美国数学竞赛8年级1985-2017共33年的所有真题标注完了。

回想一遍看过的题目，我只想说：

数学基础！

解题速度！

太重要啦！！！

先看数据分析报告：

看到这份报告，阅读过智能未来数学发布的滑铁卢高斯数学竞赛、Elmacon数学竞赛等数据分析报告的朋友们一定会发现，这份排行榜似曾相识。

排在第一名的仍然是面积，106道真题如果均匀分布到33套试卷里面，每套试卷都有3道面积题。而且根据抽屉原理（Pigeonhole Principle），至少有一套试卷里面有4道以上的面积题

难道是AMC在模仿？

其实不是，AMC才是北美数学竞赛的鼻祖呢！

AMC 8从1985年开始的。最早的AHSME ( American High School Mathematics Examination ) 从1950年就开始了，2000年的时候换成了AMC 12。

加拿大滑铁卢系列数学竞赛是从1998年开始的，而加拿大UBC Elmacon数学竞赛是2003年才开始的。

从北美数学竞赛历史看，或许Waterloo 和Elmacon为了与美国数学竞赛AMC接轨，有可能模仿了AMC的数学竞赛考试大纲

AMC 8的题目都不算太难，大题的难度有的还不及滑铁卢高斯数学竞赛的最后5道题，在题量一样（都是25道选择题）的情况下，AMC 8的考试时间（40分钟）比滑铁卢高斯数学竞赛（60分钟）少20分钟。

由此看来AMC 8比的是做题速度和数学知识的熟练程度。

下面我们根据排名顺序过一下知识点。

第一名 

Area(面积)

这是2007年AMC 8的23题，在当年算是一道难题：

题目信息很简单：求 5X5 格子里面阴影部分的面积？

此题如果循规蹈矩，采用正面思维，直接思考阴影部分如何划分成多个三角形后再求面积，要得出结果是比较困难的，因为三角形的底不好计算。

一种思路是添加辅助线，将中间的交叉点与四角顶点连接，可以用8个1X5/2的三角形面积减去四角的四个正方形面积，得到阴影部分的面积：

S=8*(1/2*1*5/2)-4

=10-4

=6。

更快的思路是思考问题的反面:先计算空白部分的面积，然后用总面积减去空白部分面积得到阴影部分面积。而空白部分的面积等于4个3X5/2的三角形加上四角面积为1的正方形，所以阴影部分面积：

S=5X5-4-4*1/2*3*5/2

=6。

答案选B。

通过此题大家可以看到变换解题思路对于提高解题速度的重要性。

再看一道更难一点的面积题，这是2017年AMC 8的压轴题：

题目翻译如下：上图中US和UT的长度为2，∠SUT=60度，弧度TR和弧度SR都是边长为2的圆的六分之一圆周,求UTRS围住的面积。

这道题故意卖了一个关子，把最关键的正三角形的一部分隐藏起来了，对于不会做辅助线解几何题的同学们来说确实有点困难。

事实上，只要加上辅助线，熟悉几何图形面积的同学很快就可以给出答案：

因为边长为a的正三角形的面积为：

因此三角形的面积为：

而两个六分之一圆相加以后正好是三分之一圆，因此面积为：

立即得到本题的答案为B：

第二名 

Percentage(百分数)

需要指出的是在AMC 8中，充斥了大量的百分数与表格、图形相结合的题目，在真题数量上仅次于几何面积题。这反映了AMC 8与日常应用、未来职场数据分析的需求还是结合得比较好的。

例如2006年的第8题：

题目翻译如下：下表是KAMC电台的收听调查表，请根据此表计算出百分之多少的男生收听了广播？

本题为送分题，只要理解题目后做两个减法一个除法，再换成百分数即可，关键还是计算速度。

整个算式如下：

（136-58）/ (200-96)

=78/104

=75%

答案选E。

第三名 

Fractions(分数)

AMC 8里面的分数题包括分数基本运算、分数与小数的互换、近似值估计、指数、排序、快速计算、数论、应用题等等，一样对考生的运算速度和基础知识的熟练程度要求比较高。

例如我们来看一道分数与简单数论结合的题目，这是1998年的第十题：

题目原文翻译如下：W,X,Y,Z代表集合{1,2,3,4}里面的四个不同的数，但顺序不一定对应，如果W/X-Y/Z=1,那么W+Y=？

这道题如果不借助一点数论知识，直接去凑的话，还是需要一点时间的。

事实上，因为等式右边为整数，而X,Z不同，如果X,Z为{3,4}里面的任意一个数，最后等式左边的运算结果会是一个分数。等式左边为分数，右边为整数1，这是不可能的。

因此X,Z只能从{1,2}里面取，从而W,Y只能从{3,4}里面取。

于是W+Y=7，答案为E。

如果需要验算结果的话，不难得出3/1-4/2=1满足题目要求。

第四名 

Probability(概率)

如AMC 10、滑铁卢、Elmacon等比赛一样，概率计算问题也是AMC 8的热点。

不过AMC 8的概率问题普遍不难，只要掌握了概率运算的基本方法就可以快速搞定。

例如1987年最后一道压轴题：

题目翻译如下：瓶子里面有编过1-10号的10个球，Jack同学随机的取出一个球，然后Jill同学再随机的取出另外一个球。两个同学取出的球号加起来是偶数的概率是多少？

此题只要按照分步概率的计算方法，画出Tree Diagram,很容易得出:

偶数+偶数的概率为5/10*4/9=4/9的一半；

奇数+奇数的概率为5/10*4/9=4/9的一半；

两个4/9的一半加起来，就是4/9，因此答案选A。

AMC 8里面的Ratio(比率)题，有一部分与Area(面积)结合出题。

而Maximum and minimun(最大和最小)类型的题目，与数的排序、逻辑比较、应用的边界条件等关联比较多，限于篇幅，本文不再一一举例。

总    结

AMC 8作为北美初中生的数学竞赛，题目不难，但是对于计算速度和知识熟练程度要求较高。

整个比赛一共40分钟，25道题，每道题平均1.6分钟，如果抛去题目阅读理解的时间，每道题的答题时间少于1分钟。要想在这么短的时间内做出正确答案，考生平时有意识地加强心算能力的培养是必要的。

将数学的各种知识点关联起来学习，看到题目背景知识的全貌而不是仅仅局限于一个点，对于提高知识的熟练程度是大有裨益的。

今年的AMC 8将于2018年11月13日举行，欢迎大家报名智能未来数学针对11月份的竞赛开设的AMC 8强化冲刺班，请感兴趣的朋友关注我们的公众号，进入公众号以后选择右下角的“北美竞赛群”->"入群二维码"扫码入群报名。

本文为智能未来数学原创，文中所有数据均来自Rootofmath.com，由智能未来数学独家分析和整理，欢迎转发，转载请注明出处。

往期原创文章链接：

与北美竞赛数学配套的基础数学题库来啦!

AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告兼谈数学与职业的结合

滑铁卢高斯数学竞赛(7&8年级)历年真题数据分析报告兼谈对加拿大数学教育的思考

UBC Elmacon数学竞赛历年真题数据分析报告与备考

加拿大可"玩"的数学竞赛

      2017年10月26日上午，第十四届中国计算机大会（CNCC 2017）正式在福州海峡国际会展中心开幕，在大会第一天，菲尔兹奖获得者、哈佛大学终身教授丘成桐在会上作为特邀嘉宾做了首个演讲报告，报告主题为《现代几何学在计算机科学中的应用》。

　　报告中丘成桐先生首先介绍了现代几何的发展历史，随后介绍了他与他的学生及朋友在计算机与几何交叉方面的一些研究。对于人工智能，丘成桐先生认为现代以神经网络为代表的统计方法及机器学习在工程实践中取得了很大的成功，但其理论基础非常薄弱，是一个黑箱算法；人工智能需要一个可以被证明的理论作为基础。

      演讲内容整理如下：

胡事民（大会程序主席，清华大学教授）：

　　大家都知道，计算机科学离不开数学，早期的计算机都是数学家帮我们奠定了基础。今天的第一个报告，我们非常荣幸地邀请到了著名的数学家、数学界最高奖菲尔兹奖获得者、哈佛大学教授丘成桐。丘老师不仅是伟大的数学家，他也在计算机方面做了很多工作。他开创了计算共形几何，广泛地应用在图形学、视觉传感器等方面。最近丘先生还在Nature上发表了一篇文章，研究社交网络。下面我们有请丘先生。

丘成桐演讲全文：

　　今天很荣幸地收到你们的邀请来做一个演讲。我本人在数学上的贡献不在计算机数学，最近这十多年来，由于我的学生顾险峰以及其他朋友的缘故，他们叫我帮忙做些跟计算机有关的学问。我发觉，纯数学，尤其是几何学在计算机方面有很大的应用。所以我今天就滥竽充数，讲讲几何跟计算机数学的关系。 

　　一、现代几何的历史

　　首先，前面几分钟讲讲几何学历史。几何学一开始，就类似今天的人工智能，有很多工程上的应用以及产生的很多定理。不过随后欧几里得将当时主要的平面定理组合以后发现这些定理都可以由5个公理推出来。这是人类历史上很重要的一个里程碑，在很繁复的现象里，他找到了很简单但却很基本的五个公理，从而能将原来的这些公理全部推出来。我是很鼓励我们做人工智能的也能重复这个做法——从现在复杂多样的网络中找到它最简单的公理。

