1.对于可以提交手写答案的题目，在"Submit Answer"的右侧，你可以看到有一个"Write Steps"按钮。建议在平板电脑上登录并点击"Write Steps"：

2.稍等一会，系统会引导你到上课的手写界面，并自动帮你加载题目。等题目加载完成后，你可以直接手写作答了。

3.手写完成后，一定记得点击上面的"Save"按钮保存你的手写答案；

4.单页如果写不下，可以继续手写作答，然后点击"Save"按钮保存；

5.全部手写完成点击上图中的"Finish"按钮返回到原来答题界面，点击"Submit Answer"完成此题的全部作答。

6.如果希望在纸上作答的同学，可以用电脑点Upload按钮上传纸上答题步骤的图片，或者使用PAD点Upload按钮后按照提示操作直接拍照上传：

下面简单介绍一下通过数据对比和2018年美国数学竞赛AMC 8真题分析看到的五个趋势：

趋势一：

题目越来越难

之前在整理AMC 8历年真题的时候我们发现，近些年的题目感觉是越来越难，而2000年前后的真题好多都可以心算给出答案，感觉那个时候的考生好幸福啊

AMC 8最近三年的分数分布报告再次印证了我们的感觉。

先来看看2016年的分数分布报告：

这是2017年的：

这是2018年的：

可以看到，在总体参赛人数差不多的情况下(每年10万左右的参赛选手)，2016年有268人获得满分，2017年75人获得满分，2018年只有45人获得满分。

2016年需要做对22道题才能进入全球TOP 1%,2017年做对20道题就可以进入全球TOP 1%，2018年只需要做对19道题就可以进入全球TOP 1%。

2016年的平均分是9.36，2017年的平均分是8.96，2018年的平均分是8.51。

各项数据都表明，AMC 8的总体趋势是越来越难。

趋势二：

出题点紧靠历年真题报告

如下为AMC 8历年真题数据分析报告中的Top 6知识点：

如下为2018年AMC 8真题数据分析报告中的Top 6知识点：

可以看到面积、概率、比率与历年真题数据分析报告吻合，占据了TOP 6的三席地位。尤其是面积题，今年居然出现了6道题，近四分之一的题量，足见AMC 8出题者对于几何面积题是何等偏好了。

2018年AMC 8的一个特点是排列组合、数论及余数的比重加大，这也是北美数学竞赛的热门套餐。

中国学生比较擅长的行程问题在今年的比赛中表现得比较明显，出现了2道，值得关注。

趋势三：

面积往立体几何方向发展

几何面积题一直是AMC的重头戏，因此今年有6道几何面积题也不会让人觉得奇怪，最难的一道几何题是以立体几何的面孔出现的。

在往年的考题中，立体几何在AMC 8中出现的频率很低，一般在AMC 10中比较多见。

下面我们来看看这道估计难倒了不少考生的立体几何面积题：

原文翻译如下：立方体ABCDEFGH中，J和I分别是FB和HD的中点，求EJCI和立方体一个面面积之比的平方?

很容易证明EJCI是一个菱形(因为EJ=JC=CI=IE)，菱形的两条对角线互相垂直，菱形的面积等于两条对角线之乘积除以2，假定立方体的边长为1，通过勾股定理很容易得到JI=√2，CE=√3,因此EJCI的面积√6/2,面积之比的平方就是6/4=3/2，答案为C.

熟悉立体几何的同学估计心算就可以给出答案，没学过立体几何的同学估计会被题目吓一跳。

趋势四：

组合往多维方向发展

排列组合题因为融入了一些数学智慧，需要构造容易理解的数学模型以套用常见的数学方法，因此常常是北美很多数学竞赛的座上客。

排列组合和概率题看着都不难，只要有足够的时间，大部分同学都可以通过拼拼凑凑找到答案，大不了把所有的分支都写出来。

在赛场上，时间才是制胜的法宝。好些同学不能胜出不是因为做不出来，而是因为在时间和准确性方面不能胜出。

因此如何快速识破题目背后隐藏的“根”(或突破口)至关重要，下面我们来看看第19题：

原文翻译如下：

在上面这个四层符号金字塔中，上面的符号由它下面的两个符号相乘得到(也就是计算机里面的异或操作)，如果想要最上面一个为+号，有多少种不同的填充方法?

初看这道题，没有人会想到这与排列组合有什么关系。一般的排列组合题都是在一个维度上面进行排列，套用乘法原理获得排列数进而得到组合数。今年有两道题是在2个维度上进行排列组合，如果不能构造出来兼容的数学模型，往往不好套用排列组合的方法和原理解题。

大部分同学会采用尝试填充的方式，一种方法一种方法去试，最后发现最下面的一行只能有4个+或4个-或2个+两个-，最后得出1+1+2C4=8的答案，耗时较长，很难证明，也就无法确认自己是否真正选对了答案。

其实如果能够看懂下面这张图的同学，应该可以在数秒之内得到此题答案为:2X2X2=8，选择C。

简单说明如下：红色的三个格决定了整个金字塔的格局(在最上面一格为+的前提下，左下方的格都可以由上面的格和右边的这个格决定)，套用乘法原理，共有3步确定红色格，每步2个选项(+或-)，因此答案是:2X2X2=8。

趋势五：

数论往大数方向发展

今年的数论和余数相关的题目占比较大，最后以一道近似估计数论题压轴，涉及的数字很大，接近往年AMC 10的水平。

题目描述很简单：

原文翻译如下：在2^8+1和2^18+1中间有多少个立方数？

此题不但需要有很好的计算能力，还需要对指数运算比较熟悉。

计算能力好的同学很容易得出2^8+1=257，而6^3=216,7^3=343,所以题目的下界很容易找到，第一个符合要求的立方数是7^3；

而对于上界2^18+1则不容易通过计算算出结果，需要使用指数运算法则做一些近似处理，2^18=（2^6)^3=(64)^3<2^18+1,因此上界为64；

最后得到：64-7+1=58个数，答案为E。

总      结

“稳中有变，难度加大”是2018年美国数学竞赛AMC 8真题数据分析后传达给我们的信息。几何面积是热点，组合和数论比重加大，仍然是备考AMC 8的学习重点。

今年AMC 8的考场外，很多考生都反映时间不够用，后面几道题没有时间看，有一些是靠猜的。在40分钟内完成25道有难度的数学题，每道题需要在96秒内完成，对考生来说是一个大挑战。看到题目后是否能够马上激活学过的知识点并生成解题模型，快速准确地找到答案，是能够在AMC 8中胜出的关键。

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美国数学竞赛8年级(AMC8)历年真题数据分析报告

AMC美国数学竞赛10年级历年真题数据分析报告兼谈数学与职业的结合

一、欧几里得数学竞赛简介

欧几里得数学竞赛（Euclid，本文简称“欧几里得”）由滑铁卢大学数学学院的数学与计算教育中心(CEMC)组织，主要针对12年级的学生，低年级学生如果感兴趣，也鼓励参加。在该项竞赛中取得前25%的学生将获得证书。2018年有22,695名选手参加了这一数学竞赛，参赛人数地区分布如下：

