就开始参加中国数学奥林匹克竞赛,并拿到了全国第二的成绩。此后连续3年入选国家集训队。

2019年,他在第35届CMO中排名第五。据温州商报报道,韩新淼已被清华大学预录取。

乐清市知临中学虽然是一所民办县级中学,在竞赛方面,却能与杭州二中、学军中学、镇海中学这些老牌名校一较高下。

从左至右:谢柏庭、韩新淼、潘至璇、卓景彬,图片来自《乐清日报》

2018年CMO,知临中学就有4名选手拿下金牌,入选国家集训队。其中,潘至璇斩获2018年CMO全国第一名,谢柏庭最终入选国家队,在IMO赛场上摘下一枚金牌。

梁敬勋

梁敬勋就读于杭州学军中学,高三。2019年,他在第35届CMO竞赛中排名第六,并在今年3月份举办的罗马尼亚数学大师赛上斩获金牌。

在2017年考入学军中学之后,梁敬勋就展现出了数学天赋,高一就拿下了全国高中数学联赛二等奖。

2018年举办的34届CMO上,高二的梁敬勋拿下金牌,并进入国家集训队,并被保送到姚班。

杭州学军中学建于1956年,同样是浙江的竞赛强校,近年来在各科奥数竞赛上频频出现。

在数学方面,虽然每年的CMO,其都有学生斩获金牌,进入国家集训队,但近年来鲜有选手进入国家队。

所以这次梁敬勋的入围,杭州的《都市快报》称为杭州近年来最好的成绩。

梁敬勋,图片来自浙江《都市快报》。

特殊的国家队选拔方式

按照往年的选拔流程,参加IMO的国家队队员,从2020年数学奥赛集训队中选拔,但需要经过一次集中考试,来确定名单。

但今年变了。

根据一份中国数学会数学竞赛委员会及全国中学生数学竞赛工作组发布的通知,因为新冠肺炎疫情的影响,这一选拔考试一直无法举办。

随着上报IMO参赛队员名单的截止日期的临近,中国数学会常务理事会研究决定,这一届的国家队队员通过2019年中国数学奥林匹克(冬令营)的成绩选拔组成。

也就是说,从第一名由高到低依次选取前6名为国家队队员。

小插曲是,今年有两个第六名。

来自杭州学军中学的梁敬勋和深圳中学的温凯越成绩并列。

为此,他们之间还专门进行了一场持续420分钟的加赛。

最后,梁敬勋同学在这场考试中更胜一筹,拿下国家队名额。

“前任”压力大,去年IMO中国队全部金牌

虽然今年阵容强大,但压力也不小。

主要来自他们的“前任”,上一届IMO中国代表队。

在去年举办的第60届IMO中,中国队六名选手全部获得了金牌,他们分别是:

  • 邓明扬(参加时高一,中国人民大学附属中学);

  • 胡苏麟(参加时高二,华南师范大学附属中学);

  • 袁祉祯(参加时高二,武钢三中,被保送清华姚班);

  • 俞然枫(参加时高二,南京师范大学附属中学);

  • 黄嘉俊(参加时高一,上海中学);

  • 谢柏庭(参加时高三,浙江乐清知临中学,已经被清华录取)。

其中袁祉祯和谢柏庭获得满分,中国队总分227分,与美国队并列团体第一——过去5年中首次获得冠军。

所以在去年成绩面前,中国今年IMO代表队压力也不小。但纪录和荣誉,向来就是被刷新的。

今年的第61届IMO竞赛将于9月21日-9月22日进行,会采用网络参赛的方式。

注:本文摘自网络

数学资讯

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3.上完课以后点对应课程的"布置作业"按钮,系统会自动弹出能够获得的学生ID和作业ID信息,请注意学生ID的顺序和学生窗口里面学生名称的顺序是一致的,如果不需要给相关同学布置作业,把他的ID从学生ID框里去掉就可以了。系统一般在布置作业的时候扣除课时,请根据情况选择对应按钮进行作业的布置;

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如下步骤请独立创建作业的老师参考,使用现有成型课件的老师请忽略如下步骤。


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7.接下来你可以从库管理->试卷管理->试卷列表下面通过搜索找到你需要选择练习题的试卷,找到后点击最右边的"题目"打开它:


8.点击题目打开后你可以看到详细的题目列表,进入后勾选部分或全选你需要的练习题,然后点击"复制到当前练习试卷",系统提示所选练习题已经成功复制到试卷:

9.所有练习题选入到练习试卷后,请通过培训班管理->培训班作业找到刚才的练习试卷,点最右侧一列里面的"题目"链接进去,确认选入的练习题全部正确:



10.后面的步骤与第3步一样,请通过培训班管理->课程列表回到刚才的课程,直接点击"布置作业"按钮布置作业就行啦!