　　由于希腊人的工具不够，所以除了二次方程定义的图形（圆形、直线、椭圆等）以外，他们没有能力处理更一般的图形。一直到阿基米德，才开始做微积分的无限算法（积分体积），同时他们也开始做射影几何的算法。

　　微积分的出现使几何学进入了新纪元，微分几何也因此诞生。几何学在欧拉和高斯手上突飞猛进，变分方法和组合方法被大量地引入到几何学当中。

　　现代几何（近两百年的几何）主要发源于黎曼在1854年的博士论文，这篇论文奠定了整个现代几何的基础，他把几何图像看成一个抽象但是能够自足的空间。这个空间后来成为了现代物理的基础，现在物理中研究引力波等都是从黎曼这里开始的，没有黎曼这个空间，爱因斯坦不可能研究出来广义相对论。同时假如我们细看黎曼的这篇论文的话，就会发现，黎曼还认为离散空间也是一个很重要的空间。这个离散的空间包括了我们现在研究的图论，也用来研究宇宙万物可能产生的一切。所以即使是150年以后的今天，我们依然能看到黎曼的这个观点很重要。

　　二、对称的概念

　　几何学能够提供很多重要的想法，可以讲其影响是无所不在的。几何学的很多概念在高能物理和一般的物理学领域都产生重要的影响。其中一个重要的概念叫做“对称”。“对称”的概念是在1820年到1890年间由几个重要的数学家发展出来的。我们中国喜欢讲的阴阳，其实就是一个属于对称。在数学上有一个叫庞加莱对偶的概念，其实就是阴阳，但这个概念要比阴阳具体得多，同时也真正用在了数学的发展上。

　　19世纪，Sophis Lee发展的李群，也是物理学界最重要的工具之一，在现代物理中几乎没有一个学科可以离开李群的。

　　在几何学上，1870年的时候，伟大的数学家克莱因发表了《埃尔朗根纲领》，在这个纲领里克莱因提出用对称来统治几何的重要原理，随后产生了很多重要的几何学，包括仿射几何、保角几何和投影几何等。

　　这些几何对于图像处理都有密切的关系。我以及我的学生和朋友这十多年来就是用保角几何及种种几何来处理不同的图像。即使是当年看上去不重要的几何，现在实际上都有它重要的用处。这种种的计算都是从对称这个概念发展出来的。从大范围对称到小范围对称，这些在20世纪的基础研究中都有很成功的影响。

　　三、平行移动

　　另外一个很重要的概念，我想是很多做工程的人都没有注意到的，就是平行移动的概念。这个概念影响了整个数学界两千年。平行移动的概念其实就是一点和另外一点要有一个很好的比较的方法；计算机也好，图形学也好，在某一点上看到的事情要和其他点进行比较，比较的方法就叫平行移动。这也是一个很广泛、很重要的概念。现在在计算数学里面还没有大量的引进，但是在物理学界已经被大量地使用上了。所以我期望这些基本的概念以后能在计算机里面大量地使用。

　　四、几何学与计算机相互之间的影响

　　现在我们具体来讲一些的事情。现代几何为计算数学奠定了很多理论的基础，并且指导了计算机科学未来发展的方向。现代几何广泛应用到计算机的所有分支。举例来讲，计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计、计算机网络等等都有广泛的应用。再例如，黎曼几何可以用来理解社交网络；现代几何理论也可以用来理解人工智能的特性。要记住，我们讲的几何并不是高中时代的几何，所有与图像或者网络有关的都是几何的一部分。

　　从另一方面来看，计算机学科的发展为现代几何提供了需求和挑战，也推动了跨学科的发展方向。例如：

• 人工智能中的机械定理证明推动了计算代数的发展；

• 数据安全、比特币、区块链的发展推动了代数数论、椭圆曲线和模形式的发展；

• 社交网络、大数据的发展催生了持续同调理论（persistent homology）的发展；

• 动漫、游戏的发展推动了计算共性几何学科的诞生和发展；

• 机器学习的发展推动了最优传输理论的发展等等。

　　五、计算机&几何学研究案例

　　我们下面举几个具体的例子，分别是图论、计算机图形学、计算机视觉、人工智能、深度学习等。这几个和几何都有密切的联系。

　　1、图论

　　我们先讲讲图论。图，就是一大堆顶点、一大堆边把它们连起来，这是最简单不过的事情。对于一个图，譬如交通图，我们要找出它们有着怎么样一个结构，什么地方比较拥挤。有时候我们也要研究怎么将这个图切成小部分，然后分解成简单的子图；如何衡量各个连通分支间的连接度；如何将图染色等。这些问题实际上都跟图上的特征函数有密切的关系。

　　图上的特征函数跟光滑图形上的特征函数有很类似的地方。我在40年前跟几个朋友，郑绍远、李伟光，做了一个工作，将光滑黎曼流形的特征函数推广到图上，得到了很好的结果。这些结果可以用来决定图上的连结的生成，研究图上的边创造过程，尤其是有个量的估值来控制在图上发散的过程。约束发散的过程可以应用到许多实际的过程中。我们还研究了图上的薛定谔方程，定义了图上的量子隧道概念。这些概念都是从物理上来的，被借用到图上。

　　假如我们在考虑有向图，就是每个点、每个边，给它一个方向，我们就可以将拓扑学整个引用到图上去，定义了图上的同调群。同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容。

　　现在我们来讲讲我们做的关于博弈理论的一个事情。进化图论为表达种群结构提供了数学工具：顶点代表个体，边代表个体的交互作用。图可以用来代表各种具有空间结构的群，例如细菌、动植物、组织结构、多细胞器官和社交网络。在进化过程中，每个个体依据自身的适应程度，进行繁殖病侵占到邻近顶点。图的拓扑反映了基因的演化——变异和选择的平衡。类似的，互联网是一个大网，一个非常复杂的网络，我可以在上面研究它的变化。社交行为的进化可以用进化博弈论来研究。个体和邻居博弈，根据收益而繁殖。个体繁殖速率受到自身与其他个体的交互作用影响，从而产生博弈的动态演化。其中心的问题就在于对于给定的图如何决定哪种策略会取得成功。

　　我们在今年年初的时候在nature上发了篇文章，我们得到一个结果，就是在任何给定的图上进行弱选择，自然选择从两种彼此竞争的策略中如何进行挑选，这个理论框架适用于人类决策，也适用于任何集群组织的生态演化。

　　我们从弱选择极限得到的结果，解释了何种组织结构导致何种行为。我们发现，如果存在成对的强纽带结构，合作就会大规模出现。我们用数学证明了社会学方面的一个结论：稳定的伙伴或者伴侣，对于形成合作型的社会起到了骨干作用。

　　2、计算机图形学：全局参数化 – 共形几何

　　下面我要讲的是“计算机图形学：全局参数化 – 共形几何”。这是我们发展了二十多年的一个学问。我和顾险峰从他还在哈佛念博士的时候（1999年）我们就开始做这个事情。

　　当我们将图形整体光滑映射到参数区域，使几何变得很小，会破坏掉整个图形；一般来讲这个要用手工来做，否则的话它变化非常大。针对这个问题，我们使用了纹理贴图、法向量贴图等等的方法。共性几何是一个很重要的从很古典的黎曼几何中产生的几何。

　　举例来讲，这个大卫的雕像，我们将它保角地映射到平面上去。它表面上看好像变化很大，但实际上变化不大，因为它是保角不变的。这在图像处理中是一个很重要的事情。举个例子来讲，从图上要画格点，因为我们画到平面上去以后，我们就可以将平面上画的很好的格点映射到脸上，就可以变成很漂亮的四方形的格点。这对工程处理有很多好处，其好处就是它将图上很小的圆映射到对方图上还是一个很小的圆，不会有扭曲，不会有太大的变化。

　　前面这些应用到一个数学上很重的定理，叫做庞加莱单值化定理，这是一个从黎曼时候开始的定理。就是讲映射的图形只跟它的拓扑性有关，这上面有三种几何，分别为：球面几何、欧氏几何、双曲几何。所有二维的几何，不管是什么样子的，我们都可以用这三种几何来分类。因此我们就可以将很复杂的事情很简单地描述出来。

　　上面这些我们得出了很好的结果。但是保角也有它的缺点，所以我们也发展了第二类映射，我们使得面元被保持，而角度不一定被保持。保角映射有时候可能将一个面拉的很远，左手边是保角映射，右手边是保面元映射。右面的图在不同的情形下会得出很好的结果。

　　3、计算机视觉，表情追踪 – 拟共映射

　　共性映射也可以应用到表情识别和追踪当中。我们可以自动地找到球面上曲面间的光滑映射，使得特征点匹配，使映射带来的变化很小。这是我们得到的一个很重要的结果。 

　　因此，我们可以用来追踪表情，表情捕捉。一个人他在笑、在哭、在种种不同的表现的时候，我们能够得到他的重要的面部特征，主要的方法就是我们将它映射到平面上，然后用共形映射或拟共形映射来研究它。这些都是很重要的数学工具，在计算上也有很重要的应用。