这场考试由于其考察标准的严格性和专业性，代表了滑铁卢数学竞赛的最高水准，是加拿大和美国名校评估国际学生数学水平、入学资格及奖学金发放的重要依据。（尤其对于有意申请滑铁卢大学的学生来说，Euclid竞赛的成绩比AMC竞赛的成绩更具说服力。）

Euclid数学竞赛一般都是在每年4月举行。2019年的竞赛将于4月3日进行。Euclid竞赛有10道题目，要求在2.5小时内完成。满分是100分。有些题目只要求最后答案，大部分题目要求写出解题过程。

青睐于在滑铁卢大学数学竞赛中获得优异成绩学生的大学专业包括：

二、历年真题数据分析报告

为了帮助更多的同学应考欧几里得，获得申请美国和加拿大名校入学资格及奖学金，我们对欧几里得历年真题进行了分析，整理出来这份数据分析报告：

欧几里得的题目都是大题，每道大题包含2到3道小题。

试卷的总体结构是：前面2道送分题；中间6道基础题，稍有一些难度，基础好的同学都可以解出；最后2道是难题，需要很长的解答过程，其档次和难度与前8题非常明显，能否搞定后面两道题是竞赛能否胜出的关键，对数学知识背景和思维深度都有较高的要求。

下面以排在前面的几何面积、方程应用、解析几何(直线方程和抛物线)、三角函数为例说明历年真题的出题趋势。

1.几何面积是考察重点

从2000年开始，欧几里得的题目比较倾向于考察几何（包含平面几何与解析几何），占比约35%。在21年的考题中，立体几何考的概率极小，仅在2017年出现过立体几何的题目。

一般来说几何题基本是要你计算面积或边长，或者证明面积分割或边长的比例关系或大小关系。

处理这类题目一般常用的技巧就是利用相似三角形或者勾股定理构建等量关系求解，勾股定理应用这一知识点排在第二名的位置。

如果数量关系不好构建的话，可以试试建立平面直角坐标系，使用解析几何的方法解决。

欧几里得的很多几何面积题，只要深刻理解几何图形的面积公式的推导过程并能够灵活应用，往往能够另辟蹊径，找到非常巧妙的解答方法。

例如欧几里得2013年的第9题，属于一道重点难题：

题目翻译中文：

(a)正方形WXYZ边长为6，正方形EFGH边长为10，求证：梯形EFXW和梯形GHZY的面积之和与位置无关；

(b)任意的小正方形PQRS放在大正方形ABCD中，将两个正方形中间的面积分成四部分。如果两个正方形的边长不平行，求证APSD与BCRQ的面积之和与ABQP与CDSR的面积之和相等；

此题乍一看绝对是一道难度很大的几何题，就连滑铁卢官方给出的解答也超过两页纸。

说实话，官方的解答有些啰嗦，因为如果能够看明白图中各个几何图形之间面积的关系，稍微做一些变换，不难给出证明。

先看(a):

直接根据梯形面积公式，合并一下即马上得到答案：

再来看(b):

我们会想到利用(a)中的结论，容易构思出(a)中需要用到的正方形WXYZ：

容易证明图中4个蓝色三角形是全等的。

如果假定大正方形和小正方的边长分别为x和y的话，利用三角形的面积公式，也很容易看出r+n=s+m=|QX|(x-y)/2;

而由(a)的结论，我们有:

证明完毕。

感兴趣的同学可以对比一下滑铁卢官方给出的解答：

2.用方程来解决实际问题的能力很重要

设未知数，根据题目提供信息构建等量关系方程，进而找到问题的答案，是我们获得的最有用数学工具之一。这一能力的考察在欧几里得中得到了充分的展现。

很多看起来难度很高的数学题，只要我们通过未知数找出数量关系，都可以找到突破口迎刃而解。

在实际解题过程中，大家不要害怕未知数过多，因为大多数时候，我们关心的是局部未知数或者未知数整包之间的关系，不需要知道单个的未知数是多少。

这一思想在前面的面积题中大家应该已经看到了。

我们再来看看2001年欧几里得的第9题，这也是一道重点难题：

题目翻译成中文为：直角三角形ABC和直径三角形PQR的边长都为整数，三条边对于平行并且距离都是2，三角形ABC的面积为三角形PQR面积的9倍。请问有多少个这样的三角形ABC?

此题如果不使用未知数构建方程来解答，几乎是不太可能的，因为题目要求的答案太广泛。有经验的同学一看这种题的提问很自然就会想到构建一个不定方程，通过“边长为整数”这一有利条件筛出答案。

这道题有两个信息可用：

A.三边对应距离为2且面积比为9:1

要使用这一条件，很自然想到可以利用面积等量关系构建一个方程，将大三角形ABC划分成3个梯形和一个小三角形PQR,大三角形ABC的面积正好等于三个梯形与小三角形PQR的面积之和。

而数字2正好是三个梯形的高。

利用相似三角形的性质，面积之比为9:1，边长之比则为3:1。

如果假定大三角形ABC的边长为a,b,c，小三角形PQR的边长则为a/3,b/3,c/3,如图：

利用面积公式，很容易得到第一个等量关系方程：

上述方程化简后为：

ac=3c+3b+3a

别忘了我们还有一条信息没有用：

B.三角形ABC为直角三角形

这正是勾股定理的用武之地:

b^2=a^2+c^2

也就是说b可以用a和c来替换掉，完成这一替换，我们最后得到：

到这里需要用一点数论知识了，如果要让c为整数，a-6只能为18的因数，根据这一条件很容易做出下表：

因此本题的答案为(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15).