帮助文档

数学中没有捷径

原题 | 数学に王道なし.
作者 | 小平邦彦
译者 | 陈治中
校对 | 胡作玄
译自 | 数学の学ざ方, 岩波书店, 1987 年, pp.77-93。本文来自《数学译林》 

题目是要谈数学的学习方法, 我只想先谈谈笔者自己是怎样学习数学的, 通过回顾来讨论数学的学习方法.

首先, 我在小学生的时候所学习的并不是现在的“算数”, 而是“算术”. 算术大概就是计算术的意思. 学习的内容以计算技术为主, 图形的东西很少. 究竟怎样学习计算技术的, 几乎都忘记了. 但非常记得二年级时每节课就象念经那样背诵乘法九九表. 还记得一件事是计算距离. 当时的度量制以尺、贯、升为基本单位, 6 尺是 1 间, 60 间是 1 町, 36 町是 1 里, 所以它的计算比前些年在现代化之际流行的 2 进制法及 5 进制法要难得多. 我们要反复练习象

这样的计算.

现在的算数中都要教计算的含义. 例如对于分数的除法

为什么我要用 4/5 去除时可以将分子与分母交换而去乘 5/4 呢? 就需要说明它的理由. 我学习算术时就没有这种说明, 只学习这种规则, 即用分数去除时可以将分子与分母交换后去乘, 然后就在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思, 也就记住了. 而所谓明白了它的意思, 也并不是说已经能够说明为什么用分数去除时可以将分子与分母交换后做乘法, 而是指能够非常自如地进行分数的计算及其应用.

中学一年级时学习算术, 从 2 年级到 4 年级学习代数与几何. 对一年级的算术已经亳无记忆. 代数则有 2 次方程的解法、联立 1 次方程式、因式分解, 等等, 因式分解充其量也不过是 4 次式, 代数中还学习了对数的计算与开平方的方法. 所谓开平方法, 说的是如下那样求  的计算法.

当时中学里的有理数为有限小数或循环小数, 但是, 例如,  若按开平方法用小数表示, 就是

永远也开不尽, 是一个非循环而极不规则的无限小数. 故  是无理数, 就是这样子学习的(秋山武太郎:《わかる代数学》11 版, 昭和 57 年, 97 页. 看了这本书, 就明白当时中学的代数大致是什么样的了. ——原注). 笔者按开平方法计算了  等, 看到的不是循环小数, 也就理解了  等的确是无理数.

但是按开平方去求时, 充其量也不过算到小数点后 10 位左右为止. 实际计算一下  看看, 其计算如下所示的那样, 如果没有相当的毅力, 要计算到 15 位或者 20 位是很难的.

当然, 虽然

到小数点后 10 位都不循环, 但也不能说明  就不是循环小数. 尽管如此, 我们仍然确信  作为非循环的无限小数是个无理数. 那么为什么就没有产生这样的疑问, 即如果再往下计算或许就是循环的了呢? 怎么也想不起来了, 但恐怕是因为看到  的开平方法计算, 随着位数的增加而很快变得很复杂的样子, 就领悟到它不会是循环的. 或者是因为相信了教科书上写的  是非循环的无限小数也未可知. 总之, 反复进行对数计算及开平方法那样的计算练习, 对于培养对实数的感觉, 我认为是极其有效的.

谁都知道  是无理数, 但并非人人都知道  是无理数的证明. 数学家中不知道  是无理数的证明的人似乎也不少. 笔者直到不久前也是其中的一个, 在高木先生的《解析概论》中也只有自然对数的底  是无理数的证明, 而没有  是无理数的证明, 尽管如此, 对是无理数仍然坚信不疑, 恐怕是因为从中学时代起就反复听到说  是无理数的缘故.


本讲座中也没有  是无理数的证明. 即使让  是超越数的证明留给专业书籍, 但  是无理数的证明还是希望记录下来, 所以这里给出 I. Niven 的初等证明. (I. Niven: A simple proof that T is irrational, Bull. Amer. Math. Soc, 53(1947), p. 507. 这一证明在高中的微积分范围内可以理解, 在此意义上是初等的——原注)

证明是反证法. 假定  是有理数就产生矛盾, 为表明这一点, 设    是任意的自然数, 令

考虑积分

  时, . 因此, 由于

所以

正如熟知的那样, 对于任意的实数 , 有

(如果固定一个自然数 , 考虑 , 则

——原注)

故对于 , 若取充分大的 , 则

接着, 由分部积分

因此

重复此分部积分, 因为 , 所以得

又因为 , 所以

利用二项式定理展开(1)的右端 , 得

从而

到此为止, 无论  是无理数还是有理数都是成立的. 现设  是有理数:

因为(1)的  是任意的, 所以可设它与  中的分母  相同. 这样一来, 因为

为整数, 由(4),  全是整数, 因此, 由(3)可知 为整数, 与(2)矛盾(证明终).


