美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

美国数学竞赛8年级1985-2017共33年的所有真题标注完了。

回想一遍看过的题目,我只想说:

数学基础!

解题速度!

重要啦!!!


先看数据分析报告:


看到这份报告,阅读过智能未来数学发布的滑铁卢高斯数学竞赛、Elmacon数学竞赛等数据分析报告的朋友们一定会发现,这份排行榜似曾相识。

排在第一名的仍然是面积,106道真题如果均匀分布到33套试卷里面,每套试卷都有3道面积题。而且根据抽屉原理(Pigeonhole Principle),至少有一套试卷里面有4道以上的面积题

难道是AMC在模仿?

其实不是,AMC才是北美数学竞赛的鼻祖呢!

AMC 8从1985年开始的。最早的AHSME ( American High School Mathematics Examination ) 从1950年就开始了,2000年的时候换成了AMC 12。

加拿大滑铁卢系列数学竞赛是从1998年开始的,而加拿大UBC Elmacon数学竞赛是2003年才开始的。

从北美数学竞赛历史看,或许Waterloo 和Elmacon为了与美国数学竞赛AMC接轨,有可能模仿了AMC的数学竞赛考试大纲

AMC 8的题目都不算太难,大题的难度有的还不及滑铁卢高斯数学竞赛的最后5道题,在题量一样(都是25道选择题)的情况下,AMC 8的考试时间(40分钟)比滑铁卢高斯数学竞赛(60分钟)少20分钟。

由此看来AMC 8比的是做题速度和数学知识的熟练程度。

下面我们根据排名顺序过一下知识点。


第一名 

Area(面积)


这是2007年AMC 8的23题,在当年算是一道难题:


题目信息很简单:求 5X5 格子里面阴影部分的面积?

此题如果循规蹈矩,采用正面思维,直接思考阴影部分如何划分成多个三角形后再求面积,要得出结果是比较困难的,因为三角形的底不好计算。

一种思路是添加辅助线,将中间的交叉点与四角顶点连接,可以用8个1X5/2的三角形面积减去四角的四个正方形面积,得到阴影部分的面积:

S=8*(1/2*1*5/2)-4

=10-4

=6。

更快的思路是思考问题的反面:先计算空白部分的面积,然后用总面积减去空白部分面积得到阴影部分面积。而空白部分的面积等于4个3X5/2的三角形加上四角面积为1的正方形,所以阴影部分面积:

S=5X5-4-4*1/2*3*5/2

=6。

答案选B。

通过此题大家可以看到变换解题思路对于提高解题速度的重要性。

再看一道更难一点的面积题,这是2017年AMC 8的压轴题:

题目翻译如下:上图中US和UT的长度为2,∠SUT=60度,弧度TR和弧度SR都是边长为2的圆的六分之一周,求UTRS围住的面积。

这道题故意卖了一个关子,把最关键的正三角形的一部分隐藏起来了,对于不会做辅助线解几何题的同学们来说确实有点困难。

事实上,只要加上辅助线,熟悉几何图形面积的同学很快就可以给出答案:

因为边长为a的正三角形的面积为:

因此三角形的面积为:

而两个六分之一圆相加以后正好是三分之一圆,因此面积为:

立即得到本题的答案为B:


第二名 

Percentage(百分数)


需要指出的是在AMC 8中,充斥了大量的百分数与表格、图形相结合的题目,在真题数量上仅次于几何面积题。这反映了AMC 8与日常应用、未来职场数据分析的需求还是结合得比较好的。

例如2006年的第8题:

题目翻译如下:下表是KAMC电台的收听调查表,请根据此表计算出百分之多少男生收听了广播

本题为送分题,只要理解题目后做两个减法一个除法,再换成百分数即可,关键还是计算速度。

整个算式如下:

(136-58)/ (200-96)

=78/104

=75%

答案选E。


    

第三名 

Fractions(分数)


AMC 8里面的分数题包括分数基本运算、分数与小数的互换、近似值估计、指数、排序、快速计算、数论、应用题等等,一样对考生的运算速度和基础知识的熟练程度要求比较高。

例如我们来看一道分数与简单数论结合的题目,这是1998年的第十题:


题目原文翻译如下:W,X,Y,Z代表集合{1,2,3,4}里面的四个不同的数,但顺序不一定对应,如果W/X-Y/Z=1,那么W+Y=?

这道题如果不借助一点数论知识,直接去凑的话,还是需要一点时间的。

事实上,因为等式右边为整数,X,Z不同,如果X,Z为{3,4}里面的任意一个数,最后等式左边的运算结果会是一个分数。等式左边为分数,右边为整数1,这是不可能的。

因此X,Z只能从{1,2}里面取,从而W,Y只能从{3,4}里面取。

于是W+Y=7,答案为E。

如果需要验算结果的话,不难得出3/1-4/2=1满足题目要求。


第四名 

Probability(概率)


如AMC 10、滑铁卢、Elmacon等比赛一样,概率计算问题也是AMC 8的热点。

不过AMC 8的概率问题普遍不难,只要掌握了概率运算的基本方法就可以快速搞定。

例如1987年最后一道压轴题:

题目翻译如下:瓶子里面有编过1-10号的10个球,Jack同学随机的取出一个球,然后Jill同学再随机的取出另外一个球。两个同学取出的球号加起来是偶数的概率是多少?

此题只要按照分步概率的计算方法,画出Tree Diagram,很容易得出:

偶数+偶数的概率为5/10*4/9=4/9的一半;

奇数+奇数的概率为5/10*4/9=4/9的一半;

两个4/9的一半加起来,就是4/9,因此答案选A。


AMC 8里面的Ratio(比率)题,有一部分与Area(面积)结合出题。

而Maximum and minimun(最大和最小)类型的题目,与数的排序、逻辑比较、应用的边界条件等关联比较多,限于篇幅,本文不再一一举例。


总    结


AMC 8作为北美初中生的数学竞赛,题目不难,但是对于计算速度和知识熟练程度要求较高。

整个比赛一共40分钟,25道题,每道题平均1.6分钟,如果抛去题目阅读理解的时间,每道题的答题时间少于1分钟。要想在这么短的时间内做出正确答案,考生平时有意识地加强心算能力的培养是必要的。

将数学的各种知识点关联起来学习,看到题目背景知识的全貌而不是仅仅局限于一个点,对于提高知识的熟练程度是大有裨益的。

今年的AMC 8将于2018年11月13日举行,欢迎大家报名智能未来数学针对11月份的竞赛开设的AMC 8强化冲刺班,请感兴趣的朋友关注我们的公众号,进入公众号以后选择右下角的“北美竞赛群”->"入群二维码"扫码入群报名。

本文为智能未来数学原创,文中所有数据均来自Rootofmath.com,由智能未来数学独家分析和整理,欢迎转发,转载请注明出处。


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