3.解析几何题目比重很大

欧几里得与其他滑铁卢数学竞赛系列对比，一个比较明显的特点就是欧几里得注重解析几何的考察，这应该是为了做好与微积分学习的衔接，因为解析几何的知识点是微积分必备的预备知识。

直线方程基本上每年都会考，不过题目都比较简单，有一些送分题，以斜率、直线上点的坐标、点与点距离、面积等考察得最多。

一元二次方程和抛物线是考察重点，平均每套试卷里面有2-3道类似的题。考察点包括韦达定理、曲线交点、求根公式、面积、最大值和最小值、顶点坐标等，题目都不难，只要对曲线方程的一些性质比较熟悉，都可以快速写出完整答案。

下面以2007年第9题为例说明这一类型的题目考察知识点的直接性，此题在当年也是以重点难题出现：

题目翻译成中文为：抛物线y=f(x)=x^2+bx+c和y=g(x)=-x^2+dx+e的顶点分别为P和Q,这两天抛物线的交点也是P和Q,求证：

(a)2(e-c)=bd;

(b)经过P和Q的直线方程的斜率为(b+d)/2并且与y轴的交点是(c+e)/2;

先看(a),根据抛物线的顶点公式，f(x)顶点的横坐标是x=-b/2,而f(x)和g(x)都经过P点，按照题意构建一个等量关系再化简一下就可以解出：

(b)更简单，直接根据抛物线顶点公式，可以得到f(x)的顶点P的横坐标为-b/2,纵坐标为：

g(x)的顶点Q的横坐标为d/2,纵坐标为：

套用直线斜率公式，马上得到：

利用斜率和直线上的一点P,立即得到直线方程：

因此直线的纵坐标为(e+c)/2。

都是解析几何基础知识。

4.三角函数出题的频率很高

统计欧几里得21年的所有真题后，我们发现除了2015年只是简单地通过余弦定理考察了一下三角函数以外，其他年份三角函数是每年必考，有的年份还有2-3道，例如2018年有2道，2016年有3道......足见三角函数在欧几里得中的重要地位，这也是微积分的重要预备知识。

根据加拿大数学教学大纲，三角函数是12年级的教学内容，因此如果想在11年级或更早参加欧几里得竞赛的话，需要提前学习相关内容。

三角函数因为牵涉到和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式、万能公式、正弦定理、余弦定理等诸多内容，可以出题的点很多。同学们无需死记硬背公式，只要深入理解各个公式的基本意义，考试时忘了仍然可以推导出来。

只要理解了三角函数公式的推导过程，欧几里得基本就没有三角函数的大难题了，以2017年第6题为例：

题目翻译成中文就是：

(a)如图两个山脚在0点相交，夹角分别为30度和45度，OA=OB=20m,AC和BD为垂直地面的杠，CD为连接AC和BD的电缆，如果AC=6m,BD为多高时CD最短?

(b)如果 cosθ=tanθ,请确定所有的sinθ,用准确的简化数表示；

先看(a),补充一下辅助线，做出下图：

点C和直线BD之间垂线段CX最短，CX=PQ,因此BD=BX时CD最短。此时：

PC=PA+AC=20*sin30°+6=16(m)

BQ=BO*sin45°=10√ 2 m

BD=PC-BQ=(16-10√ 2)(m)。

再看(b),只要利用正弦和余弦的平方关系,很容易转化为一个一元二次方程：

利用二次方程的求根公式，并根据 -1<=sinθ<=1,立即得到：

三、总结

通过历年真题的数据分析，我们发现欧几里得数学竞赛堪称对中小学数学知识掌握水平的一次大检阅。对平面几何、解析几何、数论、排列组合、概率、代数等领域都做了深入考察，尤其是直线、圆锥曲线、三角函数、多元方程组、多项式、指数函数、对数函数、幂函数等微积分预备知识。

更为重要的是，欧几里得大部分题目要求参赛者写出完整的解答过程，这对于大部分习惯了做多项选择题的北美学生来说，绝对是一个高难度的挑战。

在加拿大教学实践中我们发现，很多11年级的学生仍然很难写出完整的解答过程，这应该与学校数学教育平时要求少有很大的关系。多数同学因为平时练得少，基础不牢，一些常规的数学知识点到用的时候没办法激活，一旦进入微积分学习就会觉得困难重重，鸭梨山大。

因此我们建议，对于那些大学专业绕不过微积分的学子们来说，在11-12年级参加欧几里得数学竞赛是很有必要的，最后两道难题可以做不出来，前面八道题是对微积分预备知识理解深度检阅的一次好机会，这份经验将很好地帮助你过渡到微积分学习。

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最近有家长告诉我，孩子学习AP微积分觉得压力山大。

我了解情况以后发现，孩子们觉得微积分难学的主要原因其实是没有理解微积分是用来干什么的，当然还有一些孩子是因为基础没过关造成了理解上的困难。

于是就有了下面这篇文章，分享给大家，希望帮助孩子们更好地理解微积分，化解学习压力。

要理解微积分，有必要谈谈微积分产生的背景，我们先从圆周率π谈起吧。

一、π的历史——理解微积分的经典

我们都知道圆的周长和直径之比就是圆周率π，π介于3.1415926和3.1415927之间。

那么这个π是如何计算得来的呢？

下面简单回顾一下π产生的历史：

约公元前1900年至1600年的一块古巴比伦石匾上，采用内接正方形的方式，记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。

古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。他先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。

接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。

他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他得出3.141851 为圆周率的近似值。

这种方法随后被2位中国古代数学家发扬光大。

公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”，求出3072边形的周长，得到令自己满意的圆周率≈3.1416。

南北朝时期的数学家祖冲之得到3.1415926＜π＜3.1415927的精确值，在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的！

祖冲之是通过求出圆内接正12288边形和正24576边形的周长得到的

法国数学家韦达（1540-1603年）开创了一个用无穷级数去计算π值的崭新方向。

1706年，英国数学家梅钦率先将π值突破百位。

1948年英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。

1949年，美国人赖脱威逊利用ENIAC计算机花了70个小时把π算到2034位，一下子就突破了千位大关。

1955年，一台快速计算机在33个小时内把π算到10017位，首次突破万位。

1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer用电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。

2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位；

......

在π的计算方法中，大家可以看到微积分产生的第一个概念：

用折线逼近曲线,通过计算折线的长度获得曲线的近似长度。

曲线的长度不好计算，而折线的长度好计算，如果折线与曲线足够接近的话，可以认为折线的长度就是曲线的长度！

说到足够接近，多少才算足够呢？

从古巴比伦时期的正4边形

到阿基米德的正5边形

正6边形

正12边形

正96边形

再到刘徽的3072边形

再到祖冲之的正12288边形

正24576边形

再到无穷级数

......

折线段越多，意味着越接近最终的圆，意味着圆周率的精度越高。

可是这玩意什么时候是个头呢？

这个头就是微积分的第二个概念——

二、极限——微积分的启蒙

我们说这个头就是极限，这个最后的极限就是圆周率π。

我们无法用一个准确的小数把它表示出来，但是我们知道：

当我们的正多边形的边越来越多的时候，这个正多边形的周长会无限接近真实的圆周率π。

到底如何说明无限接近呢？

在数学上，我们只能用数字来进行刻画：

无论你找到一个多么小的数，我们都可以找到一个边数足够多的正多边形，让这个正多边形的周长和π的偏差小于你给的这个数。

这就是对极限概念最基本的理解。

在数学上极限往往与函数图像的连续性关联起来进行讲解，我们再来看一个例子。

构想一个画面:

如图所示，4.00时刻的画面由于缓冲跳过了。我们无法得知这个时刻球的位置，但是我们可以作出一个估计：

4.00时刻球在3:59和4:01球的位置之间的某个位置上。

由于现实世界中球的轨迹是连续的，所以这是一个很不错的估计。

但是！如果在3:59.001时球突然被外星人以极快的速度吸走，在3:59.998时按照原来的速度和方向放回来，那么我们的估计就不正确了（尽管这不太可能发生，但是必须考虑）。

那么，如果我们把镜头放慢，慢到看得清外星人的存在，我们把外星人出现的“3:59.001和3:59.998"的位置去掉,那么我们可以重新做一个更准确的估计：估计球4:00的位置为“3:59.999和4:00.001的位置之间”。

可以感性地得知，在本例中，当这个缩放级别越小时，我们便越有信心估计球的位置（如果在某个级别中发现球的位置发生了意外的变化，那么就很有可能要推翻前面的估计，需要进一步缩小级别来确定球的位置）。

理解了上面的例子后，我们来看一看官方对极限的定义:

lim(x->c)  f(x) = L

means for all real ε > 0 there exists a real δ > 0 such that for all x with 0 < |x − c| < δ, we have |f(x) − L| < ε (对于所有ε>0，存在一个δ > 0，使得对于所有x满足0 < |x − c| < δ，都有|f(x) − L| < ε)

也就是说，如果这个估计是正确的（或者说无限有信心的），那么对于一个任意小误差范围ε，总可以找出一个缩放级别δ，令所有与c距离小于δ的x（0 < |x − c| < δ），都满足f(x)的值和L之间的距离在误差范围ε内。

极限存在的必要条件是“对于任意小的误差范围总可以找到相应的缩放级别”，这个条件保证了不会漏掉“中途被外星人吸走又放回去”的情况。

有了极限的概念，我们就可以进入下一章节啦！

三、微分和导数的本质是变化率

微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具（大师就是厉害）。

因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数（牛顿称之为“流数”）。

在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求平均速度：

如果我们把时间跨度取得更小一点，就可以得到瞬时速度：

这个瞬时速度实际上就是变化率

这个变化率其实也是该点切线的斜率

在前面我们提到了微积分的基本思想是“以直代曲”：

“以直代曲”的意思就是，切线可以在切点附近很好的近似曲线：

下面这幅图说明，如果在曲线上多选几个点，都作出附近的切线，我们可以透过切线看到曲线的轮廓：

导数就是为了完成“以直代曲”这个任务的数学工具

有了导数，于是微分里面的dy、dx等概念就应运而生了

用极限概念表示x点的切线就是：

用图来表示这个求极限的过程就是

好，微积分的微分概念我们说完了，下面再来看看积分

四、积分的本质是面积

积分是微分的逆运算。

先来看图，下面是一个一次函数 y=-x+4：

我们的目标是求蓝色区域的面积。

这个学过三角形面积的同学都会，底X高/2=4X4/2=8。

我们也可以用一种更加通用的方法来求蓝色区域的面积，可以做如下切分：

我们说这个蓝色区域的面积其实就是所有这些红色长方形的面积之和。

虽然目前看起来所有红色长方形的面积之和与真实的三角形还有些偏差，但是如果我们的切分足够细的话，套用前面的极限概念，所有红色长方形的面积之和的极限就是真实的三角形面积，而且可以用这个方法去逼近任意曲线，像这样：

好了，那么如何求出这些红色长方形的面积之和呢？

用微积分的观点来看，就是要求:

学过微分（导数）以后，我们知道，如果一个函数的导数是-x+4,那么这个函数就是-x^2/2+4x+C,即：

请看下图的计算方法

根据上图，如果我们把所有红色长方形的面积加起来，根据导数的定义，中间很多相同项都可以抵消掉，最后我们得到：

所有红色长方形的面积之和=f(4)-f(0)=8.

上述计算方法可以应用到任意曲线下面面积的计算，这就是微积分思想最强大的地方！

理论上说起来，如果你能够看到这里，微积分概念的基本架构在你的脑子里面已经初步形成了，接下来要做的事情就是按照如下架构图往里面塞不同的内容了。

五、微积分学习的架构图

下面是部分微积分学习内容的思维导图，请大家可取所需。

1.极限与连续

2.导数的概念及求导法则

3.函数的微分及函数的线性逼近

4.定积分

5.不定积分的概念和性质

6.微积分预备知识

要学好微积分，需要有一定的数学基础知识，包括集合、映射、函数概念和特性、幂函数、指数函数、对数函数、自然对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数等。

限于篇幅，此部分内容太多无法在此文中一一列出，仅画出三角函数的恒等变换公式，就有下面这张大图：

其他更多微积分高级章节本文不再赘述，需要的朋友可以单独和我们联系。

六、微积分为什么如此重要?

微积分最重要的思想就是"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,对每一小块都可以当成常量处理,所有小块最终加起来就可以得到全部。

在微积分里，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

这一数学思想正在影响着科学研究的方方面面，与实际应用相结合并逐步发展，它在人工智能、天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学、应用科学等多个领域中，都有着越来越广泛的应用。

计算机技术的日新月异正在加速这些应用的高速发展。

在人工智能时代，微积分作为人工智能技术三大数学支柱之一，在机器学习模型训练过程中，其作用主要表现在两个方面：

1.在神经网络的期望值和实际值差值函数中找到梯度计算的快速下降方向，从而使得机器学习的训练模型能够快速收敛，缩短模型的训练时间；

2.反向传播时调节神经网络中各参数的权重；

因此希望正在学习微积分的同学们不要吝惜今天付出的时间，多思考，多琢磨，你们将来在职场上获得的回报会感谢今天在微积分学习过程中所做的努力！

但愿本文能够对正在或将要学习微积分的同学有所帮助，我们正在整理AP微积分(AB/BC)的历年真题，会在Rootofmath .com 基础数学题库中分享给大家，需要的同学请及时关注。

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加拿大可"玩"的数学竞赛

黑格尔曾说过，逻辑是一切思维的基础.