从中学 2 年级到 4 年级的 3 年内学习的几何是古典的欧几里得平面几何. 近年来, 数学教育的现代化, 欧几里得平面几何已经从数学的中等教育中消失了. 听说其理由之一是因为欧几里得平面几何在逻辑上不严密. 但当时笔者却觉得欧几里得平面几何是极为严密的学问体系. 而且还通过欧几里得平面几何来学习逻辑. 平面几何也许并不严密, 但这里学到的逻辑却是严密的逻辑. 谢天谢地, 后来无论是在高中还是在大学, 在逻辑方面并没有学到任何更新的东西.

在当时中学的欧几里得平面几何中, 由纸上描绘的图形表示所看到的现象这种自然科学味道很强. 如果把在纸上描绘图形作为一个实验, 把证明看作说明该实验结果的理论, 那么平面几何可以认为就是自然科学. 为了说明这一点, 作为例子, 考察下面这个 Simson 逆定理.

定理 由一点    的三边延长线上所作的垂线的垂足  若在一条直线上, 则  位于  的外接圆上.

证明 首先作一图. 引直线 ,  外取又一点 ,  上取三点 , 通过 分别引直线 , 使与直线  垂直. 然后假设    的交点为 ,   的交点为 ,    的交点为 , 则可得到由一点    的三边或其延长线上作的垂线的垂足  位于一条直线上的图 1, 对于图 1 画出  的外接圆一看,  的确位于其外接圆上.

图 1

下面证明  位于  的外接圆上. 由假设, 因为 , 四边形  内接以线段  为直径的圆. 故由圆周角不变的定理

同样因为四边形  内接以线段  为直径的圆, 所以由圆周角不变的定理

看图, 由(1)与(2)可知

故由圆周角不变定理的逆定理, 四点  位于同一圆周上, 亦即  位于  的外接圆上(证明终).

描绘图 1 以确认  位于  的外接圆上, 到此为止是实验, 而说明该实验结果的理论就是证明. 对于图 1, 作为说明  位于  上的理论, 上述的证明是十分严密的.

而当我们把 Simson 的逆定理看作是由公理所构成的平面几何的形式体系中的定理时, 上述证明并不严密. 为什么呢? 因为图 1 表示了 Simson 的逆定理的一种情形, 还有如下图 2 的情形. 因此, 即使对于图 1 证明了 Simson 的逆定理, 也不表示 Simson 的逆定理对一切场合都成立. 要证明 Simson 的逆定理对一切场合都成立, 就要研究所有的情形, 明确会出现什么样的图形, 必须证明 Simson 的逆定理无论对哪种图形都成立. 而对此, 欧几里得平面几何的公理还不充分, 还必须补充序的公理. (小平邦彦: 《几何のおもしろさ》(数学入门丛书7), 岩波书店, 158-164页. ——原注)

图2

这样, 旧制中学的欧几里得平面几何作为由公理构成的数学体系还缺乏严密性. 但尽管如此, 还是把欧几里得平面几何看作极其严密的体系, 这恐怕是因为它作为图形的自然科学是十分严密的. 在学习平面几何时告诉我们重要的是正确描绘图形, 而这与物理实验必须精密是一回事.

欧几里得平面几何中由于没有序的公理, 如果描绘不同的图形进行讨论, 例如就可以证明任意三角形是等腰三角形. 若把它作为欧几里得平面几何的重大缺陷, 笔者认为是非常可笑的. 物理中做错了实验也会得出奇怪的结果, 由于图形的错误而得出来奇怪的结果可以说是很自然的. 假定不管画出什么样的图形都能得出正确的结果, 反倒难以理解.

我还清楚地记得巧妙添加辅助线解决平面几何问题后的快乐, 而具体是什么样的问题, 以及怎么解决的, 已经全然不记得了.


当时中学的代数与几何教科书是从 2 年级到 4 年级各一册. 3 年级时, 曾与同班的西谷真一两人从头开始做教科书上的问题, 不多时间就把 4 年级为止的问题都做完了. 于是就开始了阅读藤原松三郎著的《代数学》. 《代数学》是专业书, 第一卷大约 600 页, 第二卷也有 700 页, 中学的图书室里还有个竹内端三著的《高等微分学》, 但看到高等的就觉得是很难的数学, 也就敬而远之了. 要是知道《高等微分学》是高中用的微分学, 而《代数学》倒是专业书, 那当然就先读《高等微分学》了.