　　拟共形映射到目前来讲，纯数学家把它看得还是非常重要的，它不是一个正则方程，而是一个伪正则方程，也即Beltrami方程。这个方程在我们研究图像变形时在数学上是非常重要的，所以我们应用到图形处理里面去也得到很重要的结果。我们可在微分同胚的空间进行变化到最优的映射。它对医疗和动漫都有很重要的应用。

　　4、计算力学 – 六面体网格生成，叶状结构理论

　　我们也可以用同样的变化（保角映射）来产生六面体网格的生成和叶状结构理论。

　　这是在一只兔子上找到的好的网格。但是这个网格会产生一些奇异点（拓扑学的缘故）。针对这些奇异点，我们就做了一些研究，得出了很好的结论。

　　再比如，我们看这个曲面，在这个曲面上我们画出一些叶状的结构，可是它也有一定的奇异点。我们将这些奇异点分类，得出了一些在计算机科学上有意义的结论。

此外，全纯二次微分的网络中间有个六边形的变化。

　　5、数字几何处理-几何压缩：蒙日-安培理论，几何逼近理论

　　下面我们来看计算机的几何压缩中的蒙日-安培理论以及几何逼近理论。如何压缩复杂几何数据，同时保证几误差最小，保证黎曼度量、曲率测度、微分算子的收敛性，这些都是很重要的问题。我们用了很多共形映射的方法将曲面映射到平面去；再用蒙日-安培方程，将高曲率区域放大；随后重采样，在共性参数域上计算Delaunay三角剖分。这样得到的简化多面体网格就能够保证黎曼度量、曲率测度、微分算子收敛。

　　6、区块链：数字安全，椭圆曲线理论

　　这方面很多人都知道，这部分我就跳过去不再讲了。

　　7、人工智能

　　目前机器学习算法需要大量的样本。虽然现在比从前进步得多了，但规模还是很庞大。所以我们的想法是，让理论来帮忙处理这种复杂的数据学习。

　　在机器学习中有很多统计的内容，但是很多内容我们都不是很了解它是如何产生的。所以我们需要用一些比较严格的数学的理论来从这些复杂的现象中抽取出它们的本质。我们今天介绍一下用几何的方法来研究对抗生成网络（GAN）的事情。

　　生成对抗网络GAN（Generative Adversarial Networks）其实就是以己之矛克己之盾，在矛盾中发展，使得矛更加锋利，盾更加强韧。这里的盾就被称为判别器（Descriminator），矛被称为生成器（Generator）。生成器G一般是将一个随机变量（例如高斯分布或者均匀分布），通过参数化的概率生成模型（通常是用一个深度神经网进行参数化），进行概率分布的逆变换采样，从而得到一个生成的概率分布。判别器D也通常采用深度卷积神经网络。

　　举个例子来讲，有个概率分布u，u是基本的白噪音，影射到右手边的图片，一个概率分布v。我们从映射里看到GAN的问题其实就是：在两个概率分布u和v之间，找到一个最优的传输映射，从一个空间到另外一个空间，使它的概率分布是保持的。

　　u通过phi映射到v上去，同时我们要将它传输的代价变得最小。这样的变化是我们所需要的，因为这就不再需要像刚才所说的矛盾变化来达到最好的结果。我们知道，映射可以用一个方程来解决，所以我们其实就是要找一个凸函数U，它的梯度是我们的映射函数phi，它满足一个方程：蒙日-安培方程。

　　我们可以通过对这个方程进行求解的方式来找到最优传输映射，所以就节省很多生成对抗的时间。蒙日-安培方程本身其实是等价于微分几何中的亚历山大定理的。60年代就有人处理过这个方程，我自己也做过这个方程，前几年顾险峰跟他的学生也和我一起对它做了一个计算。

　　对抗生成网络实质上就是用深度神经网络来计算概率测度之间的变换。虽然规模宏大，但是数学本质并不复杂。应用相对成熟的最优传输理论和蒙日-安培理论，我们可以为机器学习的黑箱给出透明的几何解释，这有助于设计出更为高效和可靠的计算方法。

　　六、总结

　　我们看到现代数学和计算机科学的发展紧密相关，共形几何的单值化定理、蒙日-安培理论、最优传输理论等现代几何中的定理应用到计算机科学中的很多领域。我希望我们能够将更多那些表面上看来很高深的数学应用到我们日常的计算机上去，不但是能够有效地提出计算机的算法，同时也能够给它一个理论的基础。人工智能需要一个坚实的理论基础，否则它的发展会有很大困难。

    长久以来很想写一篇关于AMC美国数学竞赛的文章

    希望能够纠正一些人对于数学竞赛的误解，而这种误解大部分都来自于国内奥数带给我们的负面信息

    对于这个问题，我知道有一些家长真的好纠结

    然而不做数据分析就得出结论，显然不符合智能未来数学的风格

    于是我等啊等啊等啊，熬啊熬啊熬啊......

    终于盼来了榜单发布的这一刻

    分析这些知识点之前，先说点题外话热身一下

  Warm up

    最近数学界的一件大事就是第59界IMO国际数学奥林匹克竞赛落幕啦，中国队获得团体第三名

    消息出来后，我一好哥们知道我的奥数背景，在一好友群里分享了这条消息后， 问我这个结果到底有没有意义

    结合我在互联网和人工智能方面近20年的从业经验，我的回答是肯定的

    哥们听我这么一说，有些着急

    为避免哥们过于焦虑，我反馈了一个乐观的观点

    哥们身在教育部门，马上给我分享了国家对人工智能的重视

    估计会有一些家长和我的哥们一样，看够了国内奥数拔苗助长的风风雨雨，也会怀疑数学竞赛到底有什么用

    如果学奥数的目标仅仅是为了去拿一块金牌，觉得拿到金牌就实现了人生的辉煌，就可以高枕无忧了，为了奥数而去奥数，这样的数学竞赛真的没有什么太大的意义

    智能未来数学的观点，数学竞赛的真正意义，在于激发孩子的数学学习兴趣，让更多的孩子喜欢数学，学好数学，锻炼好逻辑思维能力，学会利用数学工具解决实践中遇到的实际问题，为将来的职业和生活打下坚实的数学基础，优秀人才会进一步推动人类社会往更加智能的方向发展。

    我在研究完AMC美国数学竞赛10年级的所有真题以后，发现这个竞赛与国内的数学竞赛有些不一样

    与国内数学竞赛的题目偏理论、偏计算、刻意去设局出偏题出怪题不一样，AMC比较贴近孩子们现在的生活和未来的职业,更加侧重于用数学来解决生活和工作中遇到的问题

    口说无凭，我们还是让数据来说话吧

第二名

No 2. Apply 

日常应用

    你可能会觉得Apply不应该算作知识点吧？

    嗯，我也这样认为，但这个在AMC 10的竞赛题中实在是太有特色了，所以我坚持要把它单独列出来

    算作一个标签或分类吧

    先来看看2011年AMC 10A的第一题

    你觉得这是一道数学竞赛题吗？

    这分明是在教客服代表如何回答Michelle同学打来的查账电话嘛

    "您好，您本月超出计划30.5-30=0.5个小时，合30分钟，超出部分每分钟10分钱，合3刀，外加你发送的100条短信，每条5分，合5刀，加上本月计划费用20刀，因此您本月的账单为20+3+5=28刀。"

    如果你觉得这道题太简单，再来看看2018年10A的第20题：

    （后面一句话被水印盖住了，全句应该为“What is the total number of possible symmetric scanning codes?”)

    这不是在教软件工程师如何设计我们经常使用的二维码吗?

    (插播一段广告：上图为智能未来数学管理的真实的北美数学竞赛群二维码，感兴趣的朋友可以长按上方二维码，然后选择"识别图中二维码"加入。该二维码7天内有效，如您看到本文时已经过期，请关注我们的公众号“智能未来数学”，选择右下方的“北美竞赛群”，再点击"入群二维码"，在接收到系统发送的二维码图片后，打开图片长按上面的二维码，然后选择"识别图中二维码"入群)

    本题的解法非常简单，将7X7的正方形沿着横轴中心线、纵轴中心线、两条对角线分别对折四次，最后得到如下三角形：

    根据题意，只有图中三角形里面的10个区域的颜色是可变的，一旦这个三角形里面的10个区域颜色确定，整个7X7区域格子里面的颜色都可以根据对称性得到。

    按照乘法原理，10个格子共有2^10=1024个不同的配色方案，去掉两个全白和全黑:

    1024-2=1022

    因此答案选(B).

    通过这两题大家可以看到，AMC美国数学竞赛将数学的学和用是结合得比较好的。

    回顾国内的数学竞赛题，数学题就是数学题，很少能够看到与职业发展、工业实践相结合的题目，我想这也许是很多家长产生“数学竞赛到底有什么意义”这样的困惑的主要原因。

    大家可能知道人工智能技术的三大数学支柱是微积分、线性代数和概率论

    下面我们从数据分析的角度，来看看AMC 10的考题是如何与智能未来数学倡导的教育理念异曲同工的吧

第五名

No 5. Probability 

概率

    概率对于学习和掌握人工智能的诸多方面都有着举足轻重的作用

    拿笔者两年前从事的“人脸识别”人工智能项目来说，其实就是用计算机视觉技术将人脸数据化后，利用概率相关理论，通过机器对比来判断你是谁的

    所以概率题在AMC 10中排第五名名副其实啊

    AMC 10中的概率题可谓五花八门，与各种各样的知识点结合在一起出题

    看一道与面积结合的2011年 AMC 10B 第16题

    题目比较简单，就是把中间那个正方形的面积算出来再除以整个八边形的面积就可以了

    整个解答过程如下：

第三名

No 3. Equations 

方程

    函数方程是微积分和线性代数的基础，而微积分和线性代数是人工智能技术的基础

    按照数学的递推关系，很容易推出函数方程是人工智能技术基础的基础

    因此方程排在AMC 10第三名的位置理所当然啊

    看一道线性方程的送分题-2002年AMC 10B第12题

    两条直线在平面直角坐标系里面无解，显然是需要平行啊

    原式稍微做一下移项，去掉平方项，对比两条直线，立即得到k=5.