数学是思维的体操，很自然就成了逻辑思维训练最好的手段。

正因为此，越来越多的家长认识到了逻辑思维训练在孩子学习和成长过程中的重要性，希望我推荐几本适合低年级孩子的逻辑思维训练书籍。

英文出版物方面，我在Amazon.com上面进行了对比，目前认可度比较高的是《Building Thinking Skills》系列：

中文出版物方面，我在豆瓣上面进行了对比，排在前面的是华文出版社于海娣主编的《逻辑思维训练1200题》：

特意购买了一本进行阅读，书中介绍了排除法、递推法、倒推法、作图法、假设法、计算法、分析法、类比法、推理法、判断法、综合法等11种解题方法，精选了1200道号称“世界上最顶级的逻辑思维训练题”。

分析了一下本书标注最难的一些逻辑思维题，将其与数学竞赛题进行了对比，发现大部分题目也就是Kangaroo袋鼠数学竞赛（下面简称袋鼠）3到4年级的水平。

说到袋鼠，有必要简单介绍一下：

一、Kangaroo袋鼠数学竞赛简介

袋鼠起源于欧洲，重点测试考生的逻辑思维，创造性，空间想象等多方面的数学综合能力。

试题按难度分ABC三大类别，全为多项选择题。1-2年级18道试题，考试时间为45分钟，3-4年级24道试题，考试时间为60分钟，5-12年级30道试题，考试时间为75分钟。A类题每题3分，B类题每题4分，C类题每题5分，做错的题目倒扣一分。为避免零分，记分分别从18，24和30开始。

袋鼠由于试题新颖有趣，能有效地测试考生的逻辑推理能力，又有益于培养学习兴趣，越来越受到教育专家的推崇。

每年全世界有数百万中小学数学爱好者参加这一数学竞赛。 

自2006年开始，加拿大已经连续举办了十多年，每年有数十万一至十二年级加拿大学生参加这一赛事。

袋鼠堪称“逻辑思维题的盛宴”，之所以这么说，是因为大多数题目并不需要高深的数学知识，却对选手的逻辑思维能力考察更多。

为了帮助大家了解并抓到袋鼠，我们整理了加拿大、美国、新加坡、奥地利、巴基斯坦等几个国家近年来3-4年级的考试真题，经过查找资料、入库、整理校对、标注、数据分析等过程，将如下结果分享给大家：

二、数据分析报告

下面以基础运算、数图形、数谜、逻辑推理为例，让大家看看袋鼠是如何与逻辑思维完美结合的吧！

第一名 Basic Calculation-基础运算

袋鼠的许多基础运算题超越了纯粹意义上的加、减、乘、除四则运算，与逻辑思维进行了一定程度的融合，需要选手们有一定的观察和分析能力，找到问题的突破口，然后顺根摸瓜，一步一步地找到答案。

这是新加坡袋鼠2017年第16题：

原文翻译如下：圆圈中的?是什么数?

此题初看，如果不细心观察，会有一种"巧妇难为无米之炊"的感觉，里面的圆圈都是空的，从哪里开始算啊?

...

...

事实上呀，看看下图就豁然开朗啦

第二名 Diagram Counting-数图形

我们发现北美低年级（7年级以下）的数学竞赛对数图形（Diagram Counting）的题目有一个偏爱，估计袋鼠是源头。

此类题目都不难，基本上所有人都可以数出来大部分结果，难就难在给出准确的答案。

要解决此类问题，孩子们最需要培养的是逻辑分类能力，必须先仔细观察，做出科学的分类，然后把所有图形都落到这些分类里面，达到如下要求：

1、没有重复；

2、没有遗漏；

这八个字说出来简单，做出来就不容易啦。不做逻辑分类的孩子上来就数，数到后面会发现忘了哪里数过了，哪里没数过，要么重复，要么遗漏，最后给出的答案十有八九都不准确。

先看新加坡袋鼠2015年第22题：

题目原文翻译如下：上图中格点水平方向和垂直方向的距离都是一样的，Ann连接其中的任意四个点得到一个正方形。请问可以得到多少个面积不一样的正方形?

第一分类(大多数人都可以看出来)：

红、蓝、绿三个正方形的面积分别是1、4、9；

第二分类(能够找到的孩子就不多了)：

紫色正方形的面积是2；

第三分类(能够找到的孩子就少之又少了)：

粉色正方形的面积是5；

综合三个分类，可以找到面积为1、2、4、5、9的正方形，因此答案选D。

再看看加拿大袋鼠2017年第24题:

题目原文翻译如下：Josie有多少种方法可以从如下的这个长方形里面裁剪出来正好有一个黑色小正方形的T形图?

由于满足要求的T形图都叠加在一起了，不做分类的同学很容易发生遗漏或重复，有逻辑分类思想的孩子可以通过分类寻找的方法快速准确地给出答案。

第一分类：T形图中间C为黑色，可以找到如下图的红、蓝、绿、紫4个：

第二分类：T形图A为黑色，可以找到如下图的红、绿2个：

第三分类：T形图B为黑色(根据对称性，D为黑色与B为黑色是一回事，因此算一个分类)，可以找到如下图的紫、绿2个：

三个分类加起来一共是4+2+2=8，答案为D。

第五名 Number Puzzle-数谜

做过数独游戏的朋友都知道，这类题目与逻辑推理密切相关，只要找到一个突破口或者假设成立，就可以顺根摸瓜，把所有的数一步一步地找出来。

数谜题在北美数学竞赛中屡见不鲜，在滑铁卢、AMC等系列比赛中出现的频率都非常高，成为检验孩子们逻辑推理能力的一个最有效手段之一。

数谜题本身也有无数方向的变种，例如加拿大袋鼠2017年第22题：

题目原文翻译如下：Zosia在下图表格中藏了一些笑脸，在一些格子中她写下了与本格相邻的所有格子包含的笑脸个数，两个格子相邻是指它们有一条公共边或者一个公共角。请问这个表格中藏了多少个笑脸?

玩过早期Windows自带扫雷(Mine Sweeper)游戏的朋友一定会惊呼：这不正是扫雷游戏吗?

没错，此题就是来源于扫雷游戏！

下面我们用逻辑推理的方法看看如何把所有的雷（这里是笑脸）一步一步地找出来吧。

为便于描述，我们把所有的格子先编个号吧：

第一步，找到本题的突破口B,B的邻格只有3个，而它的邻格中有三个笑脸，显然A、F、G都是笑脸，我们用绿色圆圈标出：

第二步，看K,因为它的所有邻格中只有2个笑脸，而我们已经在其邻格中找出2个笑脸，所以J、N、O、P、L、H中不会再有笑脸，我们有粉色线标出：

第三步，看C,它的所有邻格中有3个笑脸,已经找出2个，剩下只有D邻格可用了，所以D必须为笑脸：

第四步，看E,它所有邻格中的2个笑脸都已经标出,所以I不是笑脸：

第五步，看N,它所有邻格中有1个笑脸，只有M尚未标出,所以M是笑脸：

DONE!

扫雷完毕！

现在轻松数出共有5个笑脸，答案选B。

第八名 Logical Reasoning-逻辑推理

其实在前面的所有例题中我们几乎都已经看到了逻辑推理在解题中的应用，把逻辑推理单独拿出来作为一个知识点，主要包括一类袋鼠题，需要通过文字理解逐步把逻辑关系画出，进而得出答案。

看看奥地利袋鼠2010年第23题：

原文翻译如下：A,S,R,M四个人到Z城市碰头参加音乐会，他们来自P,D,R,B四个城市之一，我们知道如下信息：

1.A和从B来的朋友首先到达Z,他们两从来没有去过P和R;

2.R不是从B来的，但他和从P来的朋友一起到的；

3.M和从P来的朋友很喜欢音乐会；

请问M来自哪个城市?