几乎已经记不起来到底是怎么念的, 以及念的是《代数学》的哪一部分, 但还隐约记得费了不少功夫学习开始的整数系的公理结构, 以及接下来的二次剩余互反律, 连分数还比较容易, Galois 理论却怎么也不明白, 等等. 幸好现在又出版了用片假名写的保留原来旧汉字的老版本《代数学》(藤原松三郎: 《代数学》1-2卷, 内田老鹤圃新社. ——原注), 我才得以在浏览该书的同时尽可能地回忆当时是怎样来学习的.

《代数学》的第一章第一节, 首先根据 Peano 公理定义了自然数系:

  • :  包含 1.
  • :  中之数  恒存在唯一后继数, 设为  .
  • : 1 无前驱数.  中除 1 外之数  恒存在唯一之前驱数, 设为.
  • :  由 1 的后继数 , , 组成.

如此定义了自然数系  后, 1 的后继数  称 2, 2 的后继数  称 3, 3 的后继数  称 4, 依次定义 5, 6, .

又由  的公理可以导出数学归纳法原理.

第二节中将  推广到全体整数的系统 , 按数学归纳法证明了, 关于整数的加法与乘法的交换律、结合律、分配律成立. 笔者费了很大的劲才理解这一证明. 与现在的 算数 不同, 算术中交换律与结合律从一开始就明确了, 所以并不是作为运算法则而特别学习的. 其证据就是乘法口诀表只背诵    的情形, 而当  时则是用  替换 后计算, 就是这样学习的. 笔者至今当做

那样的乘法时, 仍不由自主地计算为

本来是作为理所当然的事情而接受的交换律等等, 现在又要按数学归纳法重新加以证明, 所以理解其证明就很不容易. 还要煞费苦心故意装着不知道交换律, 在笔记本上抄下证明.

第二章是有理数域的数论. 记得这里第六节高木先生关于二次剩余互反律的证明很难. 正如熟知的那样, 对于自然数  与整数 , 当满足

的整数  存在时, 称    的二次剩余. 当  为奇数时, 定义 Legendre 记号为: 若  是二次剩余则为 . 若  非二次剩余则为. 这样, 互反律

就成立. 高木先生关于互反律的证明很简明, 现在读起来很明白, 但对于当时是中学生的笔者却很难理解. 为了理解则将其抄在笔记本上, 费了不少功夫, 最终也就记住了证明. 还记得自己也觉得是搞懂了.

第三章是无理数, 第二节是 Cantor 的无理数论, 他是把无理数作为有理数列的极限而引进来的. 第四节是 Dedekind 基于分割的无理数论. 关于 Cantor 的无理数论还隐约有些记忆, 而对于 Dedekind 的分割已毫无记忆了, 大概是因为不懂就跳了过去.

第四章连分数很明白, 记得还很有意思. 特别留下印象的是如下定理, 即实数是二次无理数的充分必要条件是其连分数展开为循环连分数.

其次留有记忆的是第七章行列式的定义

中置换

的符号的意思怎么也不明白. 最终是明白了, 但怎么搞懂的已经全然记不得了.

接下来还记得第十一章的 Galois 理论怎么也弄不明白. 章末的诸定理中还有 Loewy 的 Galois 理论. 因在高中(旧制)一年级时详细学习了 Loewy 的 Galois 理论, 笔记本还留着, 所以大概是进高中以后才念的 Galois 理论.

得益于在《代数学》中的苦心钻研, 后来无论是在高中还是大学, 数学方面没有费多大的劲就过去了. 无论是在课堂上还是自己读书, 只要仔细抄写在笔记本上也就明白了.

大学一年级时听了高木先生的解析概论课. 在练习中有这样的问题, 在区域  中, 若  是无理数, 则 ; 若  是有理数( 为既约分数且 )则定义为  的函数 其连续性如何呢? 如所周知, 若  是有理数, 则   处不连续; 若  是无理数, 则在  处连续. 关于这一点, 还记得稍稍改变了 的定义, 即假设当  是无理数时 , 当  是有理数时 . 那么若 有理数, 则    处不连续; 若  是无理数, 则在  处连续, 进而还注意到, 若  是二次无理数, 则在  处可微分. 从这时候起就开始考虑定理的其他证明, 或者将问题改变一下看看.

以上叙述了笔者是怎么学习数学的, 但回过头来看看, 首先注意到数学的理解方法有多种多样.