    解答过程如下

第一名

No 1. Area 

面积

    AMC 10中的面积题啊，密集得是这样子的

    每套题里面平均差不多有4道和面积相关

    更奇葩的是往往都是连着出，上一道面积，下一道还是面积......

    为什么会有这么多面积题?

    智能未来数学分析，其中最重要的原因，与上一篇文章Elmacon历年真题数据分析报告中提到的一样，美国在上个世纪60年代砍掉了数学教材中的几何部分，因此几何面积题成了很多学生的软肋，容易拉分啊......

    另一个原因是为微积分做准备，微积分里面的定积分就是算面积啊，而微积分是人工智能技术的基础啊，计算各种各样不规则图形的面积在人工智能技术的分类、聚类、概率计算等方面应用得非常多

    因此同学们呐，要想在AMC 10中有好成绩，一定要把几何和面积学好啊

    当然，大家不要以为面积题直接套公式算出来就行了，很多时候面积会和勾股定理、相似三角形、托勒密定理、海伦公式等等掺杂在一起出题，更为重要的是解几何题一定要学会如何做辅助线，否则的话难度还是挺大的

    例如看一道2005 AMC 10B的第14题

    此题可以直接套用等边三角形CAB的面积公式：√3/4 *a^2=√3/4*2^2=√3(√表示根号)。

    因为M为AC的中点，做ME垂直于BC于E,AF垂直于BC于F,因此三角形CME相似于三角形CAF,ME为AF的一半，也就是三角形CDM的高为三角形CAB的一半，而它们的底相同，因此三角形CDM的面积为三角形CAB的一半，即√3/2。

    答案为C。

总结

    微积分、线性代数、概率论这三大人工智能数学支柱，它们涉及的基础知识点在AMC美国数学竞赛10年级的考题中屡屡以高频率出现。

    通过AMC 10历年真题的数据分析报告，相信大家已经看到了数学学习应该与未来人工智能时代接轨的重要性了。

    这一结论，以前我只是凭直觉判断，数据分析的结果从数据层面上佐证了智能未来数学的数学教育观点——与未来人工智能时代人才的数学需求接轨。

    有家长和我说，我的孩子只是个普通的孩子，会编程做网站或会做游戏就可以了。我的建议还是在学编程的同时一定要把数学先学好，现在搜索引擎这么发达，开源软件这么多，计算机软件的大多数需求基本上在网上都可以找得到现成的开源代码，大部分拿过来还都能用。

    数学却不一样，即便你在网上找到一篇现成的论文，你也不一定看得懂，因为数学是一个复杂的逻辑思维和推理过程。

    我不是说计算机不如数学高深，而是说计算机产品的可复制太容易，那些掌握复杂数学思维过程的人才是未来职场上的香饽饽。

    想做游戏的孩子如果没有好的数学基础也不行啊，3D游戏涉及物体在三维空间里面的运动变换，都需要好的数学基础才能做出精品。

    数学训练的是逻辑思维能力和思考问题的系统性、条理性，以及思考分析问题的方法，这一点对于以后想从事律师等职业的同学同样重要。

    在北美要想让孩子获得良好的数学教育，以一个良好的心态去参加像AMC这样的数学竞赛估计是最好的选择。

    本文为智能未来数学原创，文中所有数据均来自Rootofmath.com，由智能未来数学独家分析和整理，欢迎转发，转载请注明出处。

UBC&PIMS Elmacon号称“加拿大难度最大的小学生数学竞赛”，对于激发孩子的数学学习兴趣和锻炼逻辑思维能力很有帮助，尤其是历届前十名的孩子很多进入了UBC天才班Transition Program进行深造学习，因此这一比赛越来越受到温哥华本地家长的关注和重视。

为了帮助更多的孩子了解这个比赛，智能未来数学整理了自2003年到2013年共11年的所有比赛真题，按照真题入库、人工做题、人工标注和数据分析四个步骤，分5、6、7三个年级进行了整理和分析，形成如下报告，供各位家长在帮助孩子准备Elmacon数学竞赛时参考。

一、2003年-2013年历年真题对应知识点数据分析报告

从真题知识点排行榜Top6表中可以看出，快速计算、面积、概率、百分数、数图形是三个年级的必考项目，五年级侧重平均数，六、七年级逐步过渡到分数，而七年级逐步弱化快速计算，更加强调数学学习的深度和题目的复杂度。

下面根据Top 6 知识点的排名顺序重点介绍其中的四个。

二、第一名

Speed Calculation(快速计算)

该类型的题目都需要孩子们掌握一定的速算技巧，先观察题目找到快速通道再入手做题，不能硬算，因为硬算会很快发现考试时间不够用。

看看2003年5年级Sprint中的送分题：

估计只要学了乘法竖式计算的孩子都可以做出来，但竖式计算需要进行4次乘法和3次进位加法，有一些运算量。

会观察懂技巧的孩子会把原式在脑子里写成这样：

原式=6X59.99

=6X(60-0.01)

=360-0.06

=359+1-0.06

=359.94

只需要在脑子里面做两个简单的乘法和一个减法，心算就可以写出答案。

这种小技巧在Elmacon真题中比比皆是。

再来看看2011年6年级Target中的第9题：

对于这道题，一般的孩子很容易看出来N>10,但是到底是11还是12还是13?需要一个一个去尝试，并且进行三次方运算，每个数的尝试是有一定的运算量的，如果解题过程超过3分钟，就可能会影响到其他题目的答题时间。

熟悉速心算的孩子很容易在脑中里面得出12X12X12=1728,13X13X13=2197,心算得出答案为N=12。

快速计算是Elmacon认为小学生数学学得好最重要的指标，没有之一。这一点在第三轮Count Down环节的比赛中得到了集中展现，这一轮要求进入前十名的孩子上台抢答3道数学计算题，答对2道题者排名上升一名。

很多家长在现场看到台上选手的快速计算能力，留下非常深刻的印象，常常是题目还没念完，答案就出来了，认为只有天才才能做到。其实不然，这些孩子都有一套训练方法和长时间的训练过程。一般的孩子只要能够坚持，掌握速心算的计算方法和技巧，大脑经过长时间的快速计算按摩都可以达到。

快速计算有很多种方法，大家比较熟悉的例如珠心算，通过在大脑中以算珠表象作为载体，运用珠算法则进行计算。缺点是需要孩子记住许多口诀和算式，学习过程长，在网上也经常听到对于珠心算褒贬不一的不同声音。

对此，智能未来数学倡导简单易学、不要求孩子记忆其他附属公式的速心算，即学即会，立竿见影。

三、第二名

Area(面积)

通过数据分析发现Elmacon对于几何题目带有某种偏好，这个分析结果连我自己也没有想到。在后来的教学过程中，我逐渐发现在加拿大本地接受教育的孩子，几何解题能力都不好，有的孩子在准备参加AMC美国数学竞赛时，谈到几何题就头痛。

后来我研究了一下北美数学教育的历史，了解到美国从20世纪60年代开始将大量几何教学内容从教材中砍掉了，而加拿大从十多年前将数学改成“发现式数学教学法”，试图让学生自己探索知识，也几乎安全扔掉了几何的严密逻辑推理训练。

加拿大目前的这种数学教学方法，智能未来数学总结为“思而不学”。孔夫子在两千多年前就指出了这种教学方法的弊端——“思而不学则殆”，意思是如果一味空想而不去进行实实在在地学习和钻研，则终究是沙上建塔，一无所得。看看加拿大公校里面数学教育的现状，孔夫子两千多年前的告诫是何其深刻和具有前瞻性啊!

熟悉我们大中国几何学的同学都知道，整个平面几何都是建立在"过两点有且只有一条直线"、“两点之间,线段最短”、“垂线段最短”、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”、“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”、"同位角相等,两直线平行"以及三角形全等SAS、ASA、SSS、HL共十大公理的基础之上，其他所有的几何结论都是通过这十大公理按照严密的逻辑关系推导出来的。而加拿大的“发现式数学教学法”给孩子们提供的系统性严密逻辑推理方面的训练几乎没有，这也就不难解释为什么在加拿大本地接受教育的孩子几何为什么会弱，以及Elmacon为什么对几何方面的考题有明显偏好了。

下面以2012年Target Round Grade 5的12题为例说说Elmacon的几何面积题对孩子们的要求有多高：

这道题的快速解法需要用到面积、周长、勾股定理（Pythagoras theorem）以及完全平方公式。翻翻加拿大的数学教学大纲，勾股定理出现在八年级的练习册里面，要求5年级的同学做出这道题，难度可见一斑。

对于已经掌握了这些知识点的同学来说，要做出本题也是需要一些技巧的,整个解答过程如下：

Solution:假设长方形的边长为x,y,由题意可以得到：

(1) x*y=138

(2)x^2+y^2=20^2=400 (勾股定理)

(1) X 2+(2)左侧正好凑成完全平方公式：

(x+y)^2=2*x*y+x^2+y^2=2*138+400=576=26^2

因x,y皆为自然数，故x+y=26,从而周长=2*(x+y)=2*26=52.