这是典型的逻辑推理文字题，需要先找到突破口信息，然后从突破口开始，用一张图把他们的逻辑关系画出来，很快就可以找到答案。

第一步，A没有去过P、R,也不是从B来(因为朋友从B来)，所以A只能从D来：

第二步，R不是从B来,也不是从P来(因为朋友从P来)，所以R只能从R来：

第三步，M不是从P来(因为朋友从P来)，最后只剩下B一个城市选项了，所以M只能从B来，S从P来：



答案为D。

三、总    结

通过上述几个例子，大家可以看到，袋鼠数学竞赛作为“逻辑思维盛宴”名副其实，这也许是袋鼠能够风靡全世界60多个国家、被无数教育学家推崇的主要原因。

越来越多的家长已经看到了逻辑思维训练在孩子学习和成长过程中发挥着越来越重要的作用。

那么逻辑思维训练到底能够给孩子带来什么呢？

通过阅读和分析网络上的各种意见，我们总结出逻辑思维训练可以帮助孩子改善和强化以下内容：

一、判断力强，有主见。有的孩子生活在家长的影子下，凡事都希望家长决定，自己没有太多主意。逻辑思维训练可以让孩子学会自己拿主意，做选择，成为一个有主见的人；　 

二、处事灵活。在学习生活中灵活地运用知识是很重要的能力，逻辑思维能力强的人会举一反三，不会死脑筋；　

三、对事物认识更加客观。孩子成人后，如果在工作中思考问题片面容易走极端，逻辑思维训练会让孩子从多角度考虑问题，而不是主观地思考问题，能看到事物的多面性；

四、性格活泼开朗。受过逻辑思维训练的孩子，不会在陌生人面前不敢说话躲到家长身后，会是大方开朗的；

五、做事严谨，不丢三落四。现在的孩子在学习的时候很容易犯丢三落四的毛病，这与逻辑思维训练不够有较大关系，逻辑思维训练可以让孩子形成严谨的处事风格；

六、当然还有最重要的一点：逻辑思维训练会让孩子喜欢数学，学好数学。

形成本文数据分析报告的所有真题试卷都已经在Rootofmath .com上免费开放，欢迎孩子们选用和在线练习，提高逻辑思维能力和学习数学的兴趣。

真题试卷及题库还在持续整理扩大中，欢迎大家关注并及时更新。

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加拿大可"玩"的数学竞赛

我猜点进来的朋友是因为标题的后半段，因为前半段估计大家都听腻了

“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，意思是：有若干只鸡和兔在同个笼子里。从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

咱大中国不缺数学人才，很多人对于这个问题的研究都达到了骨灰级的境界了......

求解这道题的方法有数十种，简单罗列如下：列表法、画图法、金鸡独立法、吹哨法、假设法、特异功能法、砍足法、耍兔法、方程法......

简单和大家一起重温一下比较常见的解题方法：

1.列表法

       没错，就是列举，暴力破解，也是计算机中解决问题常有的思路。当第一组没有鸡有35只兔子的时候，一共有140只脚，跟94差的有点多，可以5只甚至10只的增加鸡的数量，根据脚的数量再进行微调……做一个表就出来了

2.金鸡独立法

       让每只鸡和兔子都做一个动作：用一半的脚站立。那么，地上还剩94/2=47只脚，每只鸡有一个脑袋一只脚，每个兔子有一个脑袋两只脚，47比35多出来的就是兔子的数，共12只兔子，也就知道23只鸡了。

3.吹哨法

听口令：所有小动物抬起一只脚。地上还剩94-35=59只脚；

听口令：所有小动物再抬起一只脚。地上还剩59-35=24只脚。

鸡已经腾空，兔子双脚站立。于是24/2=12只兔子，鸡23只。

4.特异功能法

鸡有2只脚，兔子有4只脚，鸡比兔子少两只，但鸡有2个翅膀啊，假设鸡有特异功能，可以把2个翅膀变成2只脚，那么鸡和兔子都是4只脚了，应该有35*4=140只脚，可实际只有94只，多出的140-94=46就是翅膀数，46/2=23只鸡，也就知道12只兔子了。

5.假设法（假设都是鸡）

假设全部都是鸡，则有35X2=70条腿，比实际少94-70=24条腿，一只鸡变成一只兔子腿增加2条，因此需要增加24/2=12次才能得到所有94条腿，即兔子12只。

6.假设法（假设都是兔子）

假设全部都是兔子，则有35X4=140条腿，比实际多140-94=46条腿，一只兔子变成一只鸡腿减少2条，因此需要减少46/2=23次才能达到实际的94条腿，因此鸡为23只。

......

学过方程的同学都会用最万能的方程法来解，列一个一元一次方程或者是二元一次方程，三下五除二就可以把X解出来了......

......

所有的解题方法，本质上都是巧妙地利用头、脚数量之间的关系，加上各种假设和想象，组合出多种不同的思路。

说来说去都是挖掘数与数之间的逻辑关系解题。数学上有集合有函数，计算机上有数据结构有算法，计算机编程本身就是用数据结构和算法去描述现实世界里的逻辑关系。大千世界都是基于这最本质的数和逻辑关系，我们对于世界的认识也是从这里开始的。

我们学会了这么多解法，照理说我们都是高手了；如果我们把所有这些方法都给孩子们讲明白以后，  孩子们是否也都成了“鸡兔同笼”问题的高手，碰见此类问题都会解了呢？ 

我在三个不同的班里面讲述“鸡兔同笼”的逻辑思维方法，孩子们对于诸如“特异功能法”这样的解题方法听起来都觉得很滑稽，一度在课堂上还止不住笑。

对于假设法的解题思路也表示理解，信心满满表示已经学会。

然后我拿出了一道这样的题：

题目原文翻译如下：学校组织孩子们去滑雪，小轿车可坐3人，面包车可坐5人。一共去了140人，用了40个车，请问多少个孩子坐小轿车去的?

初看起来这道题与鸡兔同笼没有什么关系。按照Rootofmath.com名称的由来，同类的数学问题都来源于同一个根，这个问题来源的根恰恰就是我们熟悉的“鸡兔同笼”问题。

三个班同学面对这道题的结果让我觉得有些意外，13名同学只有一名七年级的同学，因为以前接触过“鸡兔同笼”问题，能够通过逻辑类比的方法给出答案。

事实上，为了帮助孩子们理解这一逻辑思维过程，我们发现有两个问题需要解决：

1、完整的数字表达式

我们遇到的第一个问题是孩子们无法写出完整的数字表达式。

以前面提到“鸡兔同笼”问题的第五种方法“假设法（假设都是鸡）”为例，一般的教法会列出三个式子：

绿色框里面有三个运算表达式，没有形成整体，显得支离破碎，显然无法帮助孩子们形成整体的感性认识，无法完成解题逻辑思维方法的理解记忆。

我们建议用如下这个完整的数字表达式来描述：

如果孩子们能够理解这一完整表达式，实际上已经理解记忆了“鸡兔同笼”的逻辑思维方法。

为了帮助孩子们更好的理解记忆，在解决实际问题的时候能够快速写出完整的数字表达式，我们采用了更加形象的树形逻辑表达法：

这颗树对于数字之间逻辑关系的形象表达，让孩子们有了一个感性认识，后面再解其他题的时候也基本能够灵活运用，给出完整的数字表达式了。

2、逻辑思维的类比

解决第一个问题后，一般的孩子再碰到兔子和鸡在一起，找出鸡和兔子的数量不再是难事了。

接下来的问题是，鸡和兔子是一千五百多年前古人们的数学题，孩子们在考试中遇到同样的鸡和同样的兔子的可能性几乎为零。

就拿上面这一道题来说，小轿车和面包车可没有长腿啊!

如果孩子们没有理解记忆鸡兔同笼问题里面数与数之间的逻辑关系，碰到同样的问题还是会感觉无从下手。

一部分孩子对于100以下的数字可以通过列表法拼凑找出答案，但一旦题目的数字变得很大就无能为力了。

这是我们遇到的第二个问题。

为了解决这一问题，我们画出了如下逻辑类比图：

看完上面这张类比图，你是否发现这个问题与“鸡兔同笼”其实是同一个问题，只不过数字变了一下而已呢?

我们仍然用树形逻辑图帮助孩子们强化理解记忆：

最后我们得到30个小轿车，因此此题的答案是：30X3=90个孩子坐小轿车去的。

就像我们前面提到的，因为这里我们需要小轿车的数量，所以我们假设所有的车都是面包车。

如果需要面包车的数量，就得假设所有的车都是小轿车。

解决完这两个问题，我们的“鸡兔同笼”课程是否就算结束，孩子们是否已经能够灵活运用这一逻辑方法解决此类问题了呢？

实践结果告诉我们，答案还是否定的。因为平时接受的逻辑思维训练少，鸡兔同笼问题稍微变一下，孩子们仍然觉得无从下手，例如下面这道题，13名同学无一人能够快速给出答案：

题目原文翻译如下：农场里面只有鸡和奶牛，一共有720条腿。已知奶牛的数量是鸡的数量的4倍，请问有多少只奶牛?

鸡还是那一只鸡，兔子变成了奶牛，最讨厌的是这回没头了......

也就是说，数与数之间的逻辑关系变了。

事实上，这个题比鸡兔同笼问题还简单，只要采用假设法，假设一只鸡与四只奶牛配对构成一组，每组有2+4X4=18条腿，一共有720/18=40组，因为每组4只奶牛，所以40组共有40X4=160只奶牛。

完整的树形逻辑图如下：

此题告诉我们，尽管都是“鸡兔同笼”同根衍生出来的问题，也可以有很多的变种。

再扩展一下，如果我们往古人的鸡兔笼里面再放入几只八爪鱼，鸡兔八爪鱼同笼的问题又该如何解呢？

......

总    结

通过前面的分析，我们看到，几个鸡和兔同笼就可以把孩子们的世界变得丰富多彩，有做不完的数学题。

如果我们仅仅让孩子刷题，学会了如何解几道“鸡兔同笼”的问题，而没有深入思考题目背后的数字逻辑关系和解题策略，当孩子们遇到新的变种的时候仍然会无从下手，难免会陷入“一学就会，一做就废”的困境。

因此智能未来数学认为，数学学习最重要的价值应该是让孩子们学会逻辑思维方法，就“鸡兔同笼”问题的学习而言，让孩子们受益终身的是假设和替换的逻辑思维方法和策略，这远远超越加减乘除四则运算的意义。

可惜的是，我在和孩子们接触的过程中发现，大部分孩子都缺乏基本的逻辑思维方法。

昨天在高贵林的一个书店有幸看到几本那闷数学的教材，一到五年级全部都是加减乘除四则运算，从一位数，到两位数，到三位数......我在想着孩子们在做这些练习题的时候该有多么的枯燥和无聊，错过了多少数学学习时应该看到的美丽风景......

感叹之余，好想劝劝哪些为孩子购买这些教材的家长打开如下这个链接：

https://www.helpingwithmath.com/resources/worksheet-generators.htm

这是一个免费的加减乘除四则运算题目生成和打印工具，内容涵盖整数、分数、小数、方程和表达式等等多项内容，需要几位数、每页几个、数的范围如何......您孩子的数学练习册您做主，想打印多少打印多少，把钱省下来买几本逻辑思维的书，教教孩子的逻辑思维方法吧。

一旦孩子的逻辑思维能力得到提升，只要掌握了数的世界里面10进制这一本质的根，搞定加减乘除四则运算是分分钟的事。

如果您认可本文的观点，有劳你轻抬贵手，把这篇文章分享给那些需要的朋友，您的轻轻一点，就会帮助更多的孩子走出枯燥的数学学习困境，喜欢数学，学好数学。

本文所采用的题目均来自 Rootofmath.com, 文中的手写图片来源于智能未来数学真实的教学环境，是我们自主研发的实时手写同步授课系统产生的，在智能未来数学Pad实时互动网课中已经获得大量应用。如果您是一位老师，也想借助这一平台帮助更多的孩子提高数学，请与我们联系。

本文为智能未来数学原创，欢迎转发，转载请注明出处。

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加拿大可"玩"的数学竞赛

对于理工科的申请者来说，数学竞赛奖项无疑是申请美国高校的重要加分项。理工科申请和文科申请的区别主要在于，优秀指标相对客观可量化。这增加了公平性，也提出了一定的挑战。通过这几年的观察，我们也发现，哪怕对于文科申请者，一定的数学竞赛成绩和水平也有助于提高他们的综合竞争力。

为了帮助大家了解数学竞赛对于美国高校本科申请的含金量，我们整理了如下优质竞赛项目供大家参考。

* 时间数字表示月份，难度和含金量均以5分制来评估，分值越高难度和含金量越高。

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加拿大可"玩"的数学竞赛

这几天，菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主Michael Atiyah爵士宣称自己已经证明20世纪数学制高点之一的黎曼猜想，消息闹得沸沸扬扬，引发人们对于现今互联网安全加密技术的担忧，因为非对称加密包括RSA密钥加密等技术，都是基于大数的分解，一旦素数公式被解开，分解大数就是瞬间的事。

而基于RSA的区块链项目将湮灭。

那么黎曼猜想到底是什么呢？

非理科专业的爸妈们可以通过这张图来理解黎曼猜想：

这是严肃的分割线——

祝各位非理科专业的爸妈们周末快乐！

（不要往下看了）

什么是黎曼猜想

在1859年，黎曼对外发表了一篇关于素数分布的论文。

在这篇论文中，他把欧拉恒等式的右边记作，并将其看做复变数。他认为，素数的性质可以通过复变函数来探讨，如素数的分布研究关键是研究复变函数的零点性质。而现在依旧没有解决的“黎曼猜想”，就是对复变函数零点性质的一个猜想——所有的复零点都在直线Re s=1/2上。黎曼猜想正式被提出。

黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。

确实如此，通过对目前数学论文中的研究，现有很多数学命题都是以黎曼猜想及推广形式的成立作为前提。而这也就意味着，如果黎曼猜想及其推广形式被证实，那这些数学命题都将荣升为数学定理，一荣俱荣；与之相反的则是，一旦黎曼猜想被证伪，那将会有1000多个数学命题不可避免成为黎曼猜想的“陪葬品”。

你还在阅读？

太棒了！

那就继续看完下面这个有点烧脑的视频吧，总长约22分钟。

如果您的孩子能耐心看完，恭喜您，你们家将要出小数学家了！

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加拿大可"玩"的数学竞赛

一个学生家长向我提出这样一个问题：

孩子在学校上完数学课，老师讲过的知识、解题方法和布置的练习题都会，可是一旦进入考场，总有那么几道难题做不出来，影响了总体成绩，好像没有办法在数学考分上获得突破

而我在指导儿子参加数学竞赛的过程中发现:数学基础也是取得竞赛高分的关键因素，例如上次从Elmacon考场走出来，他告诉我题目很简单，除了一道题没把握以外其他都没问题，然而成绩出来却蛮不是那么一回事，对了答案以后才发现一些错题是因为

换句话说是数学基础不牢。

尽管我给儿子打基础用的是国内北师大和人教版的数学教材，考虑到中西方数学教育理念的差异，我们重视理论和运算，北美强调逻辑、应用和个性发挥，如果一直用国内的数学教材，感觉总差那么一点点味道。举个例子，北美在统计数据里面常用的Mean,Median,Range,Mode这些概念我们的数学教材里面就没有啊！

因此如果要参加北美数学竞赛的话，还是要

于是从那时起，我就觉得除了竞赛数学题库以外，我也得在基础数学方面做点什么了

今天，与北美竞赛数学配套的基础数学题库终于与大家见面了！

我们还是先来看看数据报告吧：

这是1-6年级的：

这是7-12年级的：

专题年级分类是参照IXL加拿大各年级数学教学大纲的内容整理的。

各数学专题的年级分布数据呈现一个比较有意思的现象，就是两头轻，中间重，尤其是6-7年级的学习任务会比较重。造成这种现象的原因是现行的加拿大数学教学大纲对于同一个专题会分好几个年级学完，例如概率的学习会贯穿到1-12所有年级，而一个专题还不太容易在数据存储上分散到各个年级中，因此就把它放在了一起，实际的学习过程中大家可以选择专题对应该年级的一个部分完成练习。

下面分年级说明一下2-12年级的具体学习内容（目前1年级的专题还比较少，先略过；11年级和12年级仅仅列出部分内容，其他内容待整理，未完成)：

2年级：加法、减法、几何图形的认识、简单几何图形的周长、基于乘法口诀表做乘法、自然数的四舍五入、视图的认识等；

3年级：乘法、除法、倍数、文氏图、数的读写、数的近似、三角形、简单的几何变换（旋转、反射等）、数据图的认识（饼图等）、小数加减法、长方形面积等；

4年级：数的近似值、几何平行线及垂直线的认识、简单数论、测量单位及相互转换、表格的认识、数据图的认识（直方图等）、整数和小数的互换、数的排序、简单几何图形面积（如平行四边形）等；

5年级：运算符合优先级、平移变换、几何图形表面积、相似图形、简单数列、概率基础、数论基础、分数基础及分数加法、行程问题、数据集合基础、几何变换之平移、平面直角坐标系基础等；

6年级：方程及常用解法、比率、概率树图等常用方法、百分数、有理数及无理数、数的次方、负数运算、常用图表、分数减法及乘法、分数小数百分数互换及排序、平均数、几何图形面积综合计算、几何图形角度综合等；

7年级：数的开方、指数、正比例和反比例、高级图表、分数除法及混合运算、平面几何构造、高级方程、圆的特性、平均数及数据集合、平面直角坐标系距离等；

8年级：科学计数法、勾股定理、三角形全等之判定定理、高级指数、数据统计基础、代数基础、弧度计算、平面图形缩放、线性图表、圆的高级特性及相关定理等；

9年级：代数基础及相关理论、分数代数、多项式加减乘除综合运算、直线方程及距离、三角函数基础、高级概率方法、不等式基础等；

10年级：高级代数相关理论、三角函数、三角函数与面积的关系、解不等式、高级方程组解法、一元二次方程及解法、因式分解、高级图表等；

11年级（待整理未完成）：不等式高级解法、高级概率相关理论、高级三角函数、三角函数综合运算、函数相关高级理论等；

12年级（待整理未完成）：反函数、复合函数、向量、微积分基础、线性代数基础等；

那些看见孩子没有作业比孩子没吃饭还心疼的爸爸妈妈们有福了，现在就可以访问 www.rootofmath.com 选择对应的年级，找到孩子比较薄弱的专题，点击"Practise Now！"在线做题了，喜欢打印的朋友也可以选择旁边的“Print”按钮打印出来在纸上完成。

不过我还是建议大家在网上直接完成啊，因为智能未来数学准备研发出新的功能，可以根据这些知识点为孩子们画出哪里会了哪里不会的全景图，如果孩子总是在打印出来的纸上完成的话，就享受不了这个酷酷的功能啦！

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总  结

下面回答一下文中开头提出的问题：为什么学校老师讲的都会,孩子数学成绩却得不了高分？

回答这个问题之前，还是让我们来看看竞赛数学和基础数学的关系。

如果我们把孩子经过数学训练以后能够达到的解题能力比作运河的吞吐处理能力，那一个个的数学难题看成是准备通过孩子大脑运河的船。

基础数学训练的结果是这张图：

而竞赛数学训练的结果是这张图：

两张图一对比自然就回答了前面的问题：数学难题解得不好是因为孩子开出的运河还不够深，不够宽，大一点的船还无法通过；运河只要达到足够的深度和宽度，对应的大船就能通过，相应的数学难题就能被解决，孩子的数学成绩自然而然就上了一个台阶。

老师因为需要兼顾全部学生，因此在上课时给大家讲的几乎都是基础数学，没有条件为孩子把运河挖得很深，开得很宽；而考试却需要检测出来运河的深度和宽度，因此有几道超出老师所讲内容的难题是必要的。

因此数学成绩想要得高分，如果仅仅满足老师课堂上面讲的内容，运河的深度和宽度显然是不够的；在北美想要把运河挖深、开宽，参加数学竞赛是最好的选择。

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