三、第三名

Probability(概率)

刚开始看到Elmacon的真题时，我有些“震惊”，因为里面出现了大量的概率统计题，而按照我们大中国的数学教材，作为概率统计根基的排列组合加法原理和乘法原理可是在高三教材的最后一个章节啊，如果我没有记错当年的教材的话，这个章节过后马上就是极限和微积分基础了。

我的这个“震惊”在后来的研究中找到了答案：这也是我前面提到的加拿大十多年前改成“发现式数学教学法”直接导致的结果，翻翻配合加拿大数学教学大纲的Math Smart,可以看到1到8年级几乎每个年级的最后一个章节都是Probability，每年讲一点，每年讲一点，一直在隔着皮鞋给孩子们挠痒痒，到最后也没有给孩子们讲明白到底用什么方法彻底解决概率问题。这就不难解释Elmacon出题者为什么抓住孩子们的软肋，频频在此知识点上出题了。

下面看一道2006 Target Rount Grade 5的一道概率题：

类似概率题有一些小Trick,如果孩子没有掌握的话，解答起来还是有些难度的。

比较常见的方法是采用“捆绑法”，即把Pims+One Person+Smip捆绑成一个人再与其他四个人做全排列，即5个人做全排列得到5！。因为中间这个One Person共有5中选择，Pims和Smip可以互换位置，因此概率数的分子=2*5*5!；

而分母为7个人做全排列=7！。

因此答案=2*5*5!/7！=5/21。

四、第六名

Diagram Counting(数图形)

这一知识点的题目其实仍然属于平面几何类型，正如前面分析，Elmacon的出题者对于几何题目是有比较大的偏好的。

这一类型的题目看似简单，好像每个人都可以把题目需要的图形数出来。其实不然，这类题目主要考察孩子们思维的全面性，需要根据题目的要求进行分类统计，分类既不能重复，又不能遗漏，稍不小心就会数错了。

例如2008年Sprint Round Grade 6的最后一道题：

此题看似简单，但如果硬数而没有全面系统的分类方法，重复计数或者遗漏的可能性很大，这一分其实比其他计算题更难拿。

智能未来数学对于此类题目的建议是将计数目标进行转换后分类。此题中，可以把需要计数的长方形的水平边所对应的线段都投影到最底端的水平线上，根据投影后的线段进行分类，一共得到10个线段。而每条线段，按照它向上能够延展的高度，很容易计算出此线段分类能够找出多少个长方形：

对于延展高度为2的线段可以找到3个长方形；

对于延展高度为3的线段可以找到6个长方形；

延展高度为2的线段共有7条；

延展高度为3的线段共有3条；

因此答案=7x3+3x6=39。

分类清晰，计算简单。

没有重复，没有遗漏。

五、从Elmacon角度看

数学教育金三角

通过对于Elmacon历年真题的分析，我们发现Elmacon的许多题目都要求选手具备良好的逻辑思维能力和运算速度，而逻辑思维能力的好坏会影响到孩子未来成才的方方面面。

据了解，在Elmacon排名靠前的选手中，很多都是从小学二年级就开始找专人进行训练和培养，有的五年级的选手据说已经在参加AMC 10年级的比赛。如果不激发起孩子的兴趣，要让孩子持续保持这种学习数学的热情显然是困难重重的，这就是智能未来数学将激发兴趣放在金三角最高位置的原因；

当然光有兴趣还是不够的，从真题中可以发现，很多题目都有Trick在里面，如果没有好的老师传授针对性的方法，孩子要想在高手如云的赛场上取得好成绩难度是很大的，因此掌握方法对于数学教育的重要性来说就毋容置疑了；

最后，我们要看到，Elmacon比赛的第一名只有一个，不是每个孩子都可以拿第一名的。智能未来数学建议让孩子们去“玩”像Elmacon这样的数学竞赛，以良好的心态参与其中，能够拿第一名当然更好，不能拿第一名同样收获逻辑思维能力的提高——这正是数学教育的黄金角。

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一、网课环境要求

1.一台带麦克风和摄像头的电脑(PC或笔记本)

电脑用来创建视频会议，传输上课过程中的声音和图像，以及老师共享的桌面；

2.一个平板电脑iPad或Android Tablet

孩子需要在Pad上手写输入做题，以及接收老师上课过程中下发的作业图片。建议给孩子购买一只Screen Touch手写笔(可选)，没有Screen Touch手写笔也可以直接用手指在Pad上画；

3.Internet连接

二、网课环境准备

 1) 下载安装Zoom。请直接在浏览器中打开链接 https://zoom.us/download#client_4meeting 按照系统提示走完流程,输入你收到的老师Zoom会议ID(每个老师的会议ID不同，具体请通过网站首页你报名课程的Join Steps查看)即可加入视频会议。

 （如果需要用手机参与会议，请在手机上打开浏览器，在浏览器中打开链接https://zoom.us/download#client_4meeting， 根据提示选择安装一个您的手机对应的APP,安装并打开APP后直接选择右下角的"加入会议"，输入你收到的老师Zoom会议ID即可加入视频会议。）

2) 在PAD上打开浏览器，在地址栏中输入http://www.rootofroot.com/,单击首页左下侧的"Join Class",按照提示输入第1步中注册的用户名和密码，立即进入网课手写界面，可以接收老师下发的作业和在此手写输入答题。

在PC上也同样可以打开浏览器，在地址栏中输入http://www.rootofroot.com/,单击首页左下侧的"Join Class",按照提示输入第1步中注册的用户名和密码，同样进入网课手写界面，与PAD上面的信息是完全同步的。

如果您被跳转到了“我的账户”页面，请点击“上课(Join Class)”回到上课手写页面。

三、辅助设备信息

1)关于手写笔，你可以参考如下型号:

Active Stylus Pen for Touch Screens

2)如果你没有iPAD或者Tablet平板电脑,短期试课你可以直接在电脑上用鼠标写字做题。

如果长期上课，为了获得更好的学习效果，请你购买与电脑直接相连的Graphics Drawing Tablet等设备，如下型号供你参考:

VEIKK S640 Ultra-Thin 6x4 Inch Graphics Drawing Tablet

最近有学生家长希望我写点东西，说一说孩子学数学到底要不要刷题，因为即便在家庭内部，爸爸和妈妈可能都会有不同的看法：爸爸可能会要求孩子多刷题，多做题就会多出成绩；妈妈可能会心疼孩子，反对搞题海战术......

在国内经历过高考的我们，对于刷题的好处还是情有独钟的，古人云熟能生巧嘛！学数学要不要刷题，这是一个公说公有理婆说婆有理的话题，用语言文字来表述的话估计会有辩论赛，我还是用我熟悉的数学语言来阐述吧

一、今天的主菜

大家还记得AMC美国数学竞赛吧？

先来看看2018年12年级AMC美国数学竞赛的最后一道压轴题：

光看题目有点吓人，各位看官先花点时间好好理解一下题，我先说点题外话：像这样的竞赛题，如果想让孩子通过刷题刷到，恐怕是不太可能，因为这样的考试，每一题都是新题。如果考生在考试中碰到曾经刷过的题，估计可以直接回家买彩票了

二、先来点汤

主菜太难了，还是先上点好汤吧。

下面这道题是PIMS Elmacon数学竞赛 2005 Sprint Round Grade 5的第25题：

这道题估计所有的人都可以算出来，差别只是计算速度的快和慢。

使用一般刷题的方法可以把所有的3X3X3=27个数(因为百位有三种可能，十位有三种可能，个位有三种可能)都写出来，然后用竖式计算一个一个把它们全部加起来，最后得到14985，全部过程估计得花15分钟左右，当然得保证所有加法进位不出任何差错，才能拿到这一分。

有更快的方法吗?

当然得有。

必须得有。

不然整个考试就一个小时，一共26道题，抛去写答案的时间，每道题也就2分钟左右。

经过数学思维和方法训练的孩子不会着急马上下手做题，而是先观察和思考，寻找快速通道。

这道题有两个特点：

1.百位、十位、个位是对称的；

2.需要相加的数太多，硬算太慢，需要想办法把加法变成乘法;

根据自然数十进制的特征，任何一个自然数ABC=100xA+10xB+Cx1;

整个思维过程大概是这样：把这27个数分散成27x3=81个数，然后分成三类分别相加。

1. x100的分类：固定百位为4以后，十位和个位还可以有3x3个变化(十位可以为4、5、6，个位也可以为4、5、6)，因此4x100需要计算9次。百位为5、6同理。因此这一类的和为(4+5+6)x100x9;

2. x10的分类：固定十位为4以后，百位和个位还可以有3x3个变化(百位可以为4、5、6，个位也可以为4、5、6)，因此4x10需要计算9次。十位为5、6同理。因此这一类的和为(4+5+6)x10x9;

3. x1的分类：固定个位为4以后，百位和十位还可以有3x3个变化(百位可以为4、5、6，十位也可以为4、5、6)，因此4x1需要计算9次。个位为5、6同理。因此这一类的和为(4+5+6)x1x9;

    

把这三个分类的数写在一起，再利用乘法分配律合并成乘法表达式，最后得到：

最后的总和=(4+5+6)x(100+10+1)x9

=15x111x9

=1665x(10-1)

=16650-1665

=16650-1650-15

=15000-15=14985.

熟悉速心算的同学可以不用纸和笔，一分钟内就可以将整个思维和计算过程在大脑里完成，得出答案。

而那些仅仅把刷题当成学习任务的孩子，因为缺乏主动探索数学题背后隐藏秘密的精神，没有经历过绞尽脑汁而后苦尽甘来的洗礼，是无法体会到破解数学难题之后所带来的思维之美和方法之美的。

三、再上点凉菜

与上一题类似的数学题比比皆是，如果想通过刷题全部刷上一遍难于上青天哪，而且每道题都不会完全一样，例如滑铁卢2004年高斯数学竞赛八年级的第24题,属于8分难题：

解题方法上与上一题基本一样，即利用自然数十进制的特征：

任何一个自然数ABC=100xA+10xB+Cx1：

将数字写成如上形式后按照题意做一个减法，马上得到A-C=5,利用A、C都为自然数且不为0的特征，可以得到（C,A）共有四个配对，B有10个选择，利用乘法原理很容易得到答案40。

整个解答过程如下：

四、回到主菜

AMC的这道压轴题其实与上面两道题用到的知识点是一样的，即：

An

=10^(n-1)xa+...+100xa+10xa+a

=a(10^n-1)/9;

(需要利用等比数列求和公式)

类似可以得出Bn,Cn。

只需要把这三个式子按照题目条件列出等式，然后做一下线性方程的系数对比分析，再充分利用a,b,c都为非零正整数(这里其实为1-9)的条件可以很快得出a=6,b=8,c=4。

整个解答过程如下：

五、根在哪里

按照智能未来数学(Rootofmath.com)的观点，每一题都有一个根，这三个题的根其实都是自然数的十进制表达：

任何一个自然数

An...A3A2A1A0

=Anx10^n+...+A3x10^3+A2x10^2

+A1x10^1+A0x10^0.

无非就是年级高一点，需要的附属知识更多一点，例如主菜里面的题就需要用到等比数列的求和公式，充分利用等式两边为整数两个知识点。

只要我们掌握了问题的根，任凭题目千变万化，我们只要顺根摸瓜。

六、要不要刷题

通过上述三个问题的讲解，大家是不是已经看到了：

解数学题的关键是思维深度和根。

思维有深度最好的方法就是激发孩子的兴趣。有了兴趣，孩子思考问题才有深度，才能够主动去思考问题背后隐藏的规律，主动去寻找问题的根，主动去发现思维之美和方法之美，碰到具体问题时自然而然就会根据已经掌握的思维方法找到答案。

孩子一旦理解了问题的根，只需要通过做适量题来强化理解解决同根问题的方法，不用花大量时间去刷同质数学题；相反如果能够把这些时间省下来，用在对数学问题的探索和思考上，即便几天只做出来一道难题，这个独立思维过程对孩子的成长会更有帮助，在数学竞赛中也更能出成绩。

再回放一下智能未来数学倡导的数学教育金三角：

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五步跳到50

• 目的：通过游戏让孩子理解十进制的十位数和个位数、两位数的减法，以及游戏背后的数字本质规律。
• 玩法：

1. 掷骰子两次以确定你的起始号码:第一次掷骰子得到的数字作为十位数，第二次掷骰子得到的数字作为个位数；
2. 从起始号码可以前进或后退1,10或100个单位的数，每动一次算一步；
3. 五步之内到达50；

• 举例：

1. 我掷骰子两次得到2和2，所以我的起始数字是22；
2. 第一步是+10让我到32；
3. 第二步是+10让我到42；
4. 第三步是+10让我到52；
5. 第四步是-1让我到51；
6. 第五步是-1让我到50；

• 思考：

1. 你是前进还是后退？
2. 你能准确着陆到50吗？
3. 你能以另一种方式做到吗？
4. 哪些数字可以让你五步之内到达50？
5. 哪些数字你五步之内到不了50？
6. 如何证明？
   
   

第一部分：加拿大数学竞赛

一、UBC ELMACON小学生数学竞赛（五到七年级）

• 举办单位：PIMS太平洋数学科学协会Pacific Institute for the Mathematical Sciences

• 创办时间：1999 年

• 官网链接：

  https://www.elmacon.org/about-elmacon

• 比赛形式：

1. 分五年级、六年级、七年级三个年级进行比赛；

2. 比赛有三轮，在一天内完成。第一轮叫Sprint,一般26道题，每题1分；第二轮叫Target,一般12道题，每题2分；第一轮和第二轮为笔试，满分50分，各年级前10名进入第三轮Count Down抢答比赛。抢答比赛一对一PK,从第十名和第九名开始，两名选手共抢答3道题，答对两道者晋级继续与第八名PK,以此类推，直到与笔试第一名PK。前十名以抢答环节的成绩定名次，也就是说，幸运的话，笔试第十名有可能在抢答环节顺利晋级到总成绩第一名；

3. 笔试题目全部为填空题；

• 意义：加拿大的“难度最大的小学生数学竞赛”，对于激发孩子的数学学习兴趣和锻炼逻辑思维能力很用帮助。历届前十名的孩子很多进入了UBC天才班Transition Program进行继续深造学习；

• 参赛时间：每年一次，一般在4月底和5月初进行；

• 报名方法：在官网自己注册后进行报名，缴纳报名费以后即可以打印准考证参加比赛；

二、加拿大滑铁卢大学系列（七到十二年级）

• 举办单位：加拿大滑铁卢大学数学教育学院加拿大数学与计算机教育中心
  （CEMC）

• 创办时间：1963 年

• 官网链接：

  http://cemc.uwaterloo.ca/contests/contests.html

• 要求：

1. 不接受学生个人报名，需要通过学校报名。

2. 允许带计算器进入考场。（带有以下功能的除外：上网；与其他设备进行通信的能力；先前存储信息；如公式,程序,指出,等；计算机代数系统；动态几何软件。不允许设备的例子是卡西欧ClassPad 300 系列,惠普'和TI-Nspire CAS。）

3. 不答的题可以空白（不超过十题）以确保学生答题有理有据不乱猜。

• 意义：加拿大的“数学托福”，考试面向全世界，是学生申请世界名校强
  有力的竞争筹码，且是Waterloo 数学学院各专业以及软件工程专业入学录
  取的重要指标，更成为学生申请该学院奖学金的重要考核标准。

• 参赛时间：

1、七、八年级： 高斯数学竞赛（Gauss）

• 参赛年龄：七年级、八年级和低年级感兴趣的学生

• 考试范围：各省教学大纲范围内

• 题型分值：A 组十题每题5 分，B 组十题每题6 分，C 组5 题每题8 分。25道选择题150 分

• 时长：60 分钟

• 特点：不答的题可以空白并得2 分（空白给分不超过十题）以确保学生答题有理有据不乱猜。

• 难度分布：A 组题目简单；B 组后三道题较难，C 组难度最大。

• 考察目标：观察力、思路和解题能力

2、九年级帕斯卡数学竞赛(Pascal)；十年级凯利数学竞赛（Cayley；十一年级费尔马数学竞赛(Fermat)

• 考试范围：不限于教学大纲测试范围

• 题型分值：A 组十题每题5 分，B 组十题每题6 分，C 组5 题每题8 分。25道选择题150 分

• 时长：60 分钟

• 难度分布：A 组题目简单；B 组较难可能超纲、C 组难度最大。

• 考察目标：测试逻辑思维和解决数学问题的创造力和洞察力。

3、2003 年新增要写过程的Fryer数学竞赛（九年级）, Galois数学竞赛（十年级）, Hypatia数学竞赛（十一年级）

• 考试范围：不限于教学大纲测试范围。

• 题型分值：4 道大题40 分。

• 时长：75 分钟。

• 考察目标：全面写出解题过程，考察解决数学问题的能力。

4、欧几里得数学竞赛（Euclid）

• 参赛年龄：十二年级/高中最后一级

• 考试范围：以高中数学课程为主包括高中最后一年课程内容，超出大纲要求。

• 题型分值：10 题共100 分，需要写解答过程，部分题目需要详解。

• 时长：2.5 小时

• 特点：这场考试是学生申请滑铁卢大学数学院奖学金的必备条件，也是美国、加拿大名校评估国际学生数学水平、入学资格及奖学发放的重要依据。

• 难度分布：题目较难。

• 考察目标：数学解题能力。

5、九至十年级的加拿大中级数学竞赛（CIMC）；十一至十二年级的加拿大高级数学竞赛(CSMC)：

• 考试范围：中级竞赛的题目内容以10 年级教学大纲为主，高级竞赛题目以
  高中最后一年的教学大纲为主或部分超出教学大纲内容。

• 题型分值：6 个题目要求只写出答案，3 个题目要求写出完整的解答过程。9题共60 分。

6、九至十二年级的加拿大团体数学竞赛

• 要求：6 名中学生（9-10 年级）组合参赛

• 时长：135 分钟，45 分钟团队合作题，45 分钟个人题目以及45 分钟数学接
  力。

7、Beaver 计算机挑战赛

8、加拿大计算机竞赛（CCC）

三、加拿大数学挑战公开赛（COMC）:

• 全称：Canadian Open Mathematics Challenge

• 举办单位：加拿大数学学会（Canadian Mathematical Society）主办，滑
  铁卢大学等协办。

• 官网链接：

  https://cms.math.ca/Competitions/COMC/2018/

• 意义： 发展学生兴趣和解决问题的能力, 作为加拿大全国奥数竞赛的入围
  赛，比赛的前50 名以及各区第一名有资格参加加拿大奥赛。第51 名至75
  名的选手还有机会参加一次CMO 的资格选拔赛（Canadian Mathematical
  Olympiad Qualifying Repêchage； CMOQR），成绩优异的依然有机会获得邀请进入加拿大奥林匹克数学竞赛候选队员行列。

• 举办时间：通常在每年十一月中下旬，2018 年11 月8 日在加拿大和美洲（北/南美洲任何地方的时区），11 月9 日在世界的其他地方。

• 报名时间：9 月1 日官网开放报名。

• 要求： 19 岁以下，并具有加拿大公民或居民身份的全职学生都可以报名参
  加。学生不可以自己报名，必须通过所在学校的数学系或老师报名。海外居
  住的加拿大人，符合以上要求的也可以报名。其他国家的代表队也可以报名
  参加比赛，以增加比赛的国际竞争力，但不会作为加拿大奥林匹克代表队的
  候选人。

四、加拿大全国奥林匹克数学竞赛（CMO)

• 全称：Canadian Mathematical Olympiad

• 举办单位：加拿大数学学会（Canadian Mathematical Society）

• 官网链接：

   https://cms.math.ca/Competitions/CMO/

• 举办时间：2018 年3 月28 日

• 要求：需要获得加拿大数学会的邀请才可以参加。能够获得邀请的参赛人资
  格分别为：加拿大数学公开挑战赛的前50 名；加拿大奥林匹克数学资格赛
  的成绩优异者；阿尔伯塔高中数学竞赛和魁北克省数学协会竞赛的前三名；
  以及在重大国际数学竞赛中的获胜者。

• 题型分值及时长： 5 道题,共35 分。3 小时完成。

• 结果：一般取前若干名, 组成加拿大国家队, 参加国际奥林匹克数学竞赛。

五、欧拉系列竞赛（用Euler 比赛统称这一系列）：

• 举办单位：Quebec 省Pierrefonds 的数学竞赛中心主办

• 意义：覆盖了小学三个高年级(G3-G6), 很好地填补了Waterloo 竞赛留下的
  这个空白. 它给就读于小学的孩子们提供了一个激发数学兴趣, 证明自己
  数学能力的极好机会。该项竞赛也是一个面向全国的赛事。

• 赛制：Euler 系列竞赛时间长短不一. Byron-Germain Contest 为45 分钟;
  Fibonacci Contest 为60 分钟; Pythagoras Contest 以上为75 分钟.

• 参赛时间：每年4 月举行.

   

   

六、其他各省数学竞赛：

• 官网链接：

   https://cms.math.ca/Competitions/othercanadian/

七、袋鼠数学（Math Kangaroo）：

• 地区：源于澳大利亚，风靡于澳大利亚、美国、加拿大、欧洲等地区

• 目的：激发学生对数学的兴趣

• 参赛年龄：一到十二年级

• 参赛时间：每年三月份的第三个周四

• 官网链接：

   https://kangaroo.math.ca/

第二部分：美国数学竞赛

一、AMC 系列数学竞赛：

• 全称：American Mathematics Competition

• 举办单位：美国数学协会MAA 主办

• 意义：试题具有高鉴别度，成绩作为评估学生数学能力的依据，斯坦福、麻

省理工、加州理工等名校会把AMC 成绩作为录取学生的重要指标。AMC 也是
美国中学校长每年重点推荐的活动之一。因此，每年有数百万来自30 多个国家和地区的学生参加该项赛事。

• 官网链接：

   https://www.maa.org/

• 参赛时间：AMC 10/12 A：2017 年2 月7 日；AMC 10/12 B：2017 年2 月15日

• 比赛构成：

  AMC8：针对初中生；

  AMC10：一般是9，10 年级同学参加，当然这些同学也可以同时参加AMC12；

• AMC12：11，12 年级的同学一般只能参加AMC12；

     AMC 是独立的比赛，不涉及晋级；AMC10 和AMC12 是美国奥林匹克数学竞赛系列的第一轮。

二、美国数学邀请赛：

• 全称：The American Invitational Mathematics Examination（AIME）

• 意义：美国奥林匹克数学竞赛系列比赛的第二轮

• 官网链接：

   http://www.amc-china.com/amc/aime.html（中国区链接）

• 题型：共15 道题，计时3 个小时，总分15 分

• 参赛资格：在AMC10/12 中表现优秀的学生（AMC10 中的前2.5%或120 分以上，和AMC12 的前5%或100 分以上），受邀参加AIME

• 参赛时间：AIME 在每年三月分两个日期进行，和AMC10/12 不同的是，学生只能选择一个参加，并且最好参加第一个；

三、美国数学奥林匹克竞赛（USAMO）

• 比赛时间：AIME 后6 星期举办

• 规则：由AMC 和AIME 综合排名前若干名进入USAMO，USAMO 前30 名参加MOSP（美国数学奥林匹克夏令营），最后从MOSP 中挑选6 名参赛者参加国际奥林匹克数学竞赛（IMO）。

   

   

四、美国初中数学竞赛（AJHSME）

• 比赛时间：每年4 月底的星期二举行

• 规则：参加对象为8 年级及以下年级学生，考试内容与7、8 年级数学大纲
  相联系。获得高分的学生被邀请参加美国高中数学竞赛。

   

   

五、美国高中数学竞赛（AHSME）：

• 比赛时间：一般每年二月初的星期二举行

• 规则：参加对象为高中或高中以下年级学生，主要目的是通过解决具有刺激
  共富于挑战的问题提高学生在数学方面的兴趣及能力；另一个特殊的目的是
  帮助在数学方面杰出的学生

六、美国区域数学竞赛（ARML）：

• 名称地位：又称美国地区数学联盟、全美高中数学竞赛，是美国参与人数最
  多，影响力最大的团队数学竞赛。

• 举办单位：美国各个地区都有着自己的代表队，每支队伍都由15 个人组成。ARML 比赛一共有四个Onsite Division，在美国四所大学举行，分别在University of lowa（依阿华大学）、Pennsylvania StateUniversity（宾州州立大学）、University of Nevada, LasVegas（内华达州立大学拉斯维加斯分校）、University of Georgia（乔治亚大学）同时举行。

• 参赛时间：2017 年4 月22 日，下午13:00-16:30

• 报名时间：截止2017 年4 月1 日

七、美国哈佛-麻省理工数学锦标赛（HMMT）：

• 举办单位：哈佛大学和麻省理工学院联合举办

• 参赛年龄和条件：

• 参赛时间：HMMT 每年都会有两场比赛，一个在11 月份一个在次年的2 月
  份。

• 报名时间：每年2 月和9 月。

• 官网链接：

   https://www.hmmt.co/reg/login/

• 比赛构成：HMMT 比赛一共有三个部分。
  1、个人赛（Individual Round）
  个人赛一共10 道题，需要同学们在50 分钟内完成。
  2、团队赛（Team Round）
  团队赛仍是10 道题，参赛队伍有60 分钟完成这10 道题。11 月赛是简答题，2 月赛则以证明题为主。
  3、挑战赛（Guts Round）
  Guts Round 一共有36 道题目，分为几个problem set。比赛时队伍需派出一个人领取第一个problem set。第一个problem set 做完之后可以领取第二个，直到80 分钟的比赛时间结束。

八、普林斯顿大学数学竞赛（PUMaC）：

• 举办单位：美国新泽西州普林斯顿大学主办

• 参赛规则：无论是在美高读书还是在中国上高中的同学都可以参加。队伍需
  要有8 名20 岁以下的队员和一位成年老师带队。可以跨校组队参加。

• 参赛时间：2016 的比赛时间为美东时间11 月19 日；2017 的比赛时间为美东时间11 月18 日。

• 报名时间：每年9 月。

• 官网链接：

   https://pumac.princeton.edu/info/registration/

• 比赛构成：
  比赛分为两个Division，Division A 和Division B。Division B 相较
  Division A 会简单一些。两个Division 都要求参加Power Round，Team Round 和Individual Round 的比赛。需要注意的是，如果你是和不同学校的同学组队参加比赛，那么就只能报名Division A。

九、斯坦福大学数学竞赛

• 2017 年度暂停举办

十、参与度较高的商业性及非营利性竞赛：

1、MOEMS（Mathematics Olympiads For Elementary and Middle Schools）

• 比赛时间：每年11 月开始到第二年3 月结束，每月一次分赛。

• 规则：分为中学组（6-8 年级）和小学组（4-6 年级），历史比较悠久，题目质量不错，在美国的参与度较高。题目有一定的深度和趣味性，组织形式相对灵活。

2、MathCounts

• 比赛时间：每年5 月举行。

• 规则：每个州送4 个人参加这个国家级的比赛。再从这224 名学生中角逐出4 名国家队，同时从中再角逐出全国冠军。

• 意义：在美国的影响力要远远大于MOEMS，为了培养大家对数学的兴趣，更好地热爱数学。最终决赛会上电视，有时获奖队还会接受总统接见，规格比较高。

十一、美国高中生数学建模竞赛（HiMCM）

• 全称：High School Mathematical Contest in Modeling

• 举办单位：美国数学及其应用联合会（COMAP）主办

• 意义：竞赛始于1999 年，比赛含金量极高，具有国际影响力，参赛成绩是
  申请美国、香港、新加坡名校的加分参考依据；是美本申请含金量最高类别
  的学术竞赛之一。HiMCM 2016 已经是第19 届了，相比AoCMM 全球计算与数学建模比赛，HiMCM 具有更高认可度，竞争也更加的激烈。

• 官网链接：

  http://www.comap.com/highschool/contests/himcm/himcmpayment.html

• 参赛时间：美东11 月4 日下午3 点至21 号下午8 点。参赛队伍可以在这个时间段内任意选择连续的36 个小时，在这个连续的时间内对比赛的题目建立数学模型并完成报告。

• 报名时间：2018 年8 月HiMCM 开放注册，美国东部时间2018 年11 月09日下午2 点注册截止。

• 参赛规则：大赛组委会设定现实生活中的问题作为赛题，通过参赛来提高学生的团队合作能力、数学应用能力、问题解决能力和论文写作能力。报名队伍可以由1 至4 个人组成，必须来自一个学校，参赛队伍必须由本校指导老师指导，报名注册需由指导老师完成。建模比赛一般都包括三大块工作：
  数学模型的建立，计算机编程处理数据，和论文的写作。所以，如果组成团队，分工合作，发挥团队中每个人的特长非常重要。同学们在寻找队友的时候也可以考虑这些因素。

十二、Who Wants to Be a Mathematician（简称WWTBAM，“谁想当数学家”数学比赛）

•  举办单位：The American MathematicalSociety（AMS 美国数学学会）

• 参赛对象：美国、加拿大和英国的高中生

• 参赛时间：2018 赛的入选考试时间为2017 年的9.11—9.25；决赛于2018年1 月13 日举行

十三、全球计算与数学建模竞赛（AoCMM）

• 全称：Association of Computational and Mathematical Modeling

• 举办单位：AoCMM 数学与建模协会主办

• 意义：全球计算与数学建模竞赛, 是一个从2015 年开始的数学建模比赛。
  相比更有名气且历史更久远的HiMCM（美国高中生建模比赛）和ICM／MCM（美国大学生建模比赛），AoCMM 的组队方式更开放，参赛费用也更便宜。另外，因为AoCMM 是一个刚刚成立的比赛，所以大赛官方也鼓励之前没有建模经验的同学参赛，用于尝试。

• 官网链接：

   http://www.aocmm.org/

• 参赛时间：2017 年参赛时间2017.9.27 - 2017.10.11。

• 报名时间：一般为参赛前两个月.

• 参赛规则：
  无论是在美高读书还是在中国上高中的同学都可以参加。队伍由1～4 名20
  周岁以下的队员组成。队员可以来自不同国家，不同学校自由组队（HiMCM 和ICM／MCM 的是队员必须来自同一个学校，不能跨校组队参加）。建模比赛一般都包括三大块工作：数学模型的建立，计算机数据模拟，论文的写作。所以，如果组成团队，分工合作，发挥团队中每个人的特长非常重要。AoCMM 团队比赛展示自身的数学能力，也强调团队的凝聚力和相互沟通能力。

十四、其他数学竞赛：

• BMT 加州大学伯克利分校

• CHMMC 加州理工大学和哈姆韦德大学

• Math Prize for Girls 麻省理工大学女生数学竞赛

• JHMT 约翰霍普金斯大学数学竞赛

• DMM 杜克大学数学竞赛

• BAMO 湾区数学竞赛

• Purple Comet！Math Meet 线上数学竞赛http://purplecomet.org
  注：图片和比赛信息来源于各大官网。

   

做有趣的事情、自己心甘情愿要做的事情，做起来就快乐；做枯燥乏味的事、不得不做而又不想做的事。做起来就痛苦。但这有趣或枯燥又因人因时而异，饮酒、下棋、踢球、学习数学都是这样。

学习数学的乐趣类似于下棋，是思考之乐，是挑战之乐。实际上，数学能给我们更多。

比如震撼感。随着对数学理解的不断深入。你会发现，原来世界上还蕴藏着如此奇妙的规律。爱因斯坦曾回忆说，当他在中学几何中学到“三角形的三条高线必交于一点”时，受到了很大震撼，他觉得这个世界上一定有更多这样的“奥秘”还没被人发现，这对他的一生起到了决定性的影响。奠定了他从事科学研究的决心。

比如力量感。曾经有很多几乎无法下手的难题，在掌握了一种思考方法后，每向前一步，就会有成千上万的问题迎刃而解。这时，人会忽然意识到自身的力量，而这种力量的增长往往是在几个小时 、一天之内就能获得的。曾被四则应用问题搞得焦头烂额的人，一旦学了列方程解应用题，就会感受到数学的力量。莱布尼兹谈到微积分方法时说，过去许多饱学之士百思不解的问题，一个掌握了这种方法的普通人就能轻易地解决，这就是数学的力量。

比如解放感。一开始学数学，会感到被很多“清规戒律”所束缚，但随着学习的深入，它们被一个个打破。一开始只能5减3，到后来3也可以减5了；一开始只有数字才可以相加，后来字母也可以相加、符号也可以相加……学习越深入就越有这种自由解放的感受。

还有科学之美，包括图形的美、规律的美和和谐的美。

“火是怎样被发现的?”有人说是取暖的需要，有人说是为了开荒，有人却说是因为原始人被火焰的跳动所吸引，决定将火种延续下去。这当然只是一个美丽的故事，但是学数学的人的确是会为数学魂牵梦绕。有位哲学家说，数学就是在看似简单的事物背后探寻美丽的规律。一个直角三角形一目了然，似乎很清楚明了，可是经过探索，发现里面隐藏着勾股定理。数学家不但能发现这些有趣有用的奥秘，而且能够论证，能够让你毫不怀疑地相信。而这些由前辈在千百年间千辛万苦开掘得来的珍宝，我们常常在一节课的时间内就能学到手、就能轻松欣赏。不亦乐乎?

好的教材、好的读物、好的老师，就应当向学生展示数学思维的美妙，引导学生体验震撼感、力量感、解放感和科学之美。

欧几里德在教授几何的时候，有个学生问，学几何能得到什么好处？欧几里德立刻吩咐仆人拿几个小钱打发他走。因为欧几里德认为，学习几何是为了提高心智、让人更接近真理，而不是获得实利。如果学生学习的目的只是为了升学，那么学习的趣味自然会大大降低，学习中就有被迫的感觉，就会痛苦。

现在大家都说要减轻学生的负担，主张课本内容简单。主张几何少一些推理，主张取消奥数培训班。其实，这都是头痛医头、脚痛医脚的办法。学生不怕学得多，怕的是考得多。如果只是把课本编得简单一些，但考试仍然很难，那么学生就不会真正“减负”。

我主张“多学少考”：课本不妨略深一点，因为如果学得深度不够，学生很难体会到数学的趣味；而考试简单一些．孩子们才能在轻松中寻找数学的乐趣。

为什么现在考试不能简单呢？为什么有家长逼孩子上奥数班呢？根源是升学考试的竞争激烈。为什么升学考试的竞争激烈呢?因为教育资源分配不太均衡。大家都想上好的学校。我们的考试总是想把少数高分区分出来，让一些好学校把高分学生一网打尽。这就有了问题：好学校究竟是学生入学水平高呢，还是教学质量高呢？如果考题容易一些，基本上就是教材上的习题，学生负担自然轻了。这时就会出现大批满分的考生，就有利于学生分布的均衡，对于提高后进学校的水平、对于锻炼名校教师的能力都是好事。再说，高分尖子学生集中在一起未必有利于成才，一把豆子撒开在田里会长成一棵一棵豆苗，放在一个碗里，即使有水有肥，也不过一碗豆芽。不从深层次考虑，课本简单了，老师会给补习，学校的奥数班被取消了，社会上会有人来辅导，有需求就会有供应者。

此外，在小学和初中的课程设置中要加强对几何的学习，而不是像现在这样轻几何而重数学运算。美国是在数学教育方面花气力最大的国家，但是连美国人自己也承认他们的数学教育收效不大。

我认为，其中一个重要的原因就是他们从20世纪60年代开始。在教材中将几何砍掉得太多了。图形不是枯燥的，是容易理解的。一开始学数学，孩子们可能还不能理解数学的很多妙处，因此应该通过图形的运动变化吸引他们的兴趣。随着学习的深入，逐步引导孩子用代数、运算的方式直至微积分的方法解决几何问题。

同样，教师对培养孩子们的数学兴趣能起到至关重要的作用。我认为，最糟糕的教学就是让学生在学习一个公式后做几十个类似的题目。数学教学的改革也不能只着眼于讲什么、不讲什么，先讲什么、后讲什么，教师应该下功夫研究在课本之外有没有与众不同的、更好的表达方式。不但教学生算，更要教学生想。奥数总是让选手在4个半小时里做3道题，就是提倡深入思考，所以有些选手后来成了出色的数